突然変異（ジョーダン代数）

数学において、単位ジョルダン代数の突然変異（ホモトープとも呼ばれる）は、ジョルダン代数の与えられた元によって定義される新しいジョルダン代数である。突然変異が単位を持つのは、与えられた元が可逆な場合のみであり、その場合、突然変異は真突然変異または同位体と呼ばれる。突然変異は、マックス・ケッチャーがチューブ型のエルミート対称空間と有界対称領域へのジョルダン代数的アプローチにおいて初めて導入した。突然変異の関数的特性により、有限次元複素半単純ジョルダン代数のコンパクト化として、対応するコンパクト型のエルミート対称空間を明示的に構築できる。コンパクト化の自己同型群は複素部分群、つまりその最大コンパクト部分群の複素化になる。どちらの群も、コンパクト化に対して推移的に作用する。この理論は、ジョルダン対またはジョルダン三重システムの理論を使用して、すべてのエルミート対称空間をカバーするように拡張されている。ケーチャーは、ジョルダン代数の周期 2 自己同型に関連付けられたジョルダン対のみが必要であるという事実を利用して、より一般的なケースの結果をジョルダン代数の場合から直接得ました。

定義

Aを、標数≠2の体k上の単位ジョルダン代数とする^。[1]A上のaに対して、A上のジョルダン乗算演算子を次のように定義する。

\displaystyle {L(a)b=ab}

そして、二次表現 Q ( a )は

Q(a)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).\,

満足できる

Q(1)=I.\,

基本的なアイデンティティ

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a)}

交換またはホモトピー恒等式

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a),}

どこ

R(a,b)c=2Q(a,c)b,\,\,\,Q(x,y)={\frac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).

特にaまたはbが逆数である場合、

\displaystyle {R(a,b)=2Q(a)Q(a^{-1},b)=2Q(a,b^{-1})Q(b).}

したがって、演算QとRおよび単位元を持つAは、二次ジョルダン代数を定義します。ここで、二次ジョルダン代数は、特別な元 1 を持つベクトル空間Aと、 A の二次写像 ( a ↦ Q ( a ) ) で構成され、次の条件を満たします。

$Q (1) = id$
$Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)$ （「基本同一性」）
$Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a)$ （「交換またはホモトピー恒等式」）、ただし $R (a, b) c = (Q (a + c) - Q (a) - Q (c)) b$

ジョーダン三重積は次のように定義される。

\{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b,\,

となることによって

Q(a)b=\{a,b,a\},\,\,\,Q(a,c)b=\{a,b,c\},\,\,\,R(a,b)c=\{a,b,c\}.\,

公式もある

Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab),\,\,\,R(a,b)=[L(a),L(b)]+L(ab).\,

Aのyに対して、突然変異A y^はベクトル空間Aに定義され、乗算は

a\circ b=\{a,y,b\}.\,

Q ( y )が可逆である場合、相互は適切な突然変異または同位体と呼ばれます。

二次ジョルダン代数

Aを特性≠2の体k上の2次ジョルダン代数とする。Jacobson(1969)に従って、線型ジョルダン代数構造をAに関連付けることができ、L ( a )がジョルダン乗法である場合^{、 2次構造は}Q ( a ) = 2 L ( a ) ² − L ( a2 )で与えられる。

まず、公理Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a )は次のように強化される。

\displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}

実際、cに適用すると、最初の2つの項は

\displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}

bとcを入れ替えると

\displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}

さて

\displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}

上記の恒等式で bをaに、aを1に置き換えると、

\displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}

特に

\displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}

ジョーダン積は次のように与えられる。

\displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}

となることによって

\displaystyle {a\circ b=b\circ a.}

上記の式は、1が恒等式であることを示しています。2をa ∘ a = Q ( a )1で定義すると^、検証する必要がある残りの条件は、ジョルダン恒等式だけです。

\displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}

基本的なアイデンティティにおいて

\displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}

a をa + t 1に置き換え、 b = 1 に設定し、両辺の t ²の係数を比較します。

\displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}

2番目の公理で b = 1とすると、

\displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}

したがって、L ( a )はL ( a2 )と可換でなけれ^ばならない。

逆数

A を特性 ≠ 2 の体k上の単位ジョルダン代数とする。単位ジョルダン代数Aの元aは、 ab = 1 かつa ²b = aとなる元bが存在するとき可逆であるという。^[2]

プロパティ。^[3]

$a が逆行列を持つのは、$ $Q$ $($ $a$ $)$ $b$ $=$ $a$ かつ $Q$ $($ $a$ $)$ $b$ $2$ $=1$ となるような元 $b$ が存在する場合のみです 。この場合、 $ab$ $= 1$ かつ $a$ $2$ $b$ $=$ $a$ です。

$ab = 1$ かつ $a 2 b = a$ ならば、 $Q (a) b = 2 a (ab) - (a 2) b = a と$ なる。ジョルダン恒等式 $[L (x), L (x 2)] = 0 は、$ $x を$ $x + ty$ に置き換え、 $t$ の係数を取ることで分極化できる。これにより、

\displaystyle {[L(x^{2}),L(y)]+2[L(xy),L(x)]=0.}

$x = a$ または $b$ かつ $y = b$ または $a$ とすると、 $L (a 2) は$ $L (b)$ と可換であり、 $L (b 2)は$ $L (a)$ と可換であることがわかります。したがって、 $(b 2)(a 2) = 1です。$ $L (b)$ を適用すると、 $b 2 a = b$ となります。したがって、 $Q (a) b 2 = 1$ です。逆に、 Q ( a ) b = a かつ Q ( a ) b 2 = 1 の場合 $、 2 番目の関係により、$ Q $(a) Q (b)$ 2 Q ( a ) = I となります $。したがって、 Q (a) と Q (b) は両方$ とも $可逆$ $です。最初の関係により、 Q ($ $a$ $)$ Q $(b) Q$ ( $a$ $)$ $=$ $Q$ $($ $a$ $)$ $と$ $なる$ $ため$ $、$ $Q$ $($ $a$ $)$ $と$ Q $(b) は$ 互い $の逆になり$ ます。 $L (b) は$ $Q (b)$ と可換であるため、その逆 $Q (a)$ とも可換です。同様に $L (a)は$ $Q (b)$ と可換です。つまり $(a 2) b = L (b) a 2 = Q (a) b = a$ かつ $ab = L (b) Q (a) b = Q です。 (a) Q (b)1= 1 です$ 。

$a が$ 可逆であるためには、 $Q (a) が$ $A$ 上の一対一を定義する必要 があります。その場合、 $a$ $-1$ $=$ $Q$ $($ $a$ $)$ $-1$ $a$ です。この場合、 $Q$ $($ $a$ $)$ $-1$ $=$ $Q$ $($ $a$ $-1$ $)$ です。

実際、 $a$ が逆であれば、上記は $Q (a)$ が逆 $Q (b)$ で逆であることを意味します。任意の逆b は $Q (a) b = a を$ 満たすので、 $b = Q (a) -1 a$ です。逆に、 $Q (a)$ が逆であれば、 $b = Q (a) -1 a$ とします。すると $Q$ $($ $a$ $)$ $b$ $=$ $a$ です。すると基本的な恒等式は、 $Q$ $($ $b$ $)$ と $Q (a)$ が互いの逆であるので、 $Q (a) b 2 = Q (a) Q (b)1=1 で$ あることを意味します。

逆が存在する場合、それは一意です。 $aが逆である$ 場合、その逆は $a$ $-1$ で表されます。

これは式 $a -1 = Q (a) -1 a$ から導かれます。

$a が$ 逆行列を持つのは、 1 が $Q$ $($ $a$ $)$ の像に含まれる場合のみです 。

$Q (a) c = 1$ と仮定します。すると、基本恒等式により $Q (a)$ は逆となり、したがって $a$ も逆となります。

$Q (a) b が逆行列を持つのは、$ $a$ と $bが逆行列を持つ$ 場合のみであり 、その場合 $($ $Q$ $($ $a$ $)$ $b$ $)$ $-1$ $=$ $Q$ $($ $a$ $-1$ $)$ $b$ $-1 となる$ 。

$これは、基本的な同一性と、 S$ と $T$ が逆である場合に限り $STS$ が逆であるという事実から直接導かれる結果です。

$aが逆関数で$ ある場合、 $Q (a)L(a -1)= L (a)$ となる。

交換恒等式 $Q (a) R (b, a) = Q(Q (a) b, a)$ において、 $b = c 2 、$ $c = a -1$ と設定します。すると $Q (a) b = 1$ 、 $Q (1, a) = L (a)$ となります。 $L (a) は$ $L (c 2)$ と交換なので、 $R (b, a) = L (c) = L (a -1)$ となります。

$a が逆行列を持つのは、$ $ab$ $= 1$ かつ $[$ $L$ $($ $a$ $),$ $L$ $($ $b$ $)] = 0$ ( $a$ と $b は「交換可能」)$ となる要素 $b$ が存在する場合のみです 。この場合、 $b$ $=$ $a$ $-1$ です。

$L (a)$ と $L (b)$ が可換なら、 $ba = 1 は$ $b (a 2) = a$ を意味します。逆に、 $a が逆関数$ $b$ と可逆であると仮定します。その場合、 $ab = 1 です$ 。さらに、 $L (b) は$ $Q (b)$ と可換であり、したがってその逆関数 $Q (a)とも可換です。したがって、$ $L (a) = Q (a) L (b)$ と可換です。

$Aが$ $k$ 上で有限次元である 場合、要素 $aが逆であるのは$ $k$ $[$ $a$ $]$ 上で逆である場合に限ります。この場合、 $a$ $-1 は$ $k$ $[$ $a$ $]$ に存在します。

代数 $k [a] は$ 可換かつ結合的であるため、 $b が$ 逆数であれば $ab =1$ かつ $a 2 b = a$ となります。逆に $Q (a) は$ $k [a] を$ 不変のままにします。したがって、 $A$ 上で全単射であれば、 Aでも全単射です。したがって、 $a -1 = Q (a) -1 a は$ $k [a]$ に含まれます。

適切な突然変異の基本的性質

突然変異 $A y$ $は、 yが可逆な$ 場合にのみ単位となり、 その場合単位は $y$ $-1$ で与えられます。

突然変異 $A yは$ $、 y$ が可逆な場合、単位ジョルダン代数である。

$A y$ の二次表現は $Q$ $y$ $($ $x$ $) =$ $Q$ $($ $x$ $)$ $Q$ $($ $y$ $)$ で与えられます 。

実際^[4] 代数Ayにおける乗算は次のように表される ^。

\displaystyle {a\circ b=\{a,y,b\},}

定義により可換である。従って、

\displaystyle {a\circ b=L_{y}(a)b,}

と

\displaystyle {L_{y}(a)=[L(a),L(y)]+L(ay)。}

eが $a\circe = aを$ $満たす$ 場合、a =1 $と$ すると

\displaystyle {ye=1.}

a = eをとると、

\displaystyle {e(ya)=y(ea)}

したがって、L ( y ) とL ( e ) は可換である。したがって、y は可逆であり、e = y ^{−1 で}ある。

yの可逆集合について

\displaystyle {Q_{y}(a)=Q(a)Q(y),\,\,\,R_{y}(a,b)=R(a,Q(y)b).}

それから

\displaystyle {Q_{y}(e)=Q_{y}(y^{-1})=Q(y^{-1})Q(y)=I.}

さらに、

\displaystyle {Q_{y}(a)Q_{y}(b)Q_{y}(a)=Q(a)Q(y)Q(b)Q(y)Q(a)Q(y)=Q(a)Q(Q(y)b)Q(a)Q(y)=Q_{y}(Q_{y}(a)b).}

ついに

\displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)Q(y)^{-1}=R(Q(y)c,d),}

以来

\displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)x=2Q(y)Q(c,x)Q(y)d=2Q(Q(y)c,Q(y)x)d=R(Q(y)c,d)Q(y)x.}

したがって

\displaystyle {Q_{y}(a)R_{y}(b,a)=Q(a)Q(y)R(b,Q(y)a)=Q(y^{-1})Q(Q(y)a)R(b,Q(y)a)=Q(y)^{-1}R(Q(y)a,b)Q(Q(y)a)=R_{y}(a,b)Q_{y}(a).}

したがって、 $(A, Q y, y -1)は単位二次ジョルダン代数である。したがって、これは次式で表されるジョルダン乗算演算子$ M ( a )を伴う線型ジョルダン代数に対応する。

\displaystyle {M(a)b={\frac {1}{2}}R_{y}(a,e)b={\frac {1}{2}}R(a,Q(y)e)b={\frac {1}{2}}R(a,y)b=\{a,y,b\}=L_{y}(a)b.}

これは、演算子 $L y (a)$ がジョルダン恒等式を満たすことを示し、適切な突然変異または同位体 $A y$ $は単位ジョルダン代数です。2 次ジョルダン代数との対応は、その 2 次表現がQ y$ によって与えられることを示しています。

非ユニタル突然変異

突然変異の定義は、非可逆元yにも適用される。AがRまたはC上の有限次元である場合、 Aの可逆元a は稠密である。なぜなら、可逆性は det Q ( a ) ≠ 0という条件と同等だからである。したがって、連続性により、適切な突然変異に対するジョルダン恒等式は、任意の突然変異に対するジョルダン恒等式を意味する。一般に、ジョルダン恒等式は、ジョルダン代数の 2 つの要素のみを含むため、ジョルダン代数に対するマクドナルドの定理から演繹できる。あるいは、ジョルダン恒等式は、単位二次代数内で突然変異を実現することによって演繹できる。^[5]

