ベイズの定理

ベイズの定理（トーマス・ベイズにちなんでベイズの法則、ベイズの規則とも呼ばれる）は、条件付き確率を逆転させる数学的規則を与え、結果が与えられた場合の原因の確率を見つけることを可能にする。^[1]たとえば、健康上の問題を発症するリスクが加齢とともに増加することが分かっている場合、ベイズの定理によれば、個人が全体としての母集団の典型であると仮定するのではなく、年齢に応じて条件付けすることにより、既知の年齢の個人に対するリスクをより正確に評価することができる。ベイズの法則に基づくと、陽性検査結果の意味を正しく評価し、基準率の誤謬を避けるためには、特定の母集団における疾患の蔓延と感染症検査の誤差率の両方を考慮する必要がある。

ベイズの定理の多くの応用例の 1 つに、統計的推論に対する特定のアプローチであるベイズ推論があります。ベイズ推論では、モデル構成 (つまり、尤度関数) が与えられた場合の観測値の確率を逆転させて、観測値が与えられた場合のモデル構成の確率 (つまり、事後確率) を取得します。

ベイズの定理は、統計学者で哲学者でもあったトーマス・ベイズ牧師( / b eɪ z / ) にちなんで名付けられました。ベイズは条件付き確率を使用して、証拠を使用して未知のパラメータの制限を計算するアルゴリズム (命題 9) を提供しました。彼の研究は 1763 年に「偶然の教義における問題の解決に向けた論文」として出版されました。ベイズは、二項分布(現代の用語では)の確率パラメータの分布を計算する方法を研究しました。ベイズの死後、家族は彼の論文を友人で牧師、哲学者、数学者のリチャード・プライスに譲渡しました。

リチャード・プライスは2年かけて未発表の原稿を大幅に編集し、友人に送り、友人は1763年12月23日に王立協会でそれを朗読した。 ^[2]プライスはベイズの主要著作「偶然の理論における問題の解決に向けた試論」(1763年) を編集した^{[3] 。これは}Philosophical Transactionsに掲載され、^{[4]ベイズの定理が含まれている。プライスは}ベイズ統計の哲学的基礎の一部を提供する論文の序文を書き、ベイズが提示した2つの解決策のうちの1つを選んだ。1765年、プライスはベイズの遺産に関する研究が認められ、王立協会の会員に選ばれた。^{[5] [6] 4月27日、友人の}ベンジャミン・フランクリン に送った手紙が王立協会で朗読され、後に出版された。プライスはこの研究を人口と「終身年金」の計算に適用している。^[7]

ベイズとは独立して、ピエール＝シモン・ラプラスは1774年、そして後に1812年に発表した『確率分析理論』において、条件付き確率を用いて、証拠を与えられた場合の事前確率から更新された事後確率の関係を定式化した。彼は1774年にベイズの結果を再現し拡張したが、ベイズの研究については知らなかったようである。^{[注 1] [8]}ベイズ流の確率解釈は主にラプラスによって発展した。^[9]

約200年後、ハロルド・ジェフリーズ卿はベイズのアルゴリズムとラプラスの定式化を公理的な基盤の上に置き、1973年の著書の中で「確率論におけるベイズの定理は、幾何学におけるピタゴラスの定理と同じである」と記した。^[10]

スティーブン・スティグラーはベイズの議論を用いて、ベイズの定理はベイズより少し前にイギリスの盲目の数学者ニコラス・サンダーソンによって発見されたと結論付けた。 ^{[11] [12]}しかし、その解釈には異論がある。^[13] マーティン・フーパー^[14]とシャロン・マクグレイン^[15]はリチャード・プライスの貢献が大きかった と主張している。

現代の基準では、ベイズ・プライスの法則を参照すべきです。プライスはベイズの研究を発見し、その重要性を認識し、それを修正し、論文に貢献し、その用途を見つけました。ベイズの名前だけを使用する現代の慣習は不公平ですが、あまりにも定着しているため、他のものはほとんど意味がありません。^[15]

ベイズの定理は数学的には次の式で表される：^[16]

ここで、 および はイベントおよびです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(B)\neq 0}$

• ${\displaystyle P(A\vert B)}$は条件付き確率です。が真である場合にイベントが発生する確率です。が与えられた場合の事後確率とも呼ばれます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• ${\displaystyle P(B\vert A)}$も条件付き確率です。つまり、が真である場合にイベントが発生する確率です。 が固定されている場合、が発生する可能性として解釈することもできます。${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P(B\vert A)=L(A\vert B)}$
• ${\displaystyle P(A)}$および は、それぞれ与えられた条件なしで、およびを観測する確率です。これらは事前確率および周辺確率として知られています。${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ベイズの定理は条件付き確率の定義から導かれる。

