全確率の法則

確率論において、全確率の法則（または公式）は、限界確率と条件付き確率を関連付ける基本的な規則です。この法則は、いくつかの異なるイベントによって実現される結果の全確率を表すため、この名前が付けられています。

全確率の法則^[1]は、離散的なケースにおいて、相互に排他的で集合的に網羅的な事象の有限または可算無限集合である場合、任意の事象に対して${\displaystyle \left\{{B_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\cap B_{n})}$

あるいは、^[1]

${\displaystyle P(A)=\sum _{n}P(A\mid B_{n})P(B_{n}),}$

ここで、任意の に対して、 の場合、 は有限なので、これらの項は単に合計から省略されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle P(B_{n})=0}$${\displaystyle P(A\mid B_{n})}$

合計は加重平均として解釈することができ、その結果、限界確率は「平均確率」と呼ばれることがあります。^[2]あまり正式でない文章では「全体確率」が使用されることがあります。^[3]${\displaystyle P(A)}$

全確率の法則は条件付き確率についても述べることができます。

${\displaystyle P({A|C})={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}{P({A,{B_{n}},C})}}{P(C)}}={\frac {\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}=\sum \limits _{n}P({A\mid {B_{n}},C})P({{B_{n}}\mid C})}$

を上記のようにとり、が のいずれからも独立したイベントであると仮定します。 ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle P(A\mid C)=\sum _{n}P(A\mid C,B_{n})P(B_{n})}$

全確率の法則は、連続ランダム変数によって生成されるイベントの条件付けの場合にも適用されます。 を確率空間とします。は分布関数 を持つランダム変数で、上のイベントがあるとします。このとき、全確率の法則は次のように述べます。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{X}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF_{X}(x).}$

が密度関数を許容する場合、結果は ${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}}$

${\displaystyle P(A)=\int _{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f_{X}(x)dx.}$

さらに、 （ボレル集合）の特定のケースでは、次の式が得られ ます。${\displaystyle A=\{Y\in B\}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle P(Y\in B)=\int _{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f_{X}(x)dx.}$

2 つの工場が市場に電球を供給しているとします。工場Xの電球は 99% のケースで 5000 時間以上点灯しますが、工場Yの電球は 95% のケースで 5000 時間以上点灯します。工場X は入手可能な電球全体の 60% を供給し、工場 Y は入手可能な電球全体の 40% を供給していることがわかっています。購入した電球が 5000 時間以上点灯する確率はどれくらいでしょうか。

全確率の法則を適用すると、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B_{X})\cdot P(B_{X})+P(A\mid B_{Y})\cdot P(B_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}}$

どこ

• ${\displaystyle P(B_{X})={6 \over 10}}$購入した電球が工場Xで製造された確率。
• ${\displaystyle P(B_{Y})={4 \over 10}}$購入した電球が工場Yで製造された確率。
• ${\displaystyle P(A\mid B_{X})={99 \over 100}}$X社が製造した電球が 5000 時間以上動作する確率です。
• ${\displaystyle P(A\mid B_{Y})={95 \over 100}}$Y社が製造した電球が5000時間以上点灯する確率です。

したがって、購入した電球はそれぞれ 5000 時間以上動作する確率が 97.4% になります。

全確率の法則という用語は、離散確率変数に適用される全確率の法則の特殊なケースである代替法則を意味すると解釈されることがあります。^[要出典]ある著者は「平均条件付き確率の法則」という用語を使用し、^[4]別の著者は連続の場合の「連続代替法則」と呼んでいます。^{[5]この結果は、グリメットとウェルシュ[6]によって}分割定理 として示されており、彼らは関連する全期待値の法則にもこの名前を与えています。

• 大数の法則
• 総期待値の法則
• 全分散の法則
• 全共分散の法則
• 全積分の法則
• 限界分布

• Robert J. Beaver、Barbara M. Beaver 著『確率と統計入門』 Thomson Brooks/Cole、2005 年、159 ページ。
• 統計理論、Mark J. Schervish著、Springer、1995年。
• Schaum's Outline of Probability、第2版、John J. Schiller、Seymour Lipschutz著、McGraw-Hill Professional、2010年、89ページ。
• 『確率モデル入門』、HC Tijms著、John Wiley and Sons、2003年、431-432ページ。
• 『確率論中級コース』、アラン・ガット著、Springer、1995年、5～6ページ。