Aのaに対して、 A ₁ = A ⊕ k上の二次構造を次のように定義する。

$\displaystyle {Q_{1}(a\oplus \alpha 1)(b\oplus \beta 1)=\alpha ^{2}\beta 1\oplus [\alpha ^{2}a+\alpha ^{2}b+2\alpha \beta a+\alpha \{a,y,b\}+\beta Q(a)y+Q(a)Q(y)b].}$

$すると、 (A 1, Q 1, 1)$ が単位二次ジョルダン代数であることが検証できる。これに対応する単位ジョルダン代数はA ^{y を}イデアルとして持ち、特にA ^{y は}ジョルダン恒等式を満たす。単位二次ジョルダン代数の恒等式は、二次写像 $Q y (a) = Q (a) Q (y)$ と平方写像 $S y (a) = Q (a) y$ の次の互換性特性から得られる。

$R y (a, a) = L y (S y (a))。$
$[Q y (a), L y (a)] = 0 です。$
$Q y (a) S y (a) = S y (S y (a))。$
$Q y \circ S y = S y \circ Q y です。$
$Q y (a) Q y (b) S y (a) = S y (Q y (a) b)。$
$Q y (Q y (a) b) = Q y (a) Q y (b) Q y (a)$ 。

華の正体

Aを単位ジョルダン代数とする。a 、b、a – bが可逆であれば、Huaの恒等式が成り立つ：^[6]

$\displaystyle {a^{-1}=(a-b)^{-1}+(a-Q(a)b^{-1})^{-1}=(a-b)^{-1}+Q(a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}.}$

特にxと1 – xが逆数であるならば、1 – x ⁻¹も逆数であり、

\displaystyle {(1-x)^{-1}+(1-x^{-1})^{-1}=1.}

xの恒等式を証明するには、 $y = (1 - x) -1$ と設定します。すると、 $L (y) = Q (1 - x) -1 L (1 - x)$ となります。したがって、 $L (y) は$ $L (x)$ および $Q (x)$ と可換です。 $Q (y) = Q (1 - x) -1 であるため、$ $L (x)$ および $Q (x)$ とも可換です。 $L (x -1) = Q (x) -1 L (x)$ であるため、 $L (y)は$ $L (x -1)$ および $Q (x -1)$ とも可換です。

したがって、 $(x -1 - 1) xy =(1 - x) y = 1$ となります。さらに、 $(1 -$ $x$ $)$ $y$ $= 1$ なので、 $y - 1 = xy$ です。したがって、 $L$ $($ $xy$ $) は$ $L$ $($ $x$ $)$ と可換であり、したがって $L$ $($ $x$ $-1$ $- 1)$ となります。したがって、 $1 -$ $x$ $-1 に$ は逆関数 $1 -$ $y が$ あります。

ここで、 $A a を$ aによって定義されるAの突然変異とします。A $a$ の単位元は $a$ $-1$ です。さらに、 $A$ の可逆元c は、逆 $Q$ $($ $a$ $)$ $-1$ $c$ $-1によって$ $A$ $a$ でも可逆です。

$A$ $a$ において $x = Q (a) -1 b$ とします。これはAにおいて可逆であり、 $a$ $-1$ $-$ $Q$ $($ $a$ $)$ $-1$ $b$ $=$ $Q$ $($ $a$ $)$ $-1$ $($ $a$ $-$ $b$ $)$ も同様です。したがって、 $A$ $a$ におけるxに対する Hua の恒等式の特別な場合により、

\displaystyle {a^{-1}=Q(a)^{-1}(a^{-1}-Q(a)^{-1}b)^{-1}+Q(a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}=(a-b)^{-1}+(a-Q(a)b^{-1})^{-1}.}

ベルグマン演算子

Aが単位ジョルダン代数である場合、ベルグマン作用素はAのa 、bに対して次のように定義される^[7]。

\displaystyle {B(a,b)=I-R(a,b)+Q(a)Q(b).}

が逆行列を持つ場合

\displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b);}

一方、bが逆行列を持つ場合は

\displaystyle {B(a,b)=Q(a-b^{-1})Q(b).}

実際、aが逆であれば

Q (a) Q (a -1 - b) = Q (a)[Q (a -1 - 2 Q (a -1, b) + Q (b)]= I - 2 Q (a)Q(a -1, b) + Q (a) Q (b)= I - R (a, b) + Q (a) Q (b)

bが逆関数である場合も同様です。

より一般的には、ベルグマン演算子は交換またはホモトピー恒等式のバージョンを満たします。

$\displaystyle {B(a,b)Q(a)=Q(a)B(b,a)=Q(a-Q(a)b)}$

そして基本的なアイデンティティのバージョン:

$\displaystyle {Q(B(a,b)c)=B(a,b)Q(c)B(b,a).}$

さらに技術的な 3 番目の ID もあります。

$\displaystyle {2Q(B(a,b)c,a-Q(a)b)=B(a,b)(2Q(a,c)-R(c,b)Q(a))=(2Q(a,c)-Q(a)R(b,c))B(b,a).}$

準可逆性

Aを、標数≠2の体k上の有限次元単位ジョルダン代数とする。 ^[8] $a$ と $a$ $-1$ $-$ $b$ が可逆なペア $(a 、 b)に対して、$

$\displaystyle {a^{b}=(a^{-1}-b)^{-1}.}$

この場合、ベルグマン演算子 $B (a, b) = Q (a) Q (a -1 - b)は$ A上の可逆演算子を定義し、

$\displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b).}$

実際には

\displaystyle {B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b)=Q(a^{b})Q(a^{-1})(a-Q(a)b)=Q(a^{b})(a^{b})^{-1}=a^{b}.}

さらに、定義により、 $a -1 - b - c$ $が逆であるのは、 (a b) -1 - c$ が逆である場合に限ります。その場合、

$\displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}$

確かに、

\displaystyle {a^{b+c}=((a^{-1}-b)-c)^{-1}=((a^{b})^{-1}-c)^{-1}=(a^{b})^{c}.}

$a$ が可逆であるという仮定は、 $a b が$ ベルグマン演算子 $B (a, b)$ が可逆であると仮定してのみ定義できるため、不要となる。この場合、ペア $(a, b)は$ 準可逆であると言われる。その場合、 $a b は$ 次式で定義される。

\displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b).}

$B (a, b)$ が逆行列を持つ場合、ある $cに対して$ $B (a, b) c = 1 が$ 成り立ちます。基本的な恒等式は、 $B$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ $Q$ $($ $c$ $)$ $B$ $($ $b$ $,$ $a$ $) =$ $I$ を意味します。したがって、有限次元性により、 $B$ $($ $b$ $,$ $a$ $)$ は逆行列を持ちます。したがって、 $($ $a$ $,$ $b$ $)が逆行列を持つのは、$ $($ $b$ $,$ $a$ $)$ が逆行列を持つ場合のみであり、この場合、

$\displaystyle {a^{b}=a+Q(a)b^{a}.}$

実際には

B (a, b)(a + Q (a) b a) = a - 2 R (a, b) a + Q (a) Q (b) a + Q (a)(b - Q (b) a) = a - Q (a) b 、

したがって、両辺に $B (a, b) -1を$ 適用すると式が成り立ちます。

前述のように、 $(a, b + c)が準可逆なのは、$ $(a b, c)$ が準可逆な場合のみであり、その場合

\displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}

k = RまたはCの場合、これは $a$ と $a -1 - b$ が可逆である特別な場合からの連続性によって従います。一般に、証明にはベルクマン演算子の 4 つの恒等式が必要です。

$\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})=Q(a^{b})B(b,a)=Q(a)}$

$\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b},c)+Q(a)R(b,c)=Q(a^{b},c)B(b,a)+R(c,b)Q(a)=Q(a,c)}$

$\displaystyle {B(a,b)R(a^{b},c)=R(a,c)-2Q(a)Q(b,c)}$

$\displaystyle {B(a,b)B(a^{b},c)=B(a,b+c)}$

実際、 $Qを$ 恒等式 $B (a, b) a b = a - Q (a) b$ に適用すると、

\displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})B(b,a)=B(a,b)Q(a)=Q(a)B(b,a).}

最初の恒等式は、 $B (a, b)$ と $B (b, a)$ を消去することで得られます。2番目の恒等式は、同様の消去で得られます。

B (a, b) Q (a b, c) B (b, a) = Q (B (a, b) a b, B (a, b) c) = Q (a - Q (a) b, B (a, b) c) = B (a, b)(Q (a, c) - R (c, b) Q (a)) = (Q (a, c) - Q (a) R (b, c)) B (b, a)

。

3番目の恒等式は、2番目の恒等式を要素dに適用し、 cとdの役割を入れ替えることで得られます。4番目の恒等式は、

B (a 、 b) B (a 、 b 、 c) = B (a 、 b)(I - R (a、 b 、 c) + Q (a 、 b) Q (c)) = I - R (a 、 b + c) + Q (a) Q (b + c) = B (a 、 b + c)

。

実際、 $(a, b)$ が準可逆なのは、 $a$ が突然変異 $A b$ において準可逆な場合のみです。この突然変異は必ずしも単位元ではないため、恒等式が随伴である場合、 $1 - a は$ $A b \oplus k 1$ において可逆になります。この条件は、突然変異やホモトープに言及せずに次のように表現できます。

$B$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ $c$ $=$ $a$ $-$ $Q$ $($ $a$ $)$ $b$ かつ $B$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ $Q$ $($ $c )$ $b$ $=$ $Q$ $($ $a ) b$ となるような元 $c$ が存在するときのみ、 $($ $a$ $, b$ $)$ $は$ $準逆可能$ $で$ ある。この場合 $、$ $c$ $=$ $a$ $b$ 。

実際、 $(a, b)$ が準可逆であれば、定義により $c = a b は$ 最初の恒等式を満たします。 2 番目は、 $B (a, b) Q (a b) = Q (a)$ であるため従います。逆に、条件は A b ⊕ k 1 において1 + c が 1 − a の逆であることを意味している $と述べています$ $。一方$ $、 A$ bにおける x に対して、 $($ $1$ − $a$ $) \circ x = B (a, b) x です$ 。したがって、 $B$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ は可逆です。

同値関係

Aを特性≠2の体k上の有限次元単位ジョルダン代数とする。 ^[9] $a$ $i$ が可逆な 2つの対 $(a i, b i)は、$ $($ $a$ $1$ $)$ $-1$ $-$ $b$ $1$ $+$ $b$ $2$ が可逆で $a$ $2$ $= ($ $a$ $1$ $)$ $b$ $1$ $-$ $b$ $2$ であるとき同値であると言われる。

これは同値関係である。なぜなら、 $a$ が反転可能であれば、 $a 0 = a$ となり、ペア $(a, b)$ はそれ自身と同値となるからである。定義から $a 1 = (a 2) b 2 - b 1$ となるので、対称的である。推移的である。例えば、 $(a 3, b 3)が、$ $(a 2) -1 - b 2 + b 3$ が反転可能で、 $a 3 = (a 2) b 2 - b 3$ となる3番目のペアであるとする。上記から

\displaystyle {a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{3}=(a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{2})-b_{2}+b_{3}=a_{2}^{-1}-b_{2}+b_{3}}

は可逆であり、

\displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}

$準可逆性に関しては、この定義は、 a$ と $a -1 - b$ が可逆であると仮定されない場合に拡張できます。

2 つのペア $(a i, b i)は、$ $($ $a$ $1$ $,$ $b$ $1$ $-$ $b$ $2$ $)$ が準可逆で、 $a$ $2$ $= ($ $a$ $1$ $)$ $b$ $1$ $-$ $b$ $2$ である場合に同値であるといわれます。k = RまたはCの場合、このより一般的な定義でも同値関係が与えられるという事実は、可逆の場合から連続性によって演繹できます。一般的なkの場合、直接検証することもできます。

$(a,0)$ は準可逆であり、 $a 0 = a$ であるため、関係は反射的です。
$a 1 = (a 2) b 2 - b 1$ なので、この関係は対称的です。
この関係は推移的である。 $(a 3, b 3)が$ $(a 2, b 2 - b 3)$ と準可逆な3番目のペアであり、 $a 3 = (a 2) b 2 - b 3$ であると仮定する。この場合

\displaystyle {B(a_{1},b_{1}-b_{3})=B(a_{1},b_{1}-b_{2})B(a_{2},b_{2}-b_{3}),}

なので、

(a 1, b 1 - b 3)

は準逆行列を持ち、

\displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}

$(a, b)$ の同値類は $(a : b)$ と表される。

構造グループ

$A を$ 有限次元複素半単純単位ジョルダン代数とする。T $が A$ $上$ の作用素である場合、 $T t を$ トレース形式に関するその転置とする。したがって、 $L (a) t = L (a)$ 、 $Q (a) t = Q (a)$ 、 $R (a, b) t = R (b, a)$ 、 $B (a, b) t = B (b, a)$ である。Aの構造群は $GL($ $A$ $)$ 内のgで構成され、

\displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}

これらは群 $Γ(A)を形成する。$ Aの自己同型群 Aut Aは、 L ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹かつg1 = 1となるような可逆な複素線型作用素 gから構成される。自己同型g はトレース形式を保存するので、 g ⁻¹ = g ^tである。

構造群は転置g ↦ g ^tと随伴 g ↦ g * を取ることで閉じます。
構造群には自己同型群が含まれます。自己同型群は、構造群の 1 の安定子と同一視できます。
aが逆関数である場合、Q ( a )は構造群に属します。
g が構造群に属し、a が逆である場合、 gaも ( ga ) ⁻¹ = ( g ^t ) ⁻¹a ⁻¹で逆可能である。
構造群Γ( A )はA内の可逆な元の集合に対して推移的に作用する。
Γ( A )内のすべてのgは、 hが自己同型で可逆な場合、 g = h Q ( a )の形を持ちます。

複素ジョルダン代数A は、トレース形式が内積を定義する実ユークリッドジョルダン代数 Eの複素化です。 $A$ には関連する反転 $a \mapsto a *があり、$ $A$ 上に複素内積を生じます。ユニタリ構造群Γ _u ( A ) は、ユニタリ演算子からなる Γ( A )の部分群であり、 $Γ$ $u$ $($ $A$ $) = Γ($ $A$ $) \cap U($ $A$ $)です。$ $Γ$ $u$ $($ $A$ $)$ の恒等成分は $K$ で表されます。これは $U($ $A$ $)$ の連結した閉部分群です。

_{Γ u} ( A )における1の安定因子はAut Eである。
Γ _u ( A ) のすべてのgはg = h Q ( u ) の形を持ち、h はAut Eに含まれ、u はAで逆数でu * = u ⁻¹です。
Γ( A )は_Γu ( A )の複素化である。
Aの可逆な元uでu * = u ⁻¹となるものの集合S は、 L ( u ) がuu * = 1 となる正規作用素となる u か、 E の何らかの a に対して exp ia という形式の u のいずれかとして同値に特徴付けることができる。特にSは連結である。
_{Γ u} ( A )の恒等成分はSに対して推移的に作用する。
ジョルダンフレーム( e _i )とA内のvが与えられたとき、Γ _u ( A )の単位元に演算子uが存在し、 uv = Σ α _i e _i（α _i ≥ 0）が成立する。vが逆関数である場合、 α _i > 0である。

構造群Γ( A )はXに自然に作用する。^{[10] Γ(}A )のgに対して、

\displaystyle {g(a,b)=(ga,(g^{t})^{-1}b).}

このとき、 $(x, y) が$ 準可逆なのは、 $(gx,(g t) -1 y)$ が準可逆であり、

\displaystyle {g(x^{y})=(gx)^{(g^{t})^{-1}y}.}

実際、gとQの共分散関係とその逆は、

\displaystyle {gB(x,y)g^{-1}=B(gx,(g^{t})^{-1}y)}

xが可逆で密度によりどこでも可逆である場合。今度は、これは準逆に対する関係式を意味します。aが可逆である場合、 Q ( a ) は Γ( A ) に含まれ、 ( a , b ) が準可逆である場合、B ( a , b ) は Γ( A ) に含まれます。したがって、両方のタイプの演算子がXに作用します。

構造群の定義関係は、それが $GL($ $A$ $)$ の閉じた部分群であることを示しています。 $Q$ $($ $e$ $a$ $) =$ $e$ $2$ $L$ $($ $a$ $)$ なので、対応する複素リー代数は演算子 $L$ $($ $a$ $)$ を含みます。交換子 $[$ $L$ $($ $a$ $),$ $L$ $($ $b$ $)]は、$ $A$ の微分複素リー代数を張ります。演算子 $R$ $($ $a$ $,$ $b$ $) = [$ $L$ $($ $a$ $),$ $L$ $($ $b$ $)] +$ $L$ $($ $ab$ $)$ は、 $R$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ $t$ $=$ $R$ $($ $b$ $,$ $a$ $)$ および $[$ $R$ $($ $a$ $,$ $b$ $),$ $R$ $($ $c$ $,$ $d$ $)] =$ $R$ $($ $R$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ $c$ $,$ $d$ $) -$ $R$ $($ $c$ $,$ $R$ $($ $b$ $,$ $a$ $)$ $d$ $)$ を張り、満たします。 ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}_{0}$

商空間の幾何学的性質

A を半単純、すなわちトレース形式 Tr L ( ab ) が非退化である有限次元複素単位ジョルダン代数とします。 $X を$ 同値関係による $A \times A$ の商とします。 $X b を$ クラス $($ $a$ $:$ $b$ $)の$ Xの部分集合とします。写像 $φ$ $b$ $:$ $X$ $b$ $\to$ $A$ , $($ $a$ $:$ $b$ $) \mapsto$ $aは単射です。$ $X$ の部分集合 $U は、$ $U$ $\cap$ $X$ $b$ $がすべてのb$ に対して開集合である場合に限り、開集合であると定義されます。

X は 複素多様体です。

チャート $φ$ $b を$ 含む地図帳の遷移マップは次のように表される。

\displaystyle {\varphi _{cb}=\varphi _{c}\circ \varphi _{b}^{-1}:\varphi _{b}(X_{b}\cap X_{c})\rightarrow \varphi _{c}(X_{b}\cap X_{c}).}

であり、これらは単射かつ正則である。

\displaystyle {\varphi _{cb}(a)=a^{b-c}}

派生語付き

\displaystyle {\varphi _{cb}^{\prime }(a)=B(a,b-c)^{-1}.}

$これは、 φ$ $b$ $($ $X$ $b$ $\cap$ $X$ $c$ $\cap$ $X$ $d$ $)$ 上で $φ$ $dc$ $\circ φ$ $cb$ $= φ$ $db$ であるため、X上の複素多様体の構造を定義します。

$X$ 内の点の有限集合 $(a i : b i)$ が与えられると、それらは共通の $X$ $b$ に含まれます。

実際、 $p i (b) = det B (a i, b i - b)は、$ $p i (b i) = 1$ なので、すべて非自明です。したがって、すべてのiに対して $p$ $i$ $($ $b$ $) \neq 0$ となるa $b$ が存在し、これがまさに $($ $a$ $i$ $:$ $b$ $i$ $)が$ $X$ $b$ に含まれるための基準です。

X はコンパクトです。

Loos (1977)は、バーグマン演算子を使用して、Xと複素射影空間の閉じた滑らかな代数部分多様体との間の明示的な双正則同型を構築しました。^[11]これは特に、 $X$ がコンパクトであることを意味します。対称群を使用したコンパクト性のより直接的な証明があります。

Eのジョルダンフレーム( e _i )が与えられたとき、 Aのすべてのaに対して、 U = Γ _u ( A )にkが存在し、 $a$ $=$ $k$ $(Σ α$ $i$ $e$ $i$ $)$ かつ $α$ $i$ $\geq 0$ ( aが可逆な場合は $α$ $i$ $> 0$ ) となる。実際、 ( a , b ) がXに含まれる場合、これは単位ジョルダン部分代数 $A$ $e$ $= \oplus$ $C$ $e$ $i$ のcとdを含むk ( c , d )に相当し、これは $E$ $e$ $= \oplus$ $R$ $e$ $i$ の複素化である。 $Zを$ $A$ $e$ に対して構築された複素多様体とする。 $A$ $e は$ Cのコピーの直和であるため、Z は各 $e$ $i$ に対して 1 つのリーマン球面の積にすぎない。特に、 Z はコンパクトである。 ZからXへの自然な写像が存在し、これは連続している。Y をZの像とする。これはコンパクトであり、したがってY ₀ = A _e ⊂ A = X ₀の閉包と一致します。集合U ⋅ Yは、コンパクト集合U × Yの連続像です。したがって、これはコンパクトです。一方、U ⋅ Y ₀ = X _{0であるため、}Xの稠密な部分集合が含まれており、したがってXと一致しなければなりません。したがって、Xはコンパクトです。

上記の議論は、Xのすべての ( a , b ) が、 cとdが $A$ $e$ に、kが $Γ$ $u$ $($ $A$ $)$ に該当するk ( c , d )と同値であることを示しています。 ZのXへのマッピングは、実際には埋め込みです。これは、 $($ $x$ $,$ $y$ $)が$ $A$ $e$ で準逆可能である場合のみ、それが $A$ で準逆である結果です。実際、 $B$ $($ $x$ $,$ $y$ $) が$ Aに単射である場合、 $A$ $e$ へのその制限も単射です。逆に、 $A$ $e$ の準逆の 2 つの方程式は、それが $A$ の準逆でもあることを意味します。

メビウス変換

$A を$ 有限次元複素半単純単位ジョルダン代数とする。群 SL(2, C )はリーマン球面C ∪ {∞} （Cの一点コンパクト化）にメビウス変換として作用する。SL (2, C ) のg が行列

\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}

それから

\displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}

SL(2, C )のこの作用は、Aとそのコンパクト化Xに一般化される。この作用を定義するには、SL(2, C )が下と上の単位三角行列と対角行列の3つの部分群によって生成されることに注意する。また、SL(2, C )は、下（または上）単位三角行列、対角行列、および行列によっても生成される。

\displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}

行列Jはメビウス変換 $j (z) = - z -1$ に対応し、次のように書くことができる。

\displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}.}

∞ を固定するメビウス変換は、上三角行列にすぎません。g が∞ を固定しない場合は、 ∞ を有限点aに送信します。ただし、g を上単三角行列と合成してa を0 に送信し、次にJと合成して 0 を無限大に送信できます。

$A$ の元 $a$ に対して、 SL(2, C ) における $g$ の作用は同じ式で定義される。

\displaystyle {g(a)=(\alpha a+\beta 1)(\gamma a+\delta 1)^{-1}.}

$これは、 γ$ $a$ $+ δ1が$ $A$ で可逆である場合に、 $C [a]$ の元を定義します。したがって、 gが上三角行列の場合、 $A$ 上のどこでも作用が定義されます。一方、下三角行列の場合、 Xへの作用は簡単に定義できます。^[12]

対角要素 $α$ と $α$ $-1 を$ 持つ対角行列gに対して、 $g$ $($ $a$ $,$ $b$ $) = (α$ $2$ $a$ $, α$ $-2$ $b$ $)は$ $A$ $2$ 上の明確に定義された正則作用であり、商Xに伝わります。 $X$ $0$ $=$ $A$ 上では、これはメビウス作用と一致します。
対角パラメータγを持つ下単三角行列に対して、 $g (a, b)=(a, b -γ1)$ と定義する。これも $A2上で$ 正則であり、商Xに渡される。b $=0$ かつ $γ$ $\neq0$ のとき、

\displaystyle {g(a:0)=(a:-\gamma )=(a^{-\gamma }:0)=(a(\gamma a+1)^{-1}:0)}

γ a + 1

が逆関数である場合、これはメビウス作用の拡張です。

$非対角パラメータ β を持つ上単位三角行列の場合、 X 0 = (A :0)$ への作用は $g (a,0) = (a + β1)$ によって定義されます。Loos (1977) は、これが $A$ 上の複素 1 パラメータフローを定義することを示しました。対応する正則複素ベクトル場は $Xに拡張されたため、コンパクト複素多様体$ $X$ への作用は、関連する複素フローによって定義できます。より簡単な方法は、演算子 $J が$ ユニタリ構造群との絡み合い関係を使用して直接実装できることに注目することです。

実際、 Aの可逆元上で、演算子 $j (a) = - a -1 は$ $j (ga) = (g t) -1 j (a)$ を満たします。 $j$ $\circ$ $g$ $= ($ $g$ $t$ $)$ $-1$ $\circ$ $j$ となるようなX上の双正則同型j を定義するには、 Γ( A ) または Γ _u ( A $)$ の適切な軌道で $($ $a$ $:$ $b$ )に対してこれらを定義すれば十分です。一方、上で示したように、Eのジョルダンフレーム( e _i )が与えられると、Aのすべてのaに対して、 U = Γ _u ( A )のkが存在し、 $a$ $=$ $k$ $(Σ α$ $i$ $e$ $i$ $)かつ$ $α$ $i$ $\geq 0$ となります。

結合可換代数 $A$ $e$ $におけるj$ の計算は、直積なので簡単です。 $c$ $= Σ α$ $i$ $e$ $i$ および $d$ $= Σ β$ $i$ $e$ $i$ $に対して、 A$ $e$ 上のベルグマン作用素は、行列式 $det$ $B$ $($ $c$ $,$ $d$ $) = Π(1 - α$ $i$ $β$ $i$ $)$ $2$ を持ちます。特に、 $det$ $B$ $($ $c$ $,$ $d$ $- λ) \neq 0$ は、ある λ ≠ 0 に対してです。したがって、 $($ $c$ $,$ $d$ $)は$ $($ $x$ $,λ)$ と同等です。 $μ = -λ$ $-1$ とします。 $A上で、$ $a$ の稠密集合に対して、ペア $($ $a$ $,λ)は、$ bが逆である $($ $b$ $,0)$ と同等です。すると、 $(-$ $b$ $-1$ $,0)は$ $(μ - μ$ $2$ $a$ $,μ)$ と同等になります。 $a$ $\mapsto μ - μ$ $2$ $a$ は正則なので、 j はXへの唯一の連続拡張を持ち、 $j$ $\circ$ $g$ $= ($ $g$ $t$ $)$ $-1$ $\circ$ $j$ となる。ただし $g$ $はΓ($ $A$ $)$ に属する。拡張は正則であり、 λ $\neq 0に対して$ $μ = -λ$ $-1 となる。$