${\displaystyle P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0,}$

ここで、AとBの両方が真である確率です。同様に、 ${\displaystyle P(A\cap B)}$

${\displaystyle P(B\vert A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}},{\text{ if }}P(A)\neq 0.}$

を解いて上記の式に代入すると、ベイズの定理が得られます。 ${\displaystyle P(A\cap B)}$${\displaystyle P(A\vert B)}$

${\displaystyle P(A\vert B)={\frac {P(B\vert A)P(A)}{P(B)}},{\text{ if }}P(B)\neq 0.}$

2つの連続したランダム変数 XとYについては、ベイズの定理は条件付き密度の定義から同様に導かれる。

${\displaystyle f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$

${\displaystyle f_{Y\vert X=x}(y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$

したがって、

${\displaystyle f_{X\vert Y=y}(x)={\frac {f_{Y\vert X=x}(y)f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}}.}$

をの条件付き分布とし、をの分布とします。結合分布は です。の 条件付き分布は によって決定されます 。${\displaystyle P_{Y}^{x}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=x}$${\displaystyle P_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{X,Y}(dx,dy)=P_{Y}^{x}(dy)P_{X}(dx)}$${\displaystyle P_{X}^{y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y=y}$

$${\displaystyle P_{X}^{y}(A)=E(1_{A}(X)|Y=y)}$$

必要な条件付き期待値の存在と一意性は、ラドン・ニコディム定理の結果である。これは、コルモゴロフが1933年の有名な著書で定式化した。コルモゴロフは、序文で「私は...、特に条件付き確率と条件付き期待値の理論に注目したい...」と書き、条件付き確率の重要性を強調している。^[17]ベイズの定理は、事前分布から事後分布を決定する。一意性には連続性の仮定が必要である。^[18]ベイズの定理は、実数直線上の一様分布などの不適切な事前分布を含むように一般化できる。^[19]現代のマルコフ連鎖モンテカルロ法は、不適切な事前分布を含む場合を含めてベイズの定理の重要性を高めた。^[20]

ベイズの定理と条件付き確率の計算は、三人の囚人問題、モンティ・ホール問題、二人の子供問題、二つの封筒問題など、多くの一般的なパズルの解決方法を提供します。

誰かが大麻を使用しているかどうかを判定する特定の検査の感度が 90% で、真陽性率(TPR) = 0.90 であるとします。したがって、大麻使用者の場合、真陽性の結果 (薬物使用の正しい識別) は 90% になります。

この検査の特異度は 80% で、真陰性率(TNR) = 0.80 です。したがって、この検査では非使用者の非使用率を 80% 正しく識別しますが、非使用者に対しては偽陽性率(FPR) = 0.20、つまり偽陽性も 20% 生成します。

有病率が0.05 であると仮定すると、つまり 5% の人が大麻を使用しているとすると、ランダムに選ばれた陽性反応を示した人が実際に大麻使用者である確率はどれくらいでしょうか?

検査の陽性予測値(PPV) は、陽性と判定された人全員のうち実際に陽性と判定された人の割合であり、サンプルから次のように計算できます。

PPV = 真陽性 / 検査陽性

感度、特異度、および有病率がわかっている場合、ベイズの定理を使用して PPV を計算できます。 は「陽性反応が出た場合に大麻使用者である確率」を意味します。これが PPV の意味です。次のように記述できます。 ${\displaystyle P({\text{User}}\vert {\text{Positive}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{User}}\vert {\text{Positive}})&={\frac {P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})}{P({\text{Positive}})}}\\&={\frac {P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})}{P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})+P({\text{Positive}}\vert {\text{Non-user}})P({\text{Non-user}})}}\\[8pt]&={\frac {0.90\times 0.05}{0.90\times 0.05+0.20\times 0.95}}={\frac {0.045}{0.045+0.19}}\approx 19\%\end{aligned}}}$

分母は、全確率の法則 を直接適用したものです。この場合、誰かが陽性反応を示す確率は、使用者が陽性反応を示す確率に使用者である確率を掛け、さらに非使用者が陽性反応を示す確率に非使用者である確率を掛けたものになります。これは、使用者と非使用者の分類が、集合、つまり薬物検査を受ける人々の集合のパーティションを形成するため、正しいと言えます。これを条件付き確率の定義と組み合わせると、上記のステートメントになります。 ${\displaystyle P({\text{Positive}})=P({\text{Positive}}\vert {\text{User}})P({\text{User}})+P({\text{Positive}}\vert {\text{Non-user}})P({\text{Non-user}})}$

