S波

地震学や弾性波に関わる他の分野において、 S波、二次波、または剪断波（弾性S波と呼ばれることもある）は弾性波の一種であり、表面波とは異なり物体の体内を伝わるため、弾性体波の2つの主要なタイプの1つである。^[1]

S波は横波であり、S波の粒子の運動方向は波の伝播方向に対して垂直であり、主な復元力はせん断応力から生じる。^[2]そのため、S波は粘度がゼロ（または非常に低い）の液体^[3]では伝播できないが、粘度が高い液体では伝播する可能性がある。^{[4] [5]}

二次波という名前は、圧縮一次波（P波）の次に地震計で検出される2番目の種類の波であることに由来しています。これは、S波が固体中をよりゆっくりと伝わるためです。P波とは異なり、S波は地球の溶融した外核を通過できず、これにより、発生源の反対側にS波の影の領域が発生します。それでも、S波は固体の内核を通過して伝わります。P波が溶融核と固体核の境界に斜めの角度で当たると、S波が形成され、固体媒体内で伝わります。これらのS波が再び境界に斜めの角度で当たると、今度は液体媒体を介して伝わるP波が生成されます。この特性により、地震学者は地球の内核のいくつかの物理的特性を決定することができます。^[6]

1830年、数学者シメオン・ドニ・ポアソンは、固体中の弾性波の伝播理論をまとめた論文（「回想録」）をフランス科学アカデミーに提出した。回想録の中で、彼は地震によって2つの異なる波が発生すると述べている。1つは一定の速度を持ち、もう1つは速度を持つ。発生源から十分な距離があり、対象領域で平面波とみなせる場合、前者は波面に対して垂直な方向（つまり、波の運動方向に対して平行）の膨張と圧縮から成り、後者は前面に対して平行な方向（運動方向に対して垂直）の伸張運動から成ります。^[7]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$

この説明の目的上、固体媒体は、応力に対するそのひずみ（変形）がすべての方向で同じである場合に等方性であるとみなされます。を、そのような媒体の粒子の「静止」位置からの弾性振動による変位ベクトルとします。これは、静止位置と時間の関数であると理解されます。その時点での媒体の変形は、ひずみテンソル、つまり要素が次の3×3行列 で表すことができます。${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=(u_{1},u_{2},u_{3})}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$$${\displaystyle e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

ここで、は位置座標に関する偏微分を表す。ひずみテンソルは3×3応力テンソルと次の式で 関係している。${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$$${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$$

ここでクロネッカーデルタ（ の場合は1 、それ以外は0）であり、および はラメパラメータ（は材料のせん断弾性係数）である。従って、 ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$

ニュートンの慣性の法則から、 も得られます。 ここで はその地点における媒体の密度（単位体積あたりの質量）であり、 は時間に関する偏微分を表します。最後の2つの方程式を組み合わせると、均質媒体における地震波方程式が得られます。$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\sum _{j}\partial _{j}\tau _{ij}}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \partial _{t}}$ $${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}u_{i}=\lambda \partial _{i}\sum _{k}\partial _{k}u_{k}+\mu \sum _{j}{\bigl (}\partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\partial _{j}\partial _{j}u_{i}{\bigr )}}$$

ベクトル解析のナブラ演算子表記法、 、を用いて、いくつかの近似値を用いると、この式は次のように表される。 ${\displaystyle \nabla =(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})}$$${\displaystyle \rho \partial _{t}^{2}{\boldsymbol {u}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla \left(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}\right)-\mu \nabla \times \left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

この方程式の回転をとり、ベクトル恒等式を適用すると、 $${\displaystyle \partial _{t}^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})={\frac {\mu }{\rho }}\nabla ^{2}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)}$$

この式は、ベクトル量（材料のせん断ひずみ）に適用された波動方程式です。その解である S 波は、さまざまな波長と伝播方向を持つ正弦波平面波の線形結合ですが、すべて同じ速度 です。伝播媒体が線形、弾性、等方性、均質であると仮定すると、この式は次のように書き直すことができます^[8] 。ここで、ωは角周波数、kは波数です。したがって、 となります。 ${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {u}}}$ ${\textstyle \beta ={\sqrt {\mu /\rho }}}$${\displaystyle \mu =\rho \beta ^{2}=\rho \omega ^{2}/k^{2}}$${\displaystyle \beta =\omega /k}$

均質媒体における地震波動方程式の回転の代わりに発散をとると、物質の圧縮ひずみである量の伝播を記述する波動方程式が得られます。この方程式の解である P 波は、より速い速度で伝わります。 ${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {u}}}$${\textstyle \alpha ={\sqrt {(\lambda +2\mu )/\rho }}}$

定常SH波はヘルムホルツ方程式^[9]によって定義され、 ここでkは波数である。 $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right){\boldsymbol {u}}=0}$$

弾性媒体と同様に、粘弾性材料では、せん断波の速度は同様の関係 で表されますが、ここでは、は複雑な周波数依存のせん断弾性率であり、 は周波数依存の位相速度です。^[8]粘弾性材料のせん断弾性率を表す一般的な方法の 1 つは、次のように表されるVoigt モデルを使用することです。ここで、は材料の剛性、は粘度です。^[8]${\displaystyle c(\omega )=\omega /k(\omega )={\sqrt {\mu (\omega )/\rho }}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle c(\omega )}$${\displaystyle \mu (\omega )=\mu _{0}+i\omega \eta }$${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \eta }$

磁気共鳴エラストグラフィー（MRE）は、所望の周波数のせん断波を所望の有機組織全体に伝播させることにより、生体内の生物学的材料の特性を研究する方法である。^[10]この方法では、振動子を使用してせん断波を組織に送り、磁気共鳴画像法を使用して組織内の反応を観察します。^{[11]次に、測定された波の速度と波長を測定して、}せん断弾性率などの弾性特性を決定します。MREは、肝臓、脳、骨組織など、さまざまな人間の組織の研究に使用されています。^[10]

• 緊急地震速報（日本）
• ラム波
• 縦波
• ラブウェーブ
• レイリー波
• せん断波の分裂

• シアラー、ピーター（1999年）。地震学入門（第1版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-66023-8。
• アキ, ケイイチ;リチャーズ、ポール G. (2002)。定量的地震学 (第 2 版)。大学の科学書。ISBN 0-935702-96-2。
• ファウラー、CMR (1990)。『固体地球』ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-38590-3. S波。