$\displaystyle {j(a,\lambda )=(\mu -\mu ^{2}a,\mu ).}$

上単位三角行列に対応する正則変換は、それらが下単位三角行列のJによる共役であるという事実を使用して定義することができ、その作用はすでにわかっています。直接的な代数構成は、Dineen、Mackey、Mellon (1999) で示されています。

この $SL(2, C)$ の作用は包含と互換性がある。より一般的には、 $e 1 、...、 e m が$ ジョルダンフレームであれば、 A _eへの $SL(2, C) m$ の作用があり、これはAに拡張される。 $c$ $= Σ γ$ $i$ $e$ $i$ $かつb$ $= Σ β$ $i$ $e$ $i$ であれば、 $S$ $($ $c$ $)$ と $T$ $($ $b$ $) は、$ 下側と上側の三角行列の積の作用を与える。 $a$ $= Σ α$ $i$ $e$ $i$ が可逆であれば、対応する対角行列の積は $W$ $=$ $Q$ $($ $a$ $)$ として作用する。^[13]特に、対角行列は $($ $C$ $*)$ $m$ と $T$ $m$ の作用を与える。

正則対称群

$A を$ 有限次元複素半単純単位ジョルダン代数とする。複素行列群G $の$ コンパクト複素多様体 $X$ への推移的正則作用が存在する。Koecher (1967) は、生成元と関係の観点から、 $SL(2,$ $C$ $)$ と同様に $Gを記述した。G$ $は、$ $X$ $0$ $=$ $A$ に制限された正則ベクトル場の対応する有限次元リー代数に作用するため、 $G$ は閉じた行列群として実現される。これは中心のないコンパクトリー群の複素化であり、したがって半単純代数群である。コンパクト群の単位元成分 $Hは$ $X$ に推移的に作用するため、 $X は$ コンパクト型のエルミート対称空間として識別できる。^[14]

群G は、 $X$ 上の 3 種類の正則変換によって生成されます。

$Γ($ $A$ $)$ の元W $に$ $対応する$ 演算子W $は$ $W$ $($ $a$ $,$ $b$ $)=($ $Wa$ $,($ $Wt$ $)$ $-1b$ $)$ で与えられます。これらはすでに上で説明しました。X0 $=$ $A$ $の場合には$ $a\mapstoWa$ $で$ $与え$ られます。
演算子S _{c は} $S c (a, b) = (a, b + c)$ によって定義されます。これらは下側単三行列の類似物であり、与えられたパラメータ化で $A$ の加法群と同型な部分群を形成します。これらはまた $A 2$ に正則に作用し、その作用は商Xに伝わります $。A$ では、 $($ $a$ $,$ $c$ $)$ が準逆である場合、作用は $a \mapsto a c$ によって与えられます。
$SL(2,$ $C$ $)$ における $J$ に対応する変換 $j 。これは、$ $X$ $に対するPSL(2,$ $C$ $) = SL(2,$ $C$ $)/{\pmI$ }の作用の一部として上で構築されました。 $A$ の可逆な要素では、 $a$ $\mapsto -$ $a$ $-1$ によって与えられます。

演算子 $W は$ 演算子群 $S c を$ 正規化します。同様に、演算子 $j は$ 構造群 $j \circ W = (W t) -1 \circ j を$ 正規化します。演算子 $T c = j \circ S - c \circ jも、$ $A$ の加法群に同型の正則変換群を形成します。これらは $SL(2, C)$ の上部ユニトライアングル部分群を一般化します。この群は、構造群の演算子Wによって正規化されます。演算子 $T c は$ $、 A$ に対して $a \mapsto a + c$ として作用します。 $c$ がスカラーの場合、演算子 $S c$ と $T c は$ $、 SL(2, C)$ の下側と上側のユニトライアングル行列に対応する演算子と一致します。したがって、 $j = S 1 \circ T 1 \circ S 1$ の関係があり、 $PSL(2, C)は$ Gの部分群です。 Loos (1977)は、 $X$ 上の正則ベクトル場に関連付けられたフローの観点から演算子 $T cを$ 定義し、Dineen、Mackey、Mellon (1999)は直接的な代数的記述を与えている。

$G は$ $X$ に対して推移的に作用します 。

確かに、 $S b T a (0:0) = (a : b)$ です。

$G -1$ と $G +1$ をそれぞれ対称性 $T c$ と $S c$ によって形成される複素アーベル群とする。G $0$ $= Γ($ $A) と$ する。

$\displaystyle {G=G_{0}G_{+1}G_{-1}G_{+1}=G_{0}G_{-1}G_{+1}G_{-1}.}$

$G$ の 2 つの式は、 $j$ で共役すると次のように等価になります。

$可逆$ な場合、華の恒等式は書き換えられる。

\displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}

さらに、 $j = S 1 \circ T 1 \circ S 1$ かつ $S c = j \circ T - c \circ j$ 。^[15]

$共変関係は、 G$ の要素が集合 $G 0 G 1$ 、 $G 0 G 1 jG 1$ 、 $G 0 G 1 jG 1 jG 1$ 、 $G 0 G 1 jG 1 jG 1 jG 1に分類されることを示しています。...$ $G$ の最初の式は、 4番目以降の集合に新しい要素が現れないことが確立されると、従います。これには、 ^[16]を示すだけで十分です。

j \circ G 1 \circ j \circ G 1 \circ j \subseteq G 0 G 1 \circ j \circ G 1 \circ j \circ G 1

.

$の場合には、 j$ が3回以上出現する場合、その数は再帰的に2に減らすことができます。 $A$ の $a 、 bが与えられた場合、$ $c$ $=$ $a$ $- λ$ および $d$ $=$ $b$ $- λ$ $-1$ が可逆となるように $λ \neq 0 を$ 選びます。すると

\displaystyle {jT_{a}jT_{b}j=jT_{c}T_{\lambda }jT_{\lambda ^{-1}}T_{d}\circ j=\lambda ^{2}jT_{c}jT_{-\lambda }jT_{d}\ j=\lambda ^{2}T_{-c^{-1}}jQ(c^{-1})T_{-c^{-1}-\lambda -d^{-1}}jQ(d^{-1})jT_{-d^{-1}},}

$これはG 0 G 1 \circ j \circ G 1 \circ j \circ G 1$ に存在します。

$G$ における $(0:0)$ の安定子は $G$ $0$ $G$ $-1$ である。

$S a T b (0:0) = (0:0)$ ならば $b = 0$ であることを確認しれば十分です。そうであれば $(b :0) = (0: - a) = (0:0)$ なので $b = 0$ です。

交流関係

$Gは$ $G$ $\pm1$ によって生成されます 。

$可逆$ な場合、華の恒等式は書き換えられる。

\displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}

$j = S 1 \circ T 1 \circ S 1$ なので、演算子 $Q (a)は$ $G \pm1$ によって生成される群に属する。^[17]

準可逆なペア $（ a 、 b ）に対しては、$ 「交換関係」が存在する^[18]

$S b T a = T a b B (a 、 b) -1 S b a$ 。

この恒等式は、 $B (a, b)が$ $G \pm1$ によって生成される群に含まれることを示しています。逆をとると、恒等式 $T a S b = S b a B (a, b) T a b$ と同等になります。

$交換関係を証明するには、 ($ $a$ $+$ $c$ $,$ $b$ $)$ が準逆である $X$ 内の点の稠密集合 $(c :0)$ に適用したときに有効であることを確認するだけで十分です。次に、次の恒等式に帰着します。

$\displaystyle {(a+c)^{b}=a^{b}+B(a,b)^{-1}c^{(b^{a})}.}$

実際、 $(a, b) が$ 準可逆であれば、 $(c$ $,$ $b$ $a$ $)$ が準可逆である場合に限り、 $(a$ $+$ $c$ $,$ $b$ $)も準可逆です。これは、$ $(x, y) が$ 準可逆である場合に限り、 $(y, x)$ が準可逆であるためです。さらに、この場合、上記の式が成り立ちます。

証明には、さらに 2 つの ID が必要です。

\displaystyle {B(c+b,a)=B(c,a^{b})B(b,a)}

\displaystyle {R(a,b)=R(a^{b},b-Q(b)a)=R(a-Q(a)b,b^{a})}

最初の等式は、転置を適用することで前の等式から導かれます。2番目の等式については、転置があるため、最初の等式を証明すれば十分です。 $等式$ $B$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ $R$ $($ $a$ $b$ $,$ $c$ $)$ $=$ $R$ $($ $a$ $,$ $c$ $)$ $-$ $Q$ $($ $a ) Q ($ $b$ $,$ $c$ $)$ $に$ $c = b -$ $Q$ $($ $b$ $)$ aを設定すると $、次の式$ が得られます $。$

B (a, b) R (a b, b - Q (b) c) = B (a, b) R (a, b)、

$したがって、 B (a, b)$ を消去することで恒等式が成立します。

この式を証明するには、関係式 $(a + c) b = B (a, c) -1 (a + c - Q (a + c) b)$ と $a b + B (a, b) -1 c (b a) = B (a + c, b) -1 (B (c, b a) (a - Q (a) b) + c - Q (c) b a)$ が次のことを証明すれば十分であることを示しています。

a + c - Q (a + c) b = B (c, b a) (a - Q (a) b) + c - Q (c) b a 。

確かに、 $B (c, b a) (a - Q (a) b) + c - Q (c) b a = a + c - Q (a) b + 2 R (c, b a)(a - Q (a) b) - Q (c)[b a - Q (b a)(a - Q (a) b)]$ です。一方、 $2 R (c, b a)(a - Q (a) b) = 2 R (c, a - Q (a) b) b a = R (a, b) c = 2 Q (a, c) b$ であり、 $b a - Q (b a)(a - Q (a) b) = b a - Q (b) B (a, b) -1 (a - Q (a) b) = b a - Q (b) a b = b です$ 。つまり、 $B (c, b a) (a - Q (a) b) + c - Q (c) b a = a + c - Q (a) b - 2 Q (a, c) b - Q (c) b = a + c - Q (a + c) b$ です。

$ここでΩ = G +1 G 0 G -1$ とおく。すると交換関係は、 $S b T a$ $がΩ$ に属するのは $(a, b)$ が準逆である場合に限ること、 $gが$ $Ω$ に属するのは $g (0:0)が$ $X 0$ に属する場合に限ることを示している。^[19]

実際、 $S b T a が$ $Ω$ 内にある場合、 $(a, b) は$ $(x,0)$ と同等であるため、これは準可逆ペアです。その逆は交換関係から導かれます。明らかに、 $Ω(0:0) = G 1 (0:0) = X 0$ です。その逆は、 $G = G -1 G 1 G 0 G -1と、$ $S b T a$ $がΩ$ 内にあるという基準から導かれます。

正則ベクトル場のリー代数

コンパクトな複素多様体 $X は$ 、空間 $A$ 上でモデル化される。遷移写像の導関数は、正則遷移関数 $F bc : X b \cap X c \to GL(A)を通じて接バンドルを記述する。これらは$ $F bc (a, b) = B (a, b - c)$ で与えられるため、対応する主ファイバーバンドルの構造群は、 $A$ の構造群 $Γ($ $A$ $)$ に簡約される。^{[20]ファイバー} $A$ を持つ対応する正則ベクトルバンドルは、複素多様体 $X$ の接バンドルである。その正則切断は、 X上の正則ベクトル場である。それらは、 Xの既知の正則対称性の自然随伴作用に対して不変でなければならないという事実を使用して直接決定することができる。それらは、有限次元の複素半単純リー代数を形成する。これらのベクトル場のX ₀への制限は明示的に記述することができる。この記述の直接的な帰結は、リー代数が3次であることと、 Koecher (1967)とLoos (1979)の生成元と関係によって記述されたXの正則対称性の群が、 Xの双正則同型群と一致する複素線型半単純代数群であるということです。

$X$ の正則自己同型の 3 つの部分群のリー代数は、 $X$ 上の正則ベクトル場の線型空間を生じ、したがって $X 0 = A$ です。

構造群 $Γ(A)$ は、演算子 $R$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ によって張られるリー代数を持ちます。これらは、 $A$ 上の線型ベクトル場 $a$ $\mapsto$ $R$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ $a$ の複素リー代数を定義します。 ${\mathfrak {g}}_{0}$
変換演算子は $Aに対して$ $T c (a) = a + c$ として作用します。対応する 1 パラメータサブグループは $T tc$ で与えられ、定数ベクトル場 $a \mapsto cに対応します。これらは$ $A$ 上のベクトル場のアーベルリー代数を与えます。 ${\mathfrak {g}}_{-1}$
$X$ 上の演算子 $S c は$ $S$ $c$ $($ $a$ $,$ $b$ $) = ($ $a$ $,$ $b$ $-$ $c$ $)$ によって定義されます。対応する 1 パラメータ群 $S$ $tc は$ $A$ 上の2 次ベクトル場 $a$ $\mapsto$ $Q$ $($ $a$ $)$ $c$ を定義します。これらは $A$ 上のベクトル場のアーベルリー代数を与えます。 ${\mathfrak {g}}_{1}$

させて

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}.}

そして、 $i$ $\neq -1, 0, 1$ に対して定義すると、複素リー代数が形成され、 ${\mathfrak {g}}_{i}=(0)$ ${\mathfrak {g}}$

\displaystyle {[{\mathfrak {g}}_{p},{\mathfrak {g}}_{q}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{p+q}}.