言い換えれば、たとえ誰かが陽性反応を示したとしても、その人が大麻使用者である確率はわずか 19% です。これは、このグループでは使用者はわずか 5% であり、陽性反応のほとんどは残りの 95% による偽陽性であるためです。

1,000人が検査を受けた場合:

• 950人は非ユーザーであり、そのうち190人は誤検知を起こした（0.20 × 950）
• そのうち50人はユーザーであり、そのうち45人が真陽性（0.90 × 50）を示します。

1,000人のうち235人が陽性反応を示し、そのうち本物の薬物使用者はわずか45人、約19%となる。

特異度の重要性は、感度が 100% に上げられ、特異度が 80% のままであったとしても、陽性反応を示した人が実際に大麻使用者である確率は 19% から 21% にしか上がらないが、感度が 90% に保たれ、特異度が 95% に上がると、確率は 49% に上がるということを示すことによってわかります。

膵臓がん患者の 100% に特定の症状がみられるとしても、同じ症状の人がいたとしても、その人は 100% 膵臓がんになるというわけではありません。膵臓がんの発生率が 1/100000 であると仮定すると、世界中で同じ症状の健康な人が 10/99999 人いるとすると、症状から判断して膵臓がんである確率はわずか 9.1% で、残りの 90.9% は「偽陽性」（つまり、誤ってがんであると診断される。この場合のように、検査で悪い結果が出た場合、「陽性」は紛らわしい用語である）である可能性があります。

発生率に基づいて、10万人あたりの対応する数値を次の表に示します。

これを使って、症状がある場合に癌である確率を計算することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{Cancer}}|{\text{Symptoms}})&={\frac {P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})}{P({\text{Symptoms}})}}\\&={\frac {P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})}{P({\text{Symptoms}}|{\text{Cancer}})P({\text{Cancer}})+P({\text{Symptoms}}|{\text{Non-Cancer}})P({\text{Non-Cancer}})}}\\[8pt]&={\frac {1\times 0.00001}{1\times 0.00001+(10/99999)\times 0.99999}}={\frac {1}{11}}\approx 9.1\%\end{aligned}}}$

ある工場では、3 台の機械 A、B、C を使用して製品を生産しており、それぞれ生産量の 20%、30%、50% を占めています。機械 A で生産された製品のうち、5% が不良品です。同様に、機械 B の製品の 3%、機械 C の製品の 1% が不良品です。ランダムに選択された製品に不良品がある場合、それが機械 C で生産された確率はどれくらいでしょうか。

もう一度、条件を仮定のケース数に適用することで、式を使用せずに答えを得ることができます。たとえば、工場で 1,000 個のアイテムを生産する場合、マシン A で 200 個、マシン B で 300 個、マシン C で 500 個が生産されます。マシン A は 5% × 200 = 10 個の不良品を生産し、マシン B は 3% × 300 = 9 個、マシン C は 1% × 500 = 5 個を生産し、合計 24 個になります。したがって、ランダムに選択された不良品がマシン C によって生産される可能性は 5/24 (約 20.83%) です。

この問題は、ベイズの定理を使用して解決することもできます。X i_は、ランダムに選択されたアイテムがi ^番目のマシン ( i  = A、B、C)によって作成されたイベントを表します。Yは、ランダムに選択されたアイテムに欠陥があるイベントを表します。この場合、次の情報が与えられます。

${\displaystyle P(X_{A})=0.2,\quad P(X_{B})=0.3,\quad P(X_{C})=0.5.}$

もしその品物が最初の機械で作られた場合、それが不良品である確率は0.05、つまりP ( Y  |  X _A ) = 0.05です。全体として、

${\displaystyle P(Y|X_{A})=0.05,\quad P(Y|X_{B})=0.03,\quad P(Y|X_{C})=0.01.}$

元の質問に答えるには、まずP (Y) を見つけます。これは次のようにして行うことができます。

${\displaystyle P(Y)=\sum _{i}P(Y|X_{i})P(X_{i})=(0.05)(0.2)+(0.03)(0.3)+(0.01)(0.5)=0.024.}$

したがって、総出力の 2.4% が不良品となります。

Yが発生したことが与えられており、X _Cの条件付き確率を計算したいとします。ベイズの定理により、

${\displaystyle P(X_{C}|Y)={\frac {P(Y|X_{C})P(X_{C})}{P(Y)}}={\frac {0.01\cdot 0.50}{0.024}}={\frac {5}{24}}}$

