通常の条件付き確率

2つの確率変数を考える${\displaystyle X,Y:\Omega \to \mathbb {R} }$Xが与えられたときのYの条件付き確率分布は2変数関数である。${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}:\mathbb {R} \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$

確率変数Xが離散的である場合

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x​​,A)=P(Y\in A\mid X=x)={\begin{cases}{\frac {P(Y\in A,X=x)}{P(X=x)}}&{\text{ if }}P(X=x)>0\\[3pt]{\text{任意の値}}&{\text{ otherwise}}.\end{cases}}}$

確率変数X、Yが密度関数を持つ連続変数である場合${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$。

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x​​,A)={\begin{cases}{\frac {\int _{A}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y}{\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} y}}&{\text{ if }}\int _{\mathbb {R} }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y>0\\[3pt]{\text{任意の値}}&{\text{ otherwise}}.\end{cases}}}$

条件付き期待値の観点から、より一般的な定義を与えることができる。関数を考えてみよう。${\displaystyle e_{Y\in A}:\mathbb {R} \to [0,1]}$満足

${\displaystyle e_{Y\in A}(X(\omega ))=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid X](\omega )}$

ほぼすべての${\displaystyle \omega }$すると、条件付き確率分布は次のように与えられる。

${\displaystyle \kappa _{Y\mid X}(x​​,A)=e_{Y\in A}(x).}$

条件付き期待値と同様に、これはシグマ代数に基づく条件付けにさらに一般化することができる。$\displaystyle {\mathcal {F}}}$その場合、条件付き分布は関数となる。$\displaystyle \Omega \times {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$:

${\displaystyle \kappa _{Y\mid {\mathcal {F}}}(\omega ,A)=\operatorname {E} [1_{Y\in A}\mid {\mathcal {F}}](\omega )}$

一緒に仕事をするために$\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$定期的に行うことが重要です。つまり、

1. ほぼすべてのxに対して、${\displaystyle A\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x​​,A)}$確率尺度
2. すべてのAに対して、 ${\displaystyle x\mapsto \kappa _{Y\mid X}(x​​,A)}$測定可能な関数である

言い換えると$\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$はマルコフ核です。

2番目の条件は自明に成り立つが、1番目の条件の証明はより複雑である。Yがランダムな要素である場合、${\displaystyle \Omega \to S}$ラドン空間Sには、$\displaystyle \kappa _{Y\mid X}}$最初の条件を満たす。^{[ 1 ]}通常の条件付き確率分布が存在しない、より一般的な空間を構築することも可能である。^{[ 2 ]}

離散型および連続型の確率変数の場合、条件付き期待値は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\sum _{y}y\,P(Y=y\mid X=x)\\\operatorname {E} [Y\mid X=x]&=\int y\,f_{Y\mid X}(x​​,y)\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle f_{Y\mid X}(x​​,y)}$は、 Xが与えられたときのYの条件付き密度です。

この結果は、通常の条件付き確率分布を用いて理論的な条件付き期待値を測定することにも拡張できる。

${\displaystyle \operatorname {E} [Y\mid X](\omega )=\int y\,\kappa _{Y\mid \sigma (X)}(\omega ,\mathrm {d} y).}$