これは3次リー代数の構造を与える。の元(a,T,b)に対して、 $リー括弧は次のように$ 与えられる。 ${\mathfrak {g}}$

\displaystyle {[(a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2})]=(T_{1}a_{2}-T_{2}a_{1},[T_{1},T_{2}]+R(a_{1},b_{2})-R(a_{2},b_{1}),T_{2}^{t}b_{1}-T_{1}^{t}b_{2})}

Xのメビウス変換の群 $PSL(2, C)$ はリー代数を正規化する。ワイル群の元 $J$ に対応する変換 $j$ $($ $z$ $) = -$ $z$ $-1$ は、次式で与えられる逆自己同型 $σを誘導する。$ ${\mathfrak {g}}$

\displaystyle {\sigma (a,T,b)=(b,-T^{t},a).}

より一般的には、メビウス変換の作用

\displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}

明示的に記述することができる。生成子の観点から見ると、対角行列は次のように動作する。

\displaystyle {{\begin{pmatrix}\alpha &0\\0&\alpha ^{-1}\end{pmatrix}}(a,T,b)=(\alpha ^{2}a,T,\alpha ^{-2}b),}

上側単位三角行列は次のように作用する。

\displaystyle {{\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}(a,T,b)=(a+\beta T(1)-\beta ^{2}b,T-\beta L(a),b),}

下側の単位三角行列は次のように作用する。

\displaystyle {{\begin{pmatrix}1&0\\\gamma &1\end{pmatrix}}(a,T,b)=(a,T-\gamma L(b),b-\gamma T^{t}(1)-\gamma ^{2}a).}

これは行列表記で次のように一様に書くことができる。

\displaystyle {{\begin{pmatrix}g(T)&g(a)\\g(b)&g(T)^{t}\end{pmatrix}}=g{\begin{pmatrix}T&a\\b&T^{t}\end{pmatrix}}g^{-1}.}

特に、|α| = 1の場合でも、次数は $SL(2, C)の対角部分群の作用に対応するため、$ Tのコピーになります。

殺害形態は次のように表される。

\displaystyle {\mathbf {B} ((a_{1},T_{1},b_{1}),(a_{2},T_{2},b_{2}))=(a_{1},b_{2})+(b_{1},a_{2})+\beta (T_{1},T_{2}),}

ここで $β(T 1, T 2)$ は対称双線型形式で、次のように定義される。

\displaystyle {\beta (R(a,b),R(c,d))=(R(a,b)c,d)=(R(c,d)a,b),}

双線形形式 $(a, b)$ はトレース形式 $(a, b)=TrL (ab) に$ 対応する。

より一般的には、群 $G$ の生成元は自己同型として次のように作用する。 ${\mathfrak {g}}$

$\displaystyle {W(a,T,b)=(Wa,WTW^{-1},(W^{t})^{-1}b),}$
$\displaystyle {J(a,T,b)=(-b,-T^{t},-a),}$
$\displaystyle {T_{x}(a,T,b)=(a+Tx-Q(x)b,T-R(x,b),b),}$
$\displaystyle {S_{y}(a,T,b)=(a,T-R(a,y),b-T^{t}y-Q(y)a).}$

Killing 形式は上で非退化です 。 ${\mathfrak {g}}$

キリング形式の非退化性は明示的な式から直接わかります。カルタンの基準により、は半単純です。次のセクションでは、群 $G は、$ 自明な中心を持つ連結コンパクトリー群 $H$ の複素化として実現されるため、半単純です。これにより、半単純性を直接検証できます。群H はXに対して推移的にも作用します。 ${\mathfrak {g}}$

${\mathfrak {g}}$ $は、 X$ 上のすべての正則ベクトル場のリー代数です。

$がX$ 上の正則ベクトル場をすべて網羅していることを証明するために、群T が正則ベクトル場に対して作用することに注意する。そのようなベクトル場を $X$ $0$ $=$ $A$ に制限すると、 AからAへの正則写像が得られる。 0 の周りのべき級数展開は、次数 $m$ $\geq 0の同次部分の収束和である。$ $T$ の作用は、次数 $m$ の部分を $α$ $2$ $m$ $- 2$ でスケーリングする。 Tに関してフーリエ係数を取ると、次数mの部分も正則ベクトル場になる。 $Jによる共役は$ $T$ 上の逆を与えるので、可能な次数は 0、1、2 のみであることがわかる。次数 $0$ $は定数$ 体で説明される。 $Jによる共役は次数 0 と$ $次数$ $2$ を交換するので、これらすべての正則ベクトル場はで説明さ $れる$ $。$ Jによる共役は別のそのような写像N を与える。さらに、 $e$ $tM$ $($ $a$ $,0,0)= ($ $e$ $tM$ $a$ $,0,0)$ である。しかし、 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}_{\pm 1}$

\displaystyle {e^{tM}(0,0,b)=Je^{tN}J(0,0,b)=Je^{tN}(b,0,0)=(0,0,e^{tN}b).}

$U t = e tM$ 、 $V t = e tB$ と設定します。すると

\displaystyle {Q(U_{t}a)b=U_{t}Q(a)V_{-t}b.}

したがって、 $U t は$ $すべてのt$ に対して $Γ(A)$ に含まれ、したがって $M は$ に含まれることになります。したがって、はまさにX上の正則ベクトル場の空間です。 ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}$

コンパクトな実体

G のアクションは忠実 です。 ${\mathfrak {g}}$

$g = WT x S y T z が$ に自明に作用すると仮定する。すると、 $S$ $y$ $T$ $z は$ 部分代数 $(0,0,$ $A$ $)$ を不変にしなければならない。したがって、 $S$ $y も$ そうでなければならない。これにより、 $y$ $= 0$ となり、 $g$ $=$ $WT$ $x$ $+$ $z$ となる。しかし、 $T$ $x+z は$ 部分代数 $($ $A$ $,0,0)$ を不変にしなければならないので、 $x$ $+$ $z$ $= 0$ かつ $g$ $=$ $W$ となる。W $が$ 自明に作用する場合、 $W$ $=$ $I$ となる。^[21] ${\mathfrak {g}}$

したがって、グループ $G は$ GL 内のそのイメージと同一視できます。 ${\mathfrak {g}}$

$A = E + iE$ をユークリッドジョルダン代数 $E$ の複素化とする。a $=$ $x$ $+$ $iy$ に対して、a * = x − iy とする $。E$ $上のトレース形式は$ A $上$ $の$ 複素内積を定義し、したがって随伴演算を定義する。ユニタリ構造群 $Γ u (A)は、$ $Γ($ $A$ $)$ 内の $gのうち$ $U$ $($ $A$ $)$ 内にあるもの、すなわち $gg$ $*=$ $g$ $*$ $g$ $=$ $I$ を満たすものから構成される。これはU ( A )の閉部分群である。そのリー代数は内の歪随伴元から構成される。によって上の共役線型反転 $θを定義する。$ ${\mathfrak {g}}_{0}$ ${\mathfrak {g}}$

\displaystyle {\theta (a,T,b)=(b^{*},-T^{*},a^{*}).}

これはリー代数の周期2の共役線型自己同型である。これは $G$ の自己同型を誘導し、生成元上では次のように与えられる。

\displaystyle {\theta (S_{a})=T_{a^{*}},\,\,\,\theta (j)=j,\,\,\,\theta (T_{b})=S_{b^{*}},\,\,\,\theta (W)=(W^{*})^{-1}.}

$H を$ $G$ における $θ$ の不動点部分群とする。をにおける $θ$ の不動点部分代数とする。 $($ $a$ $,$ $b$ $) = -B($ $a$ $,θ($ $b$ $))$ により上のセスク線形形式を定義する。これは上の複素内積を定義し、これは上の実内積に制限される。両方とも $H$ によって保存される $。K を$ $Γ$ $u$ $($ $A$ $)$ の恒等成分とする。これは $H$ 内にある。K $e$ $=$ $T$ $m を$ $E$ のジョルダンフレームに関連付けられた対角トーラスとする。SL $(2,$ $C$ $)$ $m$ の作用は $θ$ と互換性があり、これはユニモジュラ行列をに送る。特に、これは $SU(2)$ $m$ $のH$ への準同型を与える。 ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}{\overline {\delta }}&-{\overline {\gamma }}\\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}$

$SU(2)$ のあらゆる行列 $Mは$ 積として表すことができる。

\displaystyle {M={\begin{pmatrix}\zeta _{1}&0\\0&\zeta _{1}^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{2}&0\\0&\zeta _{2}^{-1}\end{pmatrix}}.}

真ん中の因子は、 $J$ で共役することで得られる $SU(2)$ の別の最大トーラスを与えます。 $a$ $= Σ α$ $i$ $e$ $i$ で |α _i | = 1 の場合、 $Q$ $($ $a$ $) は対角トーラス$ $T$ $=$ $T$ $m$ の作用を与え、 $K$ $\subseteq$ $H$ の元に対応します。元 $J は$ $SU(2)$ $m$ にあり、その像は $H$ にあるメビウス変換 $j$ です。したがって、 $S$ $=$ $j$ $\circ$ $T$ $\circ$ $j は$ $H$ の別のトーラスであり、 $T$ $\circ$ $S$ $\circ$ $T は$ $SU(2)$ $m$ の像と一致します。

H は Xに対して推移的に作用する。 $(0:0)$ の安定群は $K$ である。さらに $H$ $=$ $KSK$ なので、 $H は$ 上のユニタリ群の連結閉部分群となる。そのリー代数はである。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$

$A$ $e$ に対応するコンパクト複素多様体に対して $Z = SU(2) m (0:0)$ であるため、 $Y$ $=$ $T$ $S$ $(0:0)$ となり、 $Yは$ $Z$ の像である。一方、 $X$ $=$ $KY$ であるため、 $X$ $=$ $KTS$ $(0:0) =$ $KS$ $(0:0)となる。一方、$ $H$ における $(0:0)$ の安定化因子は $K$ であり、 $θ$ による $G$ $0$ $G$ $-1$ の不動点部分群は $K$ である。したがって、 $H$ $=$ $KSK$ である。特に、KとSはどちらもコンパクトかつ連結であるため、H はコンパクトかつ連結である。 Uの閉部分群であるため、リー群である。 Kを含むため、そのリー代数には $T$ $* = -$ $T$ となる演算子 $(0,$ $T$ $,0)が含まれる。$ $SU(2)$ $m$ の像を含むため、 $A$ $e$ に $a$ となる元 $($ $a$ $,0,$ $a$ $*) が$ 含まれる。 $A$ $=$ $KA$ $e$ かつ $($ $k$ $t$ $)$ $-1$ $($ $a$ $*) = ($ $ka$ $)*$ なので、 $H$ のリー代数は $A$ のすべての $a$ $に対して($ $a$ $,0,$ $a$ $*)$ を含むことになります。したがって、が含まれます。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}_{1}$ ${\mathfrak {h}}$

これらは等しい。なぜなら、のすべての歪随伴微分は内部微分だからである。実際、 $H は$ 正規化し、共役による作用は忠実なので、の微分からなるリー代数へのの写像は忠実である。特には自明な中心を持つ。がに等しいことを示すには、がと一致することを示せば十分である。上の微分は、によって与えられる内積からキリング形式を引いたものに対して歪随伴である。 $-Tr$ $D$ $1$ $D$ $2$ によって与えられる上の不変内積を取る。がに対して不変なので、その直交補集合もに対して不変である。これらは両方ともにおけるイデアルなので、それらの間のリー括弧は消えなければならない。しかし、の直交補集合におけるどの微分もに対して 0 のリー括弧を持つことになるので、はゼロでなければならない。したがっては $H$ のリー代数である。（これは次元数からも導かれる。 $dim$ $X$ $= dim$ $H$ $- dim$ $K$ であるからである。） ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}_{1}$ ${\mathfrak {d}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}_{1}$ ${\mathfrak {d}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {d}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {d}}$ ${\mathfrak {d}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$

$G は$ 上の一般線型群の閉部分群に同型です 。 ${\mathfrak {g}}$

$W$ と $S y$ の作用に関する上記の式は、 $G 0 G -1$ の像がGL で閉じていることを示しています。 $H は$ $X$ に推移的に作用し、 $G$ における $(0:0)$ の安定化因子は $G$ $0$ $G$ $-1$ であるため、 $G$ $=$ $HG$ $0$ $G$ $-1$ となります。 $H$ のコンパクト性と $G$ $0$ $G$ $-1の閉性は、$ $G$ がGLで閉じていることを意味します。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

$G は$ リー代数を持つ連結な複素リー群である 。これはHの複素化である。 ${\mathfrak {g}}$

$G は$ GL の閉部分群なので実リー群です。G には $i$ $= 0$ または $\pm1$ で $あるG$ $i が$ 含まれるので、そのリー代数はを含みます。はの複素化な、そのすべての導出が内部的であり、自明な中心を持つのと同様に。G のリー代数はを正規化し $、 o$ はを中心化する唯一の要素なので、コンパクトなケースと同様に、G のリー代数 $は$ でなければなりません。(これは次元数からもわかります $。なぜならdim$ $X$ $= dim$ $G$ $- dim$ $G$ $0$ $G$ $-1$ だからです。) 複素部分空間なので、 $Gは複素リー群です。G は連結集合$ $H$ $\times$ $G$ $0$ $G$ $-1$ の連続像なので連結です。はの複素化な、 $G は$ $H$ の複素化です。 ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {h}}$