品物が不良品であるとすると、それが機械 C で製造された確率は 5/24 です。機械 C は総生産量の半分を生産しますが、不良品の割合ははるかに小さくなります。したがって、選択された品物が不良品であるという知識により、事前確率P ( X _C ) = 1/2 をより小さな事後確率P (X _C  |  Y ) = 5/24 に置き換えることができます。

ベイズの定理の解釈は、用語に帰属する 確率の解釈によって異なります。主な 2 つの解釈を以下に説明します。

ベイズ（または認識論）解釈では、確率は「信念の度合い」を測ります。ベイズの定理は、証拠を考慮する前と考慮した後の命題に対する信念の度合いを結び付けます。たとえば、コインが表になる確率は裏になる確率の 2 倍であると 50% の確信度で信じられているとします。コインを何回か投げて結果を観察すると、その信念の度合いはおそらく上がったり下がったりしますが、結果によっては同じままになることもあります。命題Aと証拠Bの場合、

• P  ( A ) は事前確率であり、 Aに対する初期の信念の度合いです。
• 事後確率P  ( A  |  B ) は、Bが真実であるというニュースを取り入れた後の信念の度合いです。
• 商⁠P ( B  |  A )/P (ビー)⁠ は、B がAに提供するサポートを表します。

ベイズ確率解釈におけるベイズの定理の応用の詳細については、「ベイズ推論」を参照してください。

頻度主義的解釈では、確率は「結果の割合」を測定します。たとえば、実験が何度も実行されるとします。P ( A )は、特性Aを持つ結果の割合(事前確率) であり、P ( B ) は、特性Bを持つ結果の割合です。P ( B  |  A ) は、特性A を持つ結果のうち特性B を持つ結果の割合であり、P ( A  |  B ) は、特性Bを持つ結果 のうち特性Aを持つ結果の割合(事後確率) です。

ベイズの定理の役割は、ツリー図で最もよく視覚化されます。2 つの図では、同じ結果をAとBで逆の順序で分割し、逆確率を取得します。ベイズの定理は、異なる分割を結び付けます。

昆虫学者が、背中の模様から判断して、甲虫の珍しい亜種である可能性があるものを発見しました。珍しい亜種の 98% にこの模様があるため、 P (パターン | 希少性) = 98% となります。一般的な亜種では、わずか 5 %にこの模様があります。珍しい亜種は、全体の 0.1% です。この甲虫が模様を持つ珍しい可能性はどれくらいでしょうか。P (希少性 | パターン) とは何でしょうか。

ベイズの定理の拡張形（甲虫はどれも珍しいか普通かのどちらかなので）から、

$${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{Rare}}\vert {\text{Pattern}})&={\frac {P({\text{Pattern}}\vert {\text{Rare}})\,P({\text{Rare}})}{P({\text{Pattern}})}}\\[8pt]&={\tfrac {P({\text{Pattern}}\vert {\text{Rare}})\,P({\text{Rare}})}{P({\text{Pattern}}\vert {\text{Rare}})\,P({\text{Rare}})+P({\text{Pattern}}\vert {\text{Common}})\,P({\text{Common}})}}\\[8pt]&={\frac {0.98\times 0.001}{0.98\times 0.001+0.05\times 0.999}}\\[8pt]&\approx 1.9\%\end{aligned}}}$$

事象AとBについて、P ( B )≠0であれば、

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}.}$

多くの応用、例えばベイズ推論では、イベントB は議論の中で固定されており、それが観察されたことがさまざまな可能性のあるイベントAに対する信念にどのような影響を与えるかを検討したいとします。このような状況では、最後の式の分母、つまり与えられた証拠Bの確率は固定されており、変化させたいのはAです。ベイズの定理によれば、事後確率は分子に 比例するため、最後の式は次のようになります。

${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)\cdot P(B|A).}$

言葉で言えば、事後確率は事前確率と尤度を掛け合わせたものに比例する。^[21]

イベントA ₁、A ₂、... が相互に排他的かつ網羅的である場合、つまり、そのうちの 1 つは必ず発生するが、2 つが同時に発生することはない場合、それらの確率を合計すると 1 になるという事実を利用して比例定数を決定できます。たとえば、特定のイベントAについて、イベントA自体とその補集合 ¬ Aは排他的かつ網羅的です。比例定数をcで表すと、次の式が得られます。

