局所的境界

数学では、関数があらゆる点の周りで有界である場合、その関数は局所的に有界です。関数の族が局所的に有界であるとは、その定義域内の任意の点に対して、すべての関数がその点の周りで同じ数で有界である場合です。

ある位相空間上で定義された実数値または複素数値関数は${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$局所的に有界な関数とは、任意の数に対して、有界集合となるようなの近傍が存在するときである。つまり、ある数に対して、 ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle M>0}$$${\displaystyle |f(x)|\leq M\quad {\text{ すべての }}x\in A に対して。}$$

言い換えると、それぞれについて、に依存する定数を見つけることができます。これは、 の近傍にある関数のすべての値よりも大きいものです。これを、定数が に依存しない有界関数と比較してください。明らかに、関数が有界である場合、それは局所的に有界です。その逆は一般には当てはまりません (以下を参照)。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x.}$

この定義は、 が何らかの距離空間で値を取る場合に拡張できます。その場合、上記の不等式を に置き換える必要があります 。 ここで、 は距離空間内の何らかの点です。 の選択は定義に影響しません。 別の を選択しても、この不等式が成り立つ 定数が最大限に増加します。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (Y,d).}$$${\displaystyle d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ すべての }}x\in A に対して、}$$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r}$

• によって定義される関数は、すべてに対して であるため有界です。したがって、この関数は局所的に有界でもあります。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$$${\displaystyle 0\leq f(x)\leq 1}$${\displaystyle x.}$

• によって定義される関数は、任意の大きさになるため有界ではない。しかし、近傍の各関数について、${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)=2x+3}$$${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$${\displaystyle (a-1,a+1),}$${\displaystyle M=2|a|+5.}$

• によって定義される関数は、有界でも局所的に有界でもありません。0 の任意の近傍では、この関数は任意に大きな値を取ります。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{if }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}}$$

• 任意の連続関数は局所的に有界です。以下は実変数の関数の証明です。を連続とし、すべての に対してが局所的に有界であることを示します。連続の定義で ε = 1 を取ると、 のすべての に対して となるような が存在します。ここで三角不等式により、は （および近傍 を取る）で局所的に有界であることを意味します。この議論は、 の定義域が任意の位相空間である場合に に簡単に一般化できます。${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle |xa|<\delta }$${\displaystyle |f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M=1+|f(a)|}$${\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )}$${\displaystyle f}$

• ただし、上記の結果の逆は真ではありません。つまり、不連続関数は局所的に有界である可能性があります。たとえば、すべてに対しておよびで与えられる関数を考えます。このとき、 は0 で不連続ですが、局所的に有界です。つまり、 は 0 を除いて局所的に一定であり、たとえばおよび 近傍を取ることができます。${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x\neq 0.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M=1}$${\displaystyle (-1,1),}$

ある位相空間上で定義された実数値または複素数値関数の集合(族とも呼ばれる) Uは、任意の に対しておよび正の数の近傍が存在し、 すべてのおよびに対して となるとき 、局所的に有界であると呼ばれます。言い換えれば、族内のすべての関数は局所的に有界である必要があり、各点の周りで同じ定数によって有界である必要があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle M>0}$$${\displaystyle |f(x)|\leq M}$$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle f\in U.}$

この定義は、絶対値を距離関数に置き換えることで、 U族の関数が何らかの距離空間で値を取る場合にも拡張できます。

• 関数族は局所的に有界である。実際、が実数であれば、区間 を近傍として選ぶことができる。すると、この区間内のすべての に対して が、すべての に対してが成り立つ。さらに、近傍も定数も指数に依存しないため、族は一様有界である。${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}}}$$${\displaystyle n=1,2,\ldots }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$${\displaystyle M=1+|x_{0}|.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n.}$

• がゼロより大きい場合、関数の族は局所的に有界です。 に対して、近傍を自分自身に選択することができます。この場合、次の式が得られます。の値は、 x ₀またはその近傍の選択に依存しないことに注意してください。 この場合、この族は局所的に有界であるだけでなく、一様に有界でもあります。${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M}$$${\displaystyle M=1.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A.}$

• 関数の族は局所的に制限されていません。実際、任意の関数について、値が無限大に近づくにつれて制限されることはありません。${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{n}(x)=x+n}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle n}$

局所的有界性は、位相ベクトル空間の特性、または位相空間から位相ベクトル空間 (TVS) への関数の特性を指す場合もあります。

位相ベクトル空間（TVS）の部分集合は 、原点の各近傍に対して、 Aを満たす実数が存在するとき、 有界であると呼ばれる。${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle s>0}$$${\displaystyle B\subseteq tU\quad {\text{ for all }}t>s.}$$局所的に有界な TVSは、原点の有界な近傍を持つ TVS です。コルモゴロフのノルム可能性基準半ノルムによって誘導される場合に限り、これが当てはまります。特に、すべての局所的に有界な TVS は擬似距離化可能。

位相ベクトル空間間の関数が局所的に有界な関数であるとは、そのすべての点がその下の像が有界な近傍を持つ場合を言います。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

次の定理は関数の局所有界性と位相ベクトル空間の局所有界性を関連付けます。

定理。位相ベクトル空間が局所的に有界となるのは、恒等写像が局所的に有界となる場合のみです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}:X\to X}$

• ボルノロジー空間 – 有界演算子が連続する空間
• 有界演算子 – 位相ベクトル空間間の線形変換
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化

• 局所的に制限されたPlanetMathエントリ
• 局所的に制限されたカテゴリの nLab エントリ