非コンパクトな実数形式

$A$ の $a$ に対して、スペクトルノルム || a || は、 $a$ $= u Σ α$ $i$ $e$ $i$ かつ $α$ $i$ $\geq 0かつ$ $u$ が $K$ のとき、 $最大 α$ $i$ であると定義されます。これは選択に依存せず、 $A$ 上のノルムを定義します。D $を$ || a || < 1である $a$ の集合とし、 $H$ $* を$ $D を$ 自身に乗せたGの閉部分群の恒等成分とします。これは $K$ $、 PSU(1,1)$ のメビウス変換、およびジョルダンフレームに対応する $SU(1,1)$ $m$ の像によって生成されます。τ を次式で定義されるの共役線形周期 2 自己同型とします。 ${\mathfrak {g}}$

\displaystyle {\tau (a,T,b)=(-a^{*},-T^{*},-b^{*}).}

を τ の不動点代数とする。これは $H$ $*$ のリー代数である。これは不動点部分群 $H$ $*を持つ$ $G$ の周期 2 自己同型を誘導する。群 $H$ $* は$ $D$ に推移的に作用する。0 の安定子は $K$ である。^[22] ${\mathfrak {h}}^{*}$

非コンパクトな実半単純リー群 $H *$ は、開いた軌道 $D$ でXに作用します。SU $(1,1)$ のリーマン球面への作用と同様に、有限個の軌道しか持ちません。この軌道構造は、ジョルダン代数 $A$ が単純なときに明示的に記述できます。X $0$ $($ $r$ $,$ $s$ $)$ $を$ 、要素 $a$ $=$ $u$ $Σ α$ $i$ $a$ $i$ $で構成されるA$ の部分集合とし、 α _iのうちちょうど $r$ が1 未満で、ちょうど $s$ が 1 より大きいものとします。したがって、 $0 \leq$ $r$ $+$ $s$ $\leq$ $m$ です。これらの集合は、 $H$ $*$ の軌道 $X$ $($ $r$ $,$ $s$ $)$ と $X$ $0の交差です$ $。$ $r$ $+$ $s$ $=$ $m$ となる軌道は $開い$ ています。唯一のコンパクトな軌道X $($ 0,0 ) $が$ $存在$ $し$ ます。 $X$ $($ $p$ $,$ $q$ $)が$ $X$ $($ $r$ $,$ $s$ $)$ の閉包に含まれるのは、 $p$ $\leq$ $r$ かつ $q$ $\leq$ $s$ の場合のみである。特に $S は$ あらゆる軌道の閉包に含まれる。^[23]

反転を伴うジョルダン代数

前述の理論は、チューブ型の既約エルミート対称空間を単位ジョルダン代数で記述している。Loos (1977) では、一般的なエルミート対称空間は、上記の理論をジョルダン対に体系的に拡張することで記述されている。しかし、 Koecher (1969) の展開では、チューブ型でない既約エルミート対称空間は、単純なユークリッドジョルダン代数の周期 2 自己同型で記述されている。実際、任意の周期 2 自己同型はジョルダン対を定義しており、Loos (1977) のジョルダン対に関する一般的な結果は、その設定に特化することができる。

τ を、複素化Aを持つ単純ユークリッドジョルダン代数Eの周期 2 自己同型とする。τの ±1 固有空間への対応する分解E = E ₊ ⊕ E ₋およびA = A ₊ ⊕ A _{−が存在する。V} $\equiv$ $A$ $τ$ $=$ $A$ $-とする。τ$ $は$ $、$ $V$ 上のトレース形式が内積を定義するという追加条件を満たすものと仮定する。V内の $a$ について、 $Q$ $τ$ $($ $a$ $)$ $を$ $Q$ $($ $a$ $)の$ Vへの制限として定義する。V $2$ 内のペア $($ $a$ $,$ $b$ $)について、$ $B$ $τ$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ および $R$ $τ$ $($ $a$ $,$ $b$ $)を$ $B$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ および $R$ $($ $a$ $,$ $b$ $)の$ $V$ への制限として定義する。すると、すべての演算子 $Q$ $τ$ $($ $a$ $)$ および $R$ $τ$ $($ $a$ $,$ $b$ $)の下で不変な部分空間が$ $(0)$ および $V$ である場合に限り、 $V は$ 単純である。

$A$ における準可逆性の条件は、 $B τ (a, b)$ が可逆である場合に限り、 $B (a, b)$ が可逆であることを示しています。準逆 $a b は$ $、 A$ と $V$ のどちらで計算しても同じです。同値類の空間 $X τは、ペア$ $V 2$ 上で定義できます。これは $X$ の閉じた部分空間なのでコンパクトです。また、 $V を$ モデルにした複素多様体の構造も持っています。構造群 $Γ(V)は$ $Q τ$ に関して定義でき、部分群として単位元成分 $K$ $τ$ を持つユニタリ構造群 $Γ u (V) = Γ(V) \cap U(V)$ を持っています。群 $K$ $τ は、$ $K$ における τ の不動点部分群の単位元成分です。 $G$ $τ を$ 、 $G$ $τ$ $,0$ の $W$ $、 Γ($ $V$ $)$ の恒等成分、および $S$ $a$ からなるアーベル群 $G$ $τ,-1と、$ $V$ の $a$ と $bを含む$ $T$ $b$ からなる $G$ $τ,+1$ によって生成される $X$ $τ$ の双正則同型群とする。これは、安定因子 $G$ $τ,0$ $G$ $τ,-1$ および $G$ $τ$ $=$ $G$ $τ,0$ $G$ $τ,-1$ $G$ $τ,+1$ $G$ $τ,-1$ $とともに$ X $τに推移的に作用する。X$ $τ$ 上の正則ベクトル場のリー代数は、3次リー代数である。 ${\mathfrak {g}}_{\tau }$

\displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\tau }={\mathfrak {g}}_{\tau ,+1}\oplus {\mathfrak {g}}_{\tau ,0}\oplus {\mathfrak {g}}_{\tau ,-1}.}

$V$ に制限すると、成分は前と同じように $V$ への定数関数、演算子 $R τ (a, b)$ 、演算子 $Q τ (a)$ によって生成されます。リー括弧は前とまったく同じ式で与えられます。

$E τ$ と $V$ のスペクトル分解は、三等元、つまり $e$ $3$ $=$ $e$ となる元 $e を$ 使用して行われます。この場合、 $f$ $=$ $e$ $2 は$ $E$ $+$ のべき等元です。ピアス分解 $E$ $=$ $E$ $0$ $($ $f$ $) \oplus$ $E$ があります $。$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2⁠ ( f ) ⊕ E 1 ( f )$ $をL (f)$ の固有空間に。演算子 $L (e)$ と $L (f)$ 交換可能であるため、 $L (e) は$ 上記の固有空間を不変のままにします。実際、 $L (e) 2 は$ $E 0 (f)$ $では 0 として、 E$ では 1/4として作用します $。$ $1 / 2 ⁠ (f)$ と 1 を $E 1 (f)$ 。これにより、ピアス分解 $E τ = E τ,0 (f) \oplus E τ, ⁠が誘導されます。 1 / 2 ⁠ (f) \oplus E τ,1 (f)$ 。部分空間 $E τ,1 (f) は$ 、変異ジョルダン積 $x$ $\circ$ $y$ $= {$ $x$ $,$ $e$ $,$ $y } の下で単位$ $f$ を持つユークリッドジョルダン代数になります。

2 つの三等元 $e 1$ と $e 2$ は、aとb が $e$ $1$ と $e$ $2$ のべき乗であるときすべての演算子 $[$ $L$ $($ $a$ $),$ $L$ $($ $b$ $)] = 0$ であり、対応するべき等元 f 1 と f 2 が直交する場合、直交 $し$ $て$ いる $と$ $いい$ $ます$ 。この場合、 $e$ $1$ と $e$ $2 は$ 可換結合代数を生成し、 $($ $e$ $1$ $e$ $2$ $,$ $e$ $1$ $e$ $2$ $) =($ $f$ $1$ $,$ $f$ $2$ $) =0 であるため、 e 1 e 2 = 0$ $です$ 。 $a$ $が$ $E$ τ 内にあるものとします $。$ $F$ $を$ aの奇数べき乗で張られる有限次元の実数部分空間とし $ます$ $。 a$ の奇数べき乗である $x$ $、$ $y$ を持つ可換自己随伴演算子 $L$ $($ $x$ $)$ $L$ $($ $y$ $)は$ $F$ に作用する $ため$ 、正規直交基底 $e$ $i$ によって同時に対角化できます。 $($ $e$ $i$ $)$ $3 は$ $e$ $i$ の正の倍数なので、必要に応じて再スケーリングすると、 $e$ $i を$ 三等元として選択できます。これらは、構築によって直交ファミリを形成します。 $a は$ $F$ 内にあるため、 $α$ $i が$ $実数であるa$ $= Σ α$ $i$ $e$ $i$ と書くことができます。これらは、 $a$ の固有値(τ に関して) と呼ばれます。 $F$ 内のその他の三等元 $e は$ $、 ε$ $i$ $= 0, \pm1$ である $a$ $= Σ ε$ $i$ $e$ $i の$ 形をとるため、 $e$ $i は$ $、 F$ 内の最小三等元となります。

$E τ$ の直交三元系の最大の族は、ジョルダンフレームと呼ばれます。三元系は必然的に最小です。すべてのジョルダンフレームは、 $E$ $τ$ の階数と呼ばれる同じ数の元を持ちます。任意の 2 つのフレームは、トレース形式を保存する $E$ $τ$ の構造群の部分群の元によって関連付けられます。与えられたジョルダンフレーム $($ $e$ $i$ $)に対して、$ $V$ の任意の元 $aは、$ $a$ $=$ $u$ $Σ α$ $i$ $e$ $i$ の形式で記述できます。ここで、 $α$ $i$ $\geq 0$ で、 $u は$ $K$ $τ$ の演算子です。 $a$ のスペクトルノルムは|| a || = sup α _iで定義され、選択とは無関係です。その平方は $Q$ $τ$ $($ $a$ $)$ の演算子ノルムに等しくなります。したがって、 $V は開単位球$ $D$ $τ$ を持つ複素ノルム空間になります。

$E$ の $x$ に対して、演算子 $Q$ $($ $x$ $) は$ 自己随伴であるため、ノルム || $Q$ $($ $x$ $)$ $n$ || = || $Q$ $($ $x$ $)$ || ⁿとなることに注意してください。 $Q$ $($ $x$ $)$ $n$ $=$ $Q$ $($ $x$ $n$ $)であるため、 ||$ $x$ $n$ || = || $x$ || ⁿとなります。特に、 $A$ の $x$ $= Σ α$ $i$ $e$ $i$ $のスペクトルノルムは、 x$ $2$ $= Σ (α$ $i$ $)$ $2$ $f$ $i$ のスペクトルノルムの平方根です。したがって、 $xのスペクトルノルムは、$ $A$ で計算しても $A$ $τ$ で計算しても同じになります。 $K$ $τ は両方のノルムを保存するため、$ $A$ $τ$ のスペクトルノルムは、 $A$ のスペクトルノルムを制限することによって得られます。

ジョルダンフレーム $e 1, ..., e m$ について、 $V e = \oplus C e i$ $とする。 V$ $e$ に対する $SL(2, C) m$ の作用があり、これはVにまで及ぶ。 $c$ $= Σ γ$ $i$ $e$ $i$ かつ $b$ $= Σ β$ $i$ $e$ $i$ ならば、 $S$ $($ $c$ $)$ および $T$ $($ $b$ $)$ は、下側および上側の三角行列の積の作用を与える。 $a$ $= Σ α$ $i$ $e$ $i$ かつ $α$ $i$ $\neq 0$ ならば、対応する対角行列の積は $W$ $=$ $B$ $τ$ $($ $a$ $,$ $e$ $-$ $a$ $)$ として作用する（ $e$ $= Σ$ $e$ $i ）$ 。^[24]特に、対角行列は $($ $C$ $*)$ $m$ および $T$ $m$ の作用を与える。

自己同型 τ がない場合と同様に、 $G τ$ の自己同型 θ が存在します。同じ議論から、不動点部分群 $H τ は$ $K τ$ $とSU(2) m$ の像によって生成されることがわかります。これはコンパクト連結リー群です。これは $X τ$ $に推移的に作用します。 (0:0)$ の安定子は $K τ$ です。したがって、 $X τ = H τ / K τ$ はコンパクト型のエルミート対称空間です。

$H τ * を、$ $D$ $τ を$ 自身に乗せた $G τ$ の閉部分群の恒等成分とする。これは $K$ $τ$ $と、ジョルダンフレームに対応するSU(1,1)$ $m$ の像によって生成される。ρ を、次式で定義されるの共役線型周期 2 自己同型とする。 ${\mathfrak {g}}_{\tau }$