${\displaystyle P(A|B)=c\cdot P(A)\cdot P(B|A){\text{ and }}P(\neg A|B)=c\cdot P(\neg A)\cdot P(B|\neg A).}$

これら2つの式を加えると、

${\displaystyle 1=c\cdot (P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\neg A)\cdot P(\neg A)),}$

または

${\displaystyle c={\frac {1}{P(B|A)\cdot P(A)+P(B|\neg A)\cdot P(\neg A)}}={\frac {1}{P(B)}}.}$

2 つの競合するステートメントまたは仮説に対するベイズの定理の別の形式は次のとおりです。

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)}}.}$

認識論的解釈としては、

命題Aと証拠または背景Bについては、^[22]

• ${\displaystyle P(A)}$は事前確率、つまりAに対する初期の信念の度合いです。
• ${\displaystyle P(\neg A)}$は、 Aが偽であるという、 Aではないという信念の初期度合いであり 、${\displaystyle P(\neg A)=1-P(A)}$
• ${\displaystyle P(B|A)}$条件付き確率または尤度、つまり命題Aが真で ある場合にBが信じられる度合いです。
• ${\displaystyle P(B|\neg A)}$条件付き確率または尤度、つまり命題Aが偽で ある場合に命題Bが信じられる度合いです。
• ${\displaystyle P(A|B)}$は事後確率、つまりBを考慮した後のAの確率です。

多くの場合、標本空間の何らかのパーティション{ A _j }に対して、イベント空間はP ( A _j ) とP ( B  |  A _j )で与えられます。この場合、全確率の法則を使用してP ( B )を計算すると便利です。

${\displaystyle P(B)=\sum _{j}P(B\cap A_{j}),}$

あるいは（条件付き確率の乗法則を用いると）^[23]

${\displaystyle P(B)={\sum _{j}P(B|A_{j})P(A_{j})},}$

${\displaystyle \Rightarrow P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum \limits _{j}P(B|A_{j})P(A_{j})}}\cdot }$

Aがバイナリ変数である特別なケースでは、

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)}}\cdot }$

既知の確率分布を持つ 2 つのランダム変数XとYによって生成されたサンプル空間Ω を考えます。原則として、ベイズの定理はイベントA  = { X  =  x } およびB  = { Y  =  y } に適用されます。

${\displaystyle P(X{=}x|Y{=}y)={\frac {P(Y{=}y|X{=}x)P(X{=}x)}{P(Y{=}y)}}}$

しかし、いずれかの変数の確率密度が有限である点では、項は 0 になります。ベイズの定理は、有用性を維持するために、関連する密度の観点から定式化することができます (導出を参照)。

Xが連続でYが離散の場合、

${\displaystyle f_{X|Y{=}y}(x)={\frac {P(Y{=}y|X{=}x)f_{X}(x)}{P(Y{=}y)}}}$

ここで、それぞれは密度関数です。 ${\displaystyle f}$

Xが離散的でYが連続的である場合、

${\displaystyle P(X{=}x|Y{=}y)={\frac {f_{Y|X{=}x}(y)P(X{=}x)}{f_{Y}(y)}}.}$

XとYが連続している場合、

${\displaystyle f_{X|Y{=}y}(x)={\frac {f_{Y|X{=}x}(y)f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}}.}$

連続的なイベント空間は、分子の項で概念化されることが多い。その場合、全確率の法則を使用して分母を消去すると便利である。f _Y ( y ) の場合、これは積分になる。

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y|X=\xi }(y)f_{X}(\xi )\,d\xi .}$

ベイズの定理をオッズ形式で表すと次のようになります。

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2}\vert B)=O(A_{1}:A_{2})\cdot \Lambda (A_{1}:A_{2}\vert B)}$

どこ

${\displaystyle \Lambda (A_{1}:A_{2}\vert B)={\frac {P(B\vert A_{1})}{P(B\vert A_{2})}}}$

はベイズ係数または尤度比と呼ばれます。2つのイベント間のオッズは、単に2つのイベントの確率の比です。つまり

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2})={\frac {P(A_{1})}{P(A_{2})}},}$

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2}\vert B)={\frac {P(A_{1}\vert B)}{P(A_{2}\vert B)}},}$

したがって、この規則によれば、事後オッズは事前オッズにベイズ係数を掛けたものであり、言い換えれば、事後オッズは事前オッズに尤度を掛けたものに比例します。

およびという特別な場合にはと書き、ベイズ因子および条件付きオッズに同様の略語を使用する。 に対するオッズは、定義により に対するオッズおよび に対するオッズである。ベイズの定理は、次のように省略形で書くことができる。 ${\displaystyle A_{1}=A}$${\displaystyle A_{2}=\neg A}$${\displaystyle O(A)=O(A:\neg A)=P(A)/(1-P(A))}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle O(A\vert B)=O(A)\cdot \Lambda (A\vert B),}$

