不確定システム

数学、特に数論において、不定系は未知数の数よりも方程式の数が少ないが、未知数に対する制約（例えば、値が整数であることなど）が付加されている。^{[ 1 ]}現代では、不定方程式はしばしばディオファントス方程式と呼ばれる。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{: iii}

例

線形不定方程式

2人の裕福な男性を想像すると、線形不定方程式の例が得られます。1人はルビー5個、サファイア8個、真珠7個、金貨90枚を所有し、もう1人は金貨7枚、9枚、6枚、62枚を所有しています。それぞれの宝石の価格（y、c、n）を金貨で求めます。2人とも裕福なので、次のようになります。 $5y+8c+7n+90=7y+9c+6n+62$ バースカラ2世は、未知数の1つ（または一般的にはN-2）に固定整数を割り当てることで、この種の問題に対する一般的なアプローチを示した。 $n=1$ その結果、(y, c, n)=(14, 1, 1), (13, 3, 1)のような一連の解が得られる。^{[ 3 ]}^{: 43}

与えられた整数 $a$ 、 $b$ 、 $n$ に対して、一般的な線形不定方程式は次のようになる。 $ax+by=n$ 未知数 $x$ と $y$ は整数に限定される。解の必要十分条件は、最大公約数、 $(a,b)$ $、 n$ で割り切れる。^{[ 1 ]}^{： 11}

歴史

インドと中国の初期の数学者たちは、整数解を持つ不定線形方程式を研究した。^{[ 4 ]}インドの天文学者アーリヤバタは、現在ではユークリッドの互除法に関連していることが知られている不定方程式を解くための再帰アルゴリズムを開発した。^{[ 5 ]}中国の剰余定理という名前は、不定方程式がこれらのアジアの数学的伝統の中で生まれたという見解に関連しているが、古代ギリシャ人も不定方程式を扱っていた可能性が高い。^{[ 4 ]}

不定方程式に関する最初の主要な研究は、紀元3世紀のディオファントスの『算術』に現れる。ディオファントスは有理数に限定された解を求めたが、 1600年代のピエール・ド・フェルマーの研究は整数解に焦点を当て、単一の解ではなくすべての可能な解を特徴づけるという考え方を導入した。^{[ 6 ]}現代では、不定方程式の整数解はディオファントス方程式の解析と呼ばれるようになった。^{[ 3 ]}^{: iii}

スミス標準形を定義したヘンリー・ジョン・スティーブン・スミスによる最初の論文は、線形不確定系について書かれたものである。^[⁷^]^[⁸^]

参考文献

1 2 Hua, Luogeng (1982). 「第 11 章不定方程式」.数論入門. SpringerLink Bücher. ベルリン、ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-68130-1。
↑バシュマコワ、IG（1997）。ディオファントスとディオファントス方程式。ドルチアーニ数学解説。ワシントンDC：アメリカ数学協会。ISBN 978-1-4704-5048-9。
1 2 3ディクソン、LE（1919）。数論の歴史、第2巻：ディオファントス解析。英国：ドーバー出版（2013年出版）。
1 2 Christianidis, J. (1994). ギリシャ数学における第一級不確定問題の歴史について。科学史学の動向、237-247。
↑ケンタッキー州シュクラ (2015)。線形不定方程式 - 簡単な歴史的説明。 Revista Brasileira de História da Matemática、15(30)、83-94。
↑ Kleiner, Israel (2005-02-01). "Fermat: The Founder of Modern Number Theory" . Mathematics Magazine . 78 (1): 3– 14. doi : 10.1080/0025570X.2005.11953295 . ISSN 0025-570X .
↑ Lazebnik, F. (1996). 線形ディオファントス方程式の系について. Mathematics Magazine, 69(4), 261-266.
↑ Smith, HJS (1861). Xv. 線形不定方程式と合同式の系について. Philosophical transactions of the royal society of london, (151), 293-326.

[Hua-1982-1] 1 2 Hua, Luogeng (1982). 「第 11 章不定方程式」.数論入門. SpringerLink Bücher. ベルリン、ハイデルベルク: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-642-68130-1。

[2] バシュマコワ、IG（1997）。ディオファントスとディオファントス方程式。ドルチアーニ数学解説。ワシントンDC：アメリカ数学協会。ISBN 978-1-4704-5048-9。

[Dickson-1919-3] 1 2 3ディクソン、LE（1919）。数論の歴史、第2巻：ディオファントス解析。英国：ドーバー出版（2013年出版）。

[Christianidis-4] 1 2 Christianidis, J. (1994). ギリシャ数学における第一級不確定問題の歴史について。科学史学の動向、237-247。

[5] ケンタッキー州シュクラ (2015)。線形不定方程式 - 簡単な歴史的説明。 Revista Brasileira de História da Matemática、15(30)、83-94。

[6] Kleiner, Israel (2005-02-01). "Fermat: The Founder of Modern Number Theory" . Mathematics Magazine . 78 (1): 3– 14. doi : 10.1080/0025570X.2005.11953295 . ISSN 0025-570X .

[7] Lazebnik, F. (1996). 線形ディオファントス方程式の系について. Mathematics Magazine, 69(4), 261-266.

[8] Smith, HJS (1861). Xv. 線形不定方程式と合同式の系について. Philosophical transactions of the royal society of london, (151), 293-326.

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