\displaystyle {\rho (a,T,b)=(-a^{*},-T^{*},-b^{*}).}

ρ の不動点代数をとする。これは $H$ $τ$ $*$ のリー代数である。これは不動点部分群 $H$ $τ$ $*を持つ$ $G$ の周期 2 自己同型を誘導する。群 $H$ $τ$ $* は$ $D$ $τ$ に推移的に作用する。0 の安定子は $K$ $τ$ $*$ である。^[25] $H$ $τ$ $*/$ $K$ $τは$ $H$ $τ$ $/$ $K$ $τ$ の非コンパクト型双対のエルミート対称空間である。 ${\mathfrak {h}}_{\tau }^{*}$

非コンパクト型のエルミート対称空間は、Cの上半平面に類似した、無限の実現を持ちます。 $PSL(2,$ $C$ $)$ のケーリー変換とその逆に対応するメビウス変換は、単位円板と上半平面を交換したリーマン球面の双正則写像を与えます。エルミート対称空間がチューブ型の場合、同じメビウス変換は、 $A$ の円板 $D を$ チューブ領域 $T$ $=$ $E$ $+$ $iC$ に写像します。ここで、 $C はユークリッドジョルダン代数$ $E$ の正方形の開いた自己双対凸錐です。

チューブ型でないエルミート対称空間では、 Xに対する $PSL(2, C)$ の作用はないので、類似のケイリー変換は存在しない。その場合、任意の最大三等辺三角形 $e$ $= Σ ε$ $i$ $e$ $i$ in $E$ $τ$ に対して部分ケイリー変換を定義できる。これは、 $A$ $τ$ $=$ $A$ $τ,1$ $($ $f$ $) \oplus$ $A$ $τ$ の円板 $D$ $τを取る$ $。⁠$ $1 / 2 ⁠ (f) を$ 第二種のシーゲル領域へ

この場合、 $E τ,1 (f)$ はユークリッドジョルダン代数であり、 $E$ $τ上には対称的な$ $E τ,1 (f)$ 値双線型形式が存在する $。$ $1 / 2 ⁠ (f)$ で、対応する二次形式 $q は$ その正の錐 $C τ$ で値を取る。シーゲル領域は $(x + iy, u + iv)$ 、 $y - q (u) - q (v) は$ $C$ $τ に$ 含まれる上の二次形式 $q は$ $、$ $⁠$ $1 / 2 ⁠ (f)$ $とE τ,1 (f)$ 上の二乗演算は $x \mapsto Q τ (x) e$ で与えられる。正の円錐 $C τ は$ $Q$ $τ$ $($ $x$ $)$ が $可逆なx$ に対応する。^[26]

例

$複素化A$ を持つ単純ユークリッドジョルダン代数 $E$ に対して、コンパクト型エルミート対称空間 $X$ はカルタン分類を用いて以下のように明示的に記述できる。^[27]

タイプI _n。 A は、 n × n複素行列 $M n (C)$ のジョルダン代数であり、演算子はジョルダン積 $x \circ y = ⁠です。 1 / 2 ⁠ (xy + yx)$ 。これは、自己随伴n × n複素行列のユークリッドジョルダン代数 $E = H n (C)の複素化です。この場合、$ $G$ $= PSL(2$ $n$ $,$ $C$ $)は、$ $g$ $($ $z$ $) = ($ $az$ $+$ $b$ $)($ $cz$ $+$ $d$ $)$ $-1$ として $A$ に作用します。実際、これは、演算子 $W$ 、 $S$ $c$ 、および $T$ $b$ に対応する対角、上側、および下側の三角行列に対して直接検証できます。サブセット $Ω は、$ $d$ が行列 $gに対応します。実際、$ $C$ $n$ $からC$ $2$ $n$ $=$ $C$ $n$ $\oplus$ $C$ $n$ への線型写像の空間を考えます $。これは、 M$ $n$ $($ $C$ $)$ 内の $T$ $i$ とのペア ( $T$ $1$ | $T$ $2$ )、ターゲット空間に作用する $GL(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のモジュールです、ソース空間への作用によって誘導される $GL($ $n$ $,$ $C$ $)$ の作用もあります $。単射写像の空間U は$ 不変であり、 $GL($ $n$ $,$ $C$ $) は$ それに自由に作用します。商は、 $C$ $2$ $n$ のn次元部分空間からなる $グラスマン多様体M$ $です。 ($ $a$ $,$ $b$ $)$ を単射写像 ( $a$ | $I$ $-$ $b$ $t$ $a$ ) に送ることで、 $A$ $2の$ $M$ への写像を定義し $ます。この写像は、 M$ への $X$ の同型を誘導します。 $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

実際、 $V を$ $C$ $n$ $\oplus$ $C$ $n$ のn次元部分空間とします。これが一般位置にある場合、つまり、 V とその直交補空間が $C$ $n$ $\oplus (0)$ および $(0) \oplus$ $C$ $n$ $と自明に交差する場合、これは可逆演算子T$ のグラフです。したがって、この像は ( $a$ | $I$ $-$ $b$ $t$ $a$ )に対応し、 $a$ $=$ $I$ および $b$ $t$ $=$ $I$ $-$ $T$ となります。

反対に、 $V$ とその直交補集合 $U は$ 直交和 $V = V 1 \oplus V 2$ , $U = U 1 \oplus U 2$ と書くことができます。ここで、 $V 1$ と $U 1 は$ $C n \oplus (0)$ との交点であり、 $V 2$ と $U 2 は$ $(0) \oplus C n$ との交点です。すると $dim V 1 = dim U 2$ かつ $dim V 2 = dim U 1$ です。さらに、 $C n \oplus (0) = V 1 \oplus U 1$ かつ $(0) \oplus C n = V 2 \oplus U 2$ です。部分空間 $V は($ $e$ | $I - e$ )のペアに対応します。ここで $eは$ $C n \oplus (0)の$ $V 1$ への直交射影です。したがって、 $a = e$ かつ $b = I$ です。

一般的なケースは、これら 2 つのケースの直和です。 $V は$ 直交和 $V = V 0 \oplus V 1 \oplus V 2$ として表すことができます。ここで、 $V 1$ と $V 2は$ $C n \oplus (0)$ と $(0) \oplus C n$ との共通部分であり、 $V 0 は$ $V$ におけるそれらの直交補集合です。同様に、 $V$ の直交補集合 $Uは$ $U$ $=$ $U$ $0$ $\oplus$ $U$ $1$ $\oplus$ $U$ $2$ と表すことができます。したがって、 $C$ $n$ $\oplus (0) =$ $V$ $1$ $\oplus$ $U$ $1$ $\oplus$ $W$ $1$ および $(0) \oplus$ $C$ $n$ $=$ $V$ $2$ $\oplus$ $U$ $2$ $\oplus$ $W$ $2$ であり、ここで $W$ $i は$ 直交補集合です。直和 $($ $V$ $1$ $\oplus$ $U$ $1$ $) \oplus ($ $V$ $2$ $\oplus$ $U$ $2$ $) \subseteq$ $C$ $n$ $\oplus$ $C$ $n は$ 第 2 種であり、第 1 種の直交補数です。

タイプIII _n . A は、 n × n対称複素行列 $S n (C)$ のジョルダン代数であり、演算子ジョルダン積 $x \circ y = ⁠ 1 / 2 ⁠ (xy + yx)$ 。これは、 n × n対称実数行列のユークリッドジョルダン代数 $E = H n (R)$ の複素化です。 $C$ $2$ $n$ $=$ $C$ $n$ $\oplus$ $C$ $n$ $上で、 ω($ $x$ $1$ $\oplus$ $y$ $1$ $,$ $x$ $2$ $\oplus$ $y$ $2$ $) =$ $x$ $1$ $•$ $y$ $2$ $-$ $y$ $1$ $•$ $x$ $2$ により、非退化交代双線形形式を定義します。行列表記では、 $J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}$

\displaystyle {\omega (z_{1},z_{2})=zJz^{t}.}

$Sp(2n, C)$ を複素シンプレクティック群、すなわち $GL(2n, C)$ のωを保存する部分群とします。これは $gから成り、$ $gJg t = J$ であり、 $g \mapsto g t$ に関して閉じています。Sp $(2n,$ $C$ $)$ に属する場合、 $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

\displaystyle {g^{-1}={\begin{pmatrix}d^{t}&-c^{t}\\-b^{t}&a^{t}\end{pmatrix}}.}

それは中心 ${\pm I$ } を持ちます。この場合、 $G = Sp(2 n, C)/{\pm I$ } は、 $Aに対して$ $g (z) = (az + b)(cz + d) -1$ として作用します。確かに、これは、演算子 $W$ 、 $S c$ 、および $T b$ に対応する対角、上側、および下側の三角行列に対して直接検証できます。サブセット $Ω は、$ $d$ が可逆な行列 $gに対応します。実際に、$ $C$ $n$ $からC$ $2$ $n$ $=$ $C$ $n$ $\oplus$ $C$ $n$ への線型写像の空間を考えます。これは、 $M$ $n$ $($ $C$ $)$ 内の $T$ $i$ とのペア ( $T$ $1$ | $T$ $2$ )によって記述されます。これは、ターゲット空間に作用する $Sp(2$ $n$ $,$ $C$ $)$ のモジュールです。ソース空間への作用によって誘導される $GL($ $n$ $,$ $C$ $)$ の作用もあります。等方像を持つ、すなわち像上で ω が消える、入射写像 $U$ の空間は不変である。さらに、 $GL($ $n$ $,$ $C$ $) はそれに自由に作用する。商は$ $C$ $2$ $n$ のn次元ラグランジアン部分空間からなるシンプレクティックグラス $マン$ $多様体 M である。 ($ $a$ $,$ $b$ $)$ を入射写像 ( $a$ | $I$ $-$ $ba$ ) に送ることで、 $A$ $2の$ $M$ への写像を定義する。この写像は、 $M$ 上への $X$ の同型性を誘導する。

実際、 $V を$ $C$ $n$ $\oplus$ $C$ $n$ のn次元ラグランジアン部分空間とします。 $U を$ $V を$ 補完するラグランジアン部分空間とします。これらが一般的な位置にある場合、つまり $C$ $n$ $\oplus (0)$ および $(0) \oplus$ $C$ $n$ と自明に交差する場合、 $V は$ $T$ $t$ $=$ $T$ である可逆演算子 $T$ のグラフです。したがって、この像は ( $a$ | $I$ $-$ $ba$ )に対応し、 $a$ $=$ $I$ および $b$ $=$ $I$ $-$ $T$ となります。

反対に、 $V$ と $U は$ 直和 $V = V 1 \oplus V 2$ 、 $U = U 1 \oplus U 2$ と書くことができます。ここで、 $V 1$ と $U 1 は$ $C n \oplus (0)$ との交点であり、 $V 2$ と $U 2$ $は(0) \oplus C n$ との交点です。このとき、 $dim V 1 = dim U 2$ かつ $dim V 2 = dim U 1$ です。さらに、 $C n \oplus (0) = V 1 \oplus U 1$ かつ $(0) \oplus C n = V 2 \oplus U 2$ です。部分空間 $V は($ $e$ | $I - e$ )のペアに対応します。ここで、 $e は$ $C n \oplus (0)の$ $V 1$ への射影です。 ( $C n \oplus (0)$ , $(0) \oplus C n$ )のペアはω に関して双対であり、それらの間の同一視により $C n$ 上の標準対称双線型形式が誘導されることに注意してください。特に、 V _1はU ₂と同一視され、V _2はU ₁と同一視されます。さらに、V ₁とU _{1は (} $C n \oplus (0) )$ 上の対称双線型形式に関して直交します。したがって、冪等性 $e は$ $e t = e を$ 満たします。したがって、 $a = e$ および $b = I は$ $A$ にあり、 $V は($ $a$ | $I - ba$ )の像です。

一般的な場合は、これら 2 つの場合の直和です。 $V は$ 直和 $V = V 0 \oplus V 1 \oplus V 2$ と書くことができます。ここで、 $V 1$ と $V 2は$ $C n \oplus (0)$ と $(0) \oplus C n$ との共通部分であり、 $V 0は$ $V$ の補集合です。同様に、 $U は$ $U = U 0 \oplus U 1 \oplus U 2$ と書くことができます。したがって、 $C n \oplus (0) = V 1 \oplus U 1 \oplus W 1$ および $(0) \oplus C n = V 2 \oplus U 2 \oplus W 2$ であり、ここで $W i は$ 補集合です。直和 $(V 1 \oplus U 1) \oplus (V 2 \oplus U 2) \subseteq C n \oplus C n は$ 第 2 種です。これは第 1 種の補集合を持ちます。

タイプ II _2n。 A は、2 n × 2 nの歪対称複素行列 $A n (C)$ とジョルダン積 $x$ $\circ$ $y$ $= -$ $⁠$ のジョルダン代数です。 $1 / 2 ⁠ (x J y + y J x)$ で、単位はで与えられます。これは、四元数の要素を持つ自己随伴n × n行列のユークリッドジョルダン代数 $E$ $= H$ $n$ $($ $H$ $)$ の複素化です。これは Loos (1977) と Koecher (1969) で説明されています。 $J={\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}$

タイプ IV _n。Aは、ジョルダン積 $($ $x$ $,α) \circ ($ $y$ $,β) = (β$ $x$ $+ α$ $y$ $,αβ +$ $x$ $•$ $y$ $)$ を持つジョルダン代数 $C n \oplus C$ です。これは、同じ式で定義されるが実係数を持つ階数 2 のユークリッドジョルダン代数の複素化です。これは Loos (1977) で説明されています。