または、言葉で言えば、 の事後オッズは の事前オッズに与えられた情報に対する尤度比を掛けたものに等しくなります。つまり、 事後オッズは事前オッズに尤度比を掛けたものに等しくなります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

たとえば、医療検査の感度が 90%、特異度が 91% の場合、正のベイズ係数は です。ここで、この病気の有病率が 9.09% で、それを事前確率とすると、事前オッズは約 1:10 になります。つまり、陽性の検査結果を受け取った後、実際に病気にかかっている事後オッズは 1:1 になり、病気にかかっている事後確率は 50% になります。連続検査で 2 回目の検査が行われ、これも陽性と判明した場合、実際に病気にかかっている事後オッズは 10:1 になり、事後確率は約 90.91% になります。負のベイズ係数は 91%/(100%-90%)=9.1 と計算できるため、2 回目の検査で陰性になった場合、実際に病気にかかっている事後オッズは 1:9.1 となり、事後確率は約 9.9% になります。 ${\displaystyle \Lambda _{+}=P({\text{True Positive}})/P({\text{False Positive}})=90\%/(100\%-91\%)=10}$

上記の例は、より具体的な数字でも理解できます。検査を受ける患者が 1000 人のグループに属し、そのうち 91 人が実際に病気にかかっているとします (有病率 9.1%)。この 1000 人全員が医療検査を受けると、病気にかかっている人のうち 82 人が真陽性の結果 (感度 90.1%) を得、病気にかかっている人のうち 9 人が偽陰性の結果 (偽陰性率9.9%) を得、病気にかかっていない人のうち 827 人が真陰性の結果 (特異度 91.0%) を得、病気にかかっていない人のうち 82 人が偽陽性の結果 (偽陽性率 9.0%) を得ます。検査を受ける前、患者が病気にかかっている確率は 91:909 です。陽性の結果を受け取った後、患者が病気にかかっている確率は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {91}{909}}\times {\frac {90.1\%}{9.0\%}}={\frac {91\times 90.1\%}{909\times 9.0\%}}=1:1}$

これは、1000 人のグループ内に 82 人の真陽性と 82 人の偽陽性が存在するという事実と一致しています。

条件付き確率 が定義されている場合、それは含意 を捉えていると見ることができます。確率計算は、さまざまな論理的推論規則を反映、または一般化します。たとえば、2 値の真理値を割り当てる以外に、ここではステートメントに確率値を割り当てます。 の主張は、主張、つまり条件付き確率が極値確率 を取ることによって捉えられます。同様に、含意の否定の主張は、 の割り当てによって捉えられます。^[1] したがって、たとえば、の場合、(定義されている場合) も となり、これは を伴い、論理における 含意の導入となります。${\displaystyle P(A\vert B)}$${\displaystyle B\to A}$${\displaystyle B\to A}$${\displaystyle P(A\vert B)=1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle P(A)=1}$${\displaystyle P(A\vert B)=1}$${\displaystyle A\to (B\to A)}$

同様に、2つの確率の積が に等しいということは、両方の因子が であることが必要であるため、ベイズの定理が成り立つことがわかる。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle P(A)\,P(B\vert A)=P(B)\,P(A\vert B)}$

を伴い、これには現在ではmodus ponensも含まれます。 ${\displaystyle {\big (}A\land (A\to B){\big )}\leftrightarrow {\big (}B\land (B\to A){\big )}}$

正の値 の場合、 が に等しいときは、2 つの条件付き確率も等しくなり、その逆もまた同様です。これは、一般に有効な を反映していることに注意してください。 ${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle P(B)}$${\displaystyle (A\leftrightarrow B)\leftrightarrow {\big (}(A\to B)\leftrightarrow (B\to A){\big )}}$

一方、どちらかの確率が古典的に等しいという推論は、上記の次の逆説形式を伴います。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\big (}\neg B\lor \neg (B\to A){\big )}\leftrightarrow {\big (}\neg A\lor \neg (A\to B){\big )}}$

ベイズの定理を否定すると ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(B\vert \neg A){\big (}1-P(A){\big )}={\big (}1-P(A\vert B){\big )}P(B)}$。

極端な場合（すなわち）を除外すると、特に ${\displaystyle P(\neg A)=0}$${\displaystyle P(A)=1}$${\displaystyle P(B\vert \neg A)=P(B)\cdot {\tfrac {1-P(A\vert B)}{1-P(A)}}}$

${\displaystyle P(\neg B\vert \neg A)=1-P(B)\cdot {\frac {1-P(A\vert B)}{1-P(A)}}}$。

極端なケースも除外すると、それらは同時に最大値に達することがわかります。 ${\displaystyle P(B)=0}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle P(A\vert B)=1\ \leftrightarrow \ P(\neg B\vert \neg A)=1}$

これは（少なくとも爆発的な先行事象を除外した場合）古典的な対置原理 を捉えている。

${\displaystyle (B\to A)\leftrightarrow (\neg A\to \neg B)}$。

ベイズの定理は、主観的論理における反転した条件付き意見を導き出す特殊なケースを表し、次のように表現されます。

${\displaystyle (\omega _{A{\tilde {|}}B}^{S},\omega _{A{\tilde {|}}\lnot B}^{S})=(\omega _{B\vert A}^{S},\omega _{B\vert \lnot A}^{S}){\widetilde {\phi }}a_{A},}$

ここで、 は条件付き意見を反転する演算子を表します。引数 はソース によって与えられた 2 項条件付き意見のペアを表し、引数 はの事前確率(別名、基本率)を表します。派生した反転された条件付き意見のペアは で示されます。条件付き意見は確率条件 を一般化します。つまり、確率 を割り当てることに加えて、ソースは条件付きステートメント に任意の主観的意見を割り当てることができます。2項主観的意見は、ソース によって表現される認識論的不確実性の度合いを伴うステートメント の真実性に対する信念です。すべての主観的意見には、対応する投影確率 があります。ベイズの定理を意見の投影確率に適用すると準同型 になり、ベイズの定理は意見の投影確率で表現できます。 ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}}$${\displaystyle (\omega _{B\vert A}^{S},\omega _{B\vert \lnot A}^{S})}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\omega _{A{\tilde {|}}B}^{S},\omega _{A{\tilde {|}}\lnot B}^{S})}$${\displaystyle \omega _{A\vert B}^{S}}$${\displaystyle P(A\vert B)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (A\vert B)}$${\displaystyle \omega _{A}^{S}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P(\omega _{A}^{S})}$

${\displaystyle P(\omega _{A{\tilde {|}}B}^{S})={\frac {P(\omega _{B\vert A}^{S})a(A)}{P(\omega _{B\vert A}^{S})a(A)+P(\omega _{B\vert \lnot A}^{S})a(\lnot A)}}.}$

したがって、主観的ベイズの定理はベイズの定理の一般化を表しています。^[24]

3つの事象に対するベイズの定理のバージョン^[25]は、すべての確率が条件付けられる3番目の事象を追加することによって生じます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle P(C)>0,}$

${\displaystyle P(A\vert B\cap C)={\frac {P(B\vert A\cap C)\,P(A\vert C)}{P(B\vert C)}}}$

連鎖律を使う

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A\vert B\cap C)\,P(B\vert C)\,P(C)}$

そして、その一方で

${\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(B\cap A\cap C)=P(B\vert A\cap C)\,P(A\vert C)\,P(C)}$

両方の式を識別し、 を解くことで、目的の結果が得られます。 ${\displaystyle P(A\vert B\cap C)}$

遺伝学では、ベイズの法則は、個人が特定の遺伝子型を持つ確率を推定するために使用できます。多くの人が、遺伝病に罹患する可能性や、興味のある劣性遺伝子の保因者である可能性を概算しようとします。ベイズ分析は、家族歴や遺伝子検査に基づいて実行でき、個人が病気を発症するか、子供に病気を遺伝させるかを予測できます。遺伝子検査と予測は、子供を持つ予定があるが、2人とも病気の保因者である可能性があると懸念しているカップルの間では、特に遺伝的変異の少ないコミュニティでは一般的な方法です。^[26]

ある病気が女性の兄弟にはあるが、両親や 4 人の子供にはないという知識に基づいた、女性の病気のリスクに関するベイズ分析表の例。被験者の兄弟と両親の状態だけに基づくと、彼女が保因者である可能性と非保因者である可能性は同じです (この可能性は事前仮説で示されます)。ただし、被験者の 4 人の息子全員が影響を受けない確率は、彼女が保因者の場合は 1/16 ( 1 ⁄ 2 ⋅ 1 ⁄ 2 ⋅ 1 ⁄ 2 ⋅ 1 ⁄ 2 ) で、彼女が非保因者の場合は約 1 です (これが条件付き確率です)。結合確率は、これら 2 つの予測を掛け合わせることで調和させます。最後の行 (事後確率) は、各仮説の結合確率を両方の結合確率の合計で割ることで計算されます。^[27]