タイプ VI.複素化されたアルバート代数。これは Faulkner (1972)、Loos (1978)、Drucker (1981) で議論されています。

周期2の自己同型性を持つ単純ユークリッドジョルダン代数 $E$ のコンパクト型エルミート対称空間 $X$ は、カルタンの分類を用いて次のように明示的に記述できる。^[28]

_{I p,q}型。F をR上の q × p 行列でp ≠ qの空間とします。これは、 p対角要素が 1、 qが -1 である対角行列で共役することによって与えられるE = H _p₊_q ( R )の自己同型に対応します。一般性を失うことなく、 $p は$ $q$ より大きくすることができます。構造は三重積 $xy$ $t$ $z$ によって与えられます。空間X は、 $C$ $p$ $+$ $q$ $=$ $C$ $p$ $\oplus$ $C$ $q$ の $p$ 次元部分空間のグラスマン多様体と同一視できます。これは、最後の $p$ $-$ $q$ 座標に 0 を追加することで、 $C$ $2$ $p$ $=$ $C$ $p$ $\oplus$ $C$ $p$ に自然に埋め込まれます。 $C$ $2$ $p$ の任意の $p次元部分空間は [$ $I$ $-$ $y$ $t$ $x$ | $x$ ]の形式で表すことができるため、 $C$ $p$ $+$ $q$ にある部分空間についても同じことが言えます。 $x$ の最後の $p$ $-$ $q行は必ず消え、$ $y$ の最後の $p$ $-$ $q$ 行がゼロに設定されてもマッピングは変化しません。したがって、同様の表現がマッピングに $も$ 当てはまりますが、今度はq行p列の行列になります。p $=$ $q$ の場合とまったく同じように、分数線形変換による $GL($ $p$ $+$ $q$ $,$ $C$ $)$ の作用があることがわかります。^[29]

タイプII _n Fは、実対称m行m列行列の空間です。√ -1の係数を取り除いた後、これはE = H _n ( C ) 上の複素共役によって与えられる周期2の自己同型に対応します。

タイプ V. F は、1 行 2 列の行列とみなされる、ケーリー数の 2 つのコピーの直和です。これは、E = H ₃ ( O ) の任意の最小冪等元によって定義される標準的な周期 2 の自己同型に対応します。

参照

注記

^
参照:
- ケッチャー 1999
- ロース 1975
- ロース 1977
^
参照:
- ジェイコブソン 1968、pp.51-52
- メイバーグ 1972
- ケッチャー 1999
- ロース 1975
- ロース 1977
- ファラウト＆コラニ 1994
- マクリモン 2004、211-217ページ
^
参照:
- メイバーグ 1972、pp.88-89
- マクリモン 2004、211-217ページ
^
参照:
- ケッチャー 1999、76-78ページ
- メイバーグ 1972、pp.89-91
- マクリモン 2004、223-224 ページ
- ファラウトとコランニー、1994 年、38 ～ 39 ページ
^
参照:
- ケッチャー 1999
- マクリモン 2004、84、223ページ
- メイバーグ 1972、pp.87-90
- ジェイコブソン 1968
- ジェイコブソン 1969
^ マクリモン 1978、616-617ページ
^ ロース 1975、20-22ページ
^ Loos (1977) の主な応用では、Aは有限次元です。その場合、A上の演算子の可逆性は単射性または全射性と同値です。一般的なケースは Loos (1975) と McCrimmon (2004) で扱われています。
^ ロース 1977
^ ロース 1977、pp. 8.3–8.4
^ ロース 1977、p. 7.1−7.15
^
参照:
- ケッチャー 1967
- ケッチャー 1999
- ロース 1977
- ロース 1978
- ロース 1979
^ ロース 1977、9.4–9.5 ページ
^
参照:
- ケッチャー 1967
- ケッチャー 1999
- ロース 1977
- ロース 1978
- ロース 1979
^ ケッチャー 1967、144 ページ
^ ケッチャー 1967、145 ページ
^ ケッチャー 1967、144 ページ
^ ロース 1977、p. 8.9-8.10
^ ロース 1977
^
参照:
- ロース 1977
- ロース 1978、117-118ページ
^ ケッチャー 1967、164 ページ
^
参照:
- ケッチャー 1999
- ケッチャー 1969
- ロース 1977
- ファラウト＆コラニ 1994
^
参照:
- ウルフ（1972）
- ロース（1977）
- ドラッカー（1978）
- ファラウト＆コラニ（1994）
^ ロース 1977、9.4–9.5 ページ
^
参照:
- ケッチャー 1969
- ロース 1977
^ ロース 1977、pp. 10.1–10.13
^ ロース 1978、125-128 ページ
^ ケッチャー 1969
^
参照:
- ケッチャー 1969
- ロース 1977

参考文献

Dineen, S.; Mackey, M.; Mellon, P. (1999)、「JB∗-トリプルの密度特性」、Studia Math.、137 : 143–160、hdl :10197/7056
Drucker, D. (1978)、「例外的なリー代数とエルミート対称空間の構造」、Mem. Amer. Math. Soc.、16 (208)
Drucker, D. (1981)、「例外的な有界対称領域の簡略化された記述」、Geom. Dedicata、10 (1–4): 1–29、doi :10.1007/bf01447407、S2CID 120210279
Faraut, J.; Koranyi, A. (1994)、「対称円錐の解析」、オックスフォード数学モノグラフ、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853477-8
_{フォークナー、JR (1972)、「E 7}の幾何学」、Trans. Amer. Math. Soc.、167 : 49–58、doi : 10.1090/s0002-9947-1972-0295205-4
フォークナー、JR (1983)、「代替環の安定範囲と線形群」、Geom. Dedicata、14 (2): 177–188、doi :10.1007/bf00181623、S2CID 122923381
ヘルガソン、シグルドゥル（1978）、微分幾何学、リー群、対称空間、アカデミックプレス、ニューヨーク、ISBN 978-0-12-338460-7
ジェイコブソン、ネイサン(1968)、「ジョーダン代数の構造と表現」、アメリカ数学会コロキウム出版、第 39 巻、アメリカ数学会、Zbl 0218.17010
ジェイコブソン、ネイサン(1969)、「二次ジョーダン代数に関する講義」(PDF)、タタ基礎研究所数学講義、第 45 巻、ボンベイ: タタ基礎研究所、MR 0325715、Zbl 0253.17013
ジェイコブソン、ネイサン（1996）、体上の有限次元除算代数、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-57029-5、ZBL 0874.16002
Koecher、Max (1967)、「Über eine Gruppe vonrationalen Abbildungen」、発明。数学。、3 (2): 136–171、土井:10.1007/BF01389742、S2CID 120969584、Zbl 0163.03002
Koecher、Max (1969a)、「Gruppen und Lie-Algebren vonreasonen Funktionen」、Math。 Z.、109 (5): 349–392、土井:10.1007/bf01110558、S2CID 119934963
Koecher, Max (1969b)、「有界対称領域への初等的アプローチ」、講義ノート、ライス大学
ケーチャー、マックス(1999) [1962]、クリーグ、アロイス、ワルチャー、セバスチャン (編)、ミネソタ・ノート・オン・ジョーダン代数とその応用、数学講義ノート、第1710巻、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-66360-7、Zbl 1072.17513
Koecher, Max (1971)、「Jordan algebras and Differential geometry」(PDF)、Actes du Congrès International des Mathématiciens (ニース、1970)、Tome I、Gauthier-Villars、pp. 279–283
小田キューン (1975)、「Jordantripelsystemen における Differentialgleichungen」、Manuscripta Math。、17 (4): 363–381、土井:10.1007/BF01170732、S2CID 121509094
ロース、オットマー（1975）、ジョーダンペア、数学講義ノート、第460巻、シュプリンガー・フェアラーク
Loos, Ottmar (1977)、「有界対称領域とジョルダン対」(PDF) 、数学講義、カリフォルニア大学アーバイン校、 2016-03-03 にオリジナル(PDF)からアーカイブ、2013-05-12に取得
ロース、オットマー (1978)、「ジョルダン対によって定義される同次代数多様体」、モナッシュ数学、86 (2): 107–129、doi :10.1007/bf01320204、S2CID 121527561
Loos, Ottmar (1979)、「ジョルダン対によって定義される代数群について」、名古屋数学誌、74 : 23–66、doi : 10.1017/S0027763000018432
Loos, Ottmar (1995)、「ジョルダン対の基本群と安定性」、K-Theory、9 :77–116、doi :10.1007/bf00965460
マクリモン、ケビン(1978)、「ジョーダン代数とその応用」、アメリカ数学会誌、84 (4): 612–627、doi : 10.1090/s0002-9904-1978-14503-0
McCrimmon, Kevin (2004)、「A Taste of Jordan algebras」、Universitext、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/b97489、ISBN 978-0-387-95447-9、MR 2014924、正誤表
Meyberg, K. (1972)、代数と三重システムに関する講義(PDF)、バージニア大学
Roos, Guy (2008)、「例外的な対称領域」、複素解析における対称性、Contemp. Math.、vol. 468、Amer. Math. Soc.、pp. 157–189
Springer, Tonny A. (1998)、Jordan algebras and algebraic groups、Classics in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-63632-8
ウルフ、ジョセフ A. (1972)、「エルミート対称空間の微細構造」、ブースビー、ウィリアム、ワイス、グイド (編)、『対称空間 (ワシントン大学短期コース)』、純粋および応用数学、第 8 巻、デッカー、pp. 271–357

[1] 参照:
ケッチャー 1999

ロース 1975

ロース 1977

[2] ケッチャー 1999

[3] ロース 1975

[4] ロース 1977

[2] 参照:
ジェイコブソン 1968、pp.51-52

メイバーグ 1972

ケッチャー 1999

ロース 1975

ロース 1977

ファラウト＆コラニ 1994

マクリモン 2004、211-217ページ

[6] ジェイコブソン 1968、pp.51-52

[7] メイバーグ 1972

[8] ケッチャー 1999

[9] ロース 1975

[10] ロース 1977

[11] ファラウト＆コラニ 1994

[12] マクリモン 2004、211-217ページ

[3] 参照:
メイバーグ 1972、pp.88-89

マクリモン 2004、211-217ページ

[14] メイバーグ 1972、pp.88-89

[15] マクリモン 2004、211-217ページ

[4] 参照:
ケッチャー 1999、76-78ページ

メイバーグ 1972、pp.89-91

マクリモン 2004、223-224 ページ

ファラウトとコランニー、1994 年、38 ～ 39 ページ

[17] ケッチャー 1999、76-78ページ

[18] メイバーグ 1972、pp.89-91

[19] マクリモン 2004、223-224 ページ

[20] ファラウトとコランニー、1994 年、38 ～ 39 ページ

[5] 参照:
ケッチャー 1999

マクリモン 2004、84、223ページ

メイバーグ 1972、pp.87-90

ジェイコブソン 1968

ジェイコブソン 1969

[22] ケッチャー 1999

[23] マクリモン 2004、84、223ページ

[24] メイバーグ 1972、pp.87-90

[25] ジェイコブソン 1968

[26] ジェイコブソン 1969

[6] マクリモン 1978、616-617ページ

[7] ロース 1975、20-22ページ

[8] Loos (1977) の主な応用では、Aは有限次元です。その場合、A上の演算子の可逆性は単射性または全射性と同値です。一般的なケースは Loos (1975) と McCrimmon (2004) で扱われています。

[9] ロース 1977

[10] ロース 1977、pp. 8.3–8.4

[11] ロース 1977、p. 7.1−7.15

[12] 参照:
ケッチャー 1967

ケッチャー 1999

ロース 1977

ロース 1978

ロース 1979

[34] ケッチャー 1967

[35] ケッチャー 1999

[36] ロース 1977

[37] ロース 1978

[38] ロース 1979

[13] ロース 1977、9.4–9.5 ページ

[14] 参照:
ケッチャー 1967

ケッチャー 1999

ロース 1977

ロース 1978

ロース 1979

[41] ケッチャー 1967

[42] ケッチャー 1999

[43] ロース 1977

[44] ロース 1978

[45] ロース 1979

[15] ケッチャー 1967、144 ページ

[16] ケッチャー 1967、145 ページ

[17] ケッチャー 1967、144 ページ

[18] ロース 1977、p. 8.9-8.10

[19] ロース 1977

[20] 参照:
ロース 1977

ロース 1978、117-118ページ

[52] ロース 1977

[53] ロース 1978、117-118ページ

[21] ケッチャー 1967、164 ページ

[22] 参照:
ケッチャー 1999

ケッチャー 1969

ロース 1977

ファラウト＆コラニ 1994

[56] ケッチャー 1999

[57] ケッチャー 1969

[58] ロース 1977

[59] ファラウト＆コラニ 1994

[23] 参照:
ウルフ（1972）

ロース（1977）

ドラッカー（1978）

ファラウト＆コラニ（1994）

[61] ウルフ（1972）

[62] ロース（1977）

[63] ドラッカー（1978）

[64] ファラウト＆コラニ（1994）

[24] ロース 1977、9.4–9.5 ページ

[25] 参照:
ケッチャー 1969

ロース 1977

[67] ケッチャー 1969

[68] ロース 1977

[26] ロース 1977、pp. 10.1–10.13

[27] ロース 1978、125-128 ページ

[28] ケッチャー 1969

[29] 参照:
ケッチャー 1969

ロース 1977

[73] ケッチャー 1969

[74] ロース 1977