親の遺伝子検査では、親の既知の疾患アレルの約90％を検出でき、そのアレルは子供の保因者または罹患状態につながる可能性があります。嚢胞性線維症は、7番染色体のq腕に位置するCFTR遺伝子^{[28]の常染色体劣性変異によって引き起こされる遺伝性疾患です。[29]}

嚢胞性線維症 (CF) の家族歴があり、CF の検査結果が陰性であった女性患者のベイズ分析。この方法を使用して、嚢胞性線維症の子供が生まれるリスクをどのように判断したかを示します。

患者は影響を受けていないため、野生型対立遺伝子のホモ接合体かヘテロ接合体のいずれかです。事前確率を確立するために、両親のどちらも病気にかかっていないが、両方ともキャリアである可能性があるという知識に基づいて、パネットの図表が使用されます。

患者が影響を受けていない場合、可能性は 3 つしかありません。この 3 つのうち、患者が変異対立遺伝子を持っているシナリオが 2 つあります。したがって、事前確率は2 ⁄ 3と1 ⁄ 3です。

次に、患者は遺伝子検査を受け、嚢胞性線維症の検査結果は陰性です。この検査の検出率は 90% なので、陰性検査の条件付き確率は 1/10 と 1 です。最後に、結合確率と事後確率が前と同じように計算されます。

患者の男性パートナー（検査結果は陰性）に対して同じ分析を行った後、その子供が罹患している可能性は、両親が保因者であるそれぞれの事後確率と、2人の保因者が罹患した子供を産む可能性（1 ⁄ 4）の積に等しくなります。

ベイジアン分析は、遺伝的疾患に関連する表現型情報を使用して行うことができ、遺伝子検査と組み合わせると、この分析ははるかに複雑になります。たとえば、嚢胞性線維症は、超音波検査でエコー源性腸（スキャンで通常よりも明るく見える腸）を探すことで胎児に特定できます。これは絶対確実な検査ではありません。エコー源性腸は完全に健康な胎児にも存在する可能性があるからです。表現型の側面が確率計算に過度に影響を与える可能性があるこのケースでは、親の遺伝子検査が非常に影響力を持ちます。胎児がエコー源性腸で、母親が検査を受けて嚢胞性線維症のキャリアであることがわかっている場合、胎児が実際に疾患を持っている事後確率は非常に高くなります（0.64）。しかし、父親の嚢胞性線維症の検査が陰性になると、事後確率は大幅に低下します（0.16）。^[27]

リスク要因の計算は、遺伝カウンセリングや生殖計画の強力なツールですが、考慮すべき唯一の重要な要素として扱うことはできません。前述のように、不完全な検査では、キャリア状態の可能性が誤って高く表示される可能性があり、親が同席していない場合は、検査が経済的にアクセスできないか、実行不可能になる可能性があります。

• ベイズ認識論
• 帰納的確率
• 量子ベイズ主義
• 出版された研究結果のほとんどがなぜ間違っているのか、ジョン・イオアニディスによる2005年のメタサイエンス論文
• 通常の条件付き確率
• ベイジアン説得

•  この記事には、現在パブリック ドメインとなっている出版物のテキストが組み込まれています:  Mitchell, John Malcolm (1911)。「Price, Richard」。Chisholm, Hugh (編)著。Encyclopædia Britannica。第 22 巻 (第 11 版)。Cambridge University Press。pp. 314–315。

• ボルスタッド、ウィリアム・M.、カラン、ジェームズ・M. (2017)。「論理、確率、不確実性」。ベイズ統計入門（第3版）。ニューヨーク：ワイリー。pp. 59–82。ISBN 978-1-118-09156-2。
• Lee, Peter M. (2012).ベイズ統計学入門（第4版）. Wiley. ISBN 978-1-118-33257-3。
• シュミット、サミュエル A. (1969)。「証拠の蓄積」。不確実性の測定: ベイズ統計の初歩的な入門。読み物: Addison-Wesley。pp. 61–99。OCLC 5013  。
• スティグラー、スティーブン・M（1986年8月）。「ラプラスの1774年の逆確率に関するメモ」。統計科学。1 （3）：359–363。doi ：10.1214 / ss / 1177013620。

• 「ベイジアントラップ」。Veritasium 2017年4月5日 – YouTube経由。