閉じたグラフの性質

数学、特に関数解析と位相幾何学において、閉グラフは関数の性質である。^{[1] [2]}位相空間間の 関数f  : X → Yは、そのグラフが積空間X ×  Yの閉部分集合である場合に閉グラフを持つ。関連する性質に開グラフがある。^[3]

この特性が研究されるのは、閉グラフ定理と呼ばれる、閉グラフを持つ関数が必然的に連続となる条件を与える定理が数多く存在するためです。閉グラフ定理の特によく知られているクラスの 1 つに、関数解析における閉グラフ定理があります。

定義と表記法：関数f  : X → Yのグラフは集合である。

Gr f  := { ( x , f ( x )) : x ∈ X  } = { ( x , y ) ∈ X ×  Y  : y = f ( x ) }です。

表記法: Yが集合である場合、 Yの冪集合、つまりYのすべての部分集合の集合は、 2 ^Yまたは𝒫( Y )と表されます。

定義: XとYが集合である場合、X上のYの集合値関数( X上のY値多関数とも呼ばれる) は、2 ^Yに値を持つ定義域Xを持つ関数F  : X → 2 ^Yです。つまり、F はX上の関数であり、任意のx ∈ Xに対して、F ( x )はYのサブセットです。

• 一部の著者は、関数F  : X → 2 ^{Y が}、任意のx ∈ Xに対してF ( x )が空ではないという追加要件を満たす場合にのみ、関数を集合値関数と呼びますが、この記事ではこれは必要ありません。

定義と表記法：F  : X → 2 ^Yが集合Yの集合値関数である場合、Fのグラフは集合

Gr F  := { ( x , y ) ∈ X ×  Y  : y ∈ F ( x ) }です。

定義:関数f  : X → Y は、任意のx ∈ Xに対してF ( x ) := { f ( x ) }で定義される集合値関数F  : X → 2 ^Yと標準的に同一視できます。ここで、F はfによって誘導される（またはfに関連付けられる）標準集合値関数と呼ばれます。

• この場合、Gr f = Gr Fであることに注意してください。

Y値関数または集合値関数が閉グラフを持つ場合のより一般的な定義を、Xのサブセット S上で定義されるより一般的な定義として与えます。これは、位相ベクトル空間Xの稠密なサブスペースS上で定義される（必ずしもX全体上で定義されるわけではない）閉線形演算子の研究でこの一般性が必要になるためです。この特定のケースは、関数解析で閉グラフを持つ関数が研究される主な理由の 1 つです。

仮定: 全体を通じて、XとYは位相空間、S ⊆ X、fはS上のY値関数または集合値関数(つまり、 f  : S → Yまたはf  : S → 2 ^Y ) です。 X ×  Y は常に積位相を持ちます。

定義: ^[4] fのグラフGr fが、X ×  Yが積位相を持つときにX ×  Yの閉部分集合である場合、 f はX ×  Yにおいて閉グラフ   を持つという。S = Xの場合、または文脈から X が明らかな場合は、「X ×  Yにおいて」と書くのを省略できる。

同様の方法で、開いたグラフ、連続的に閉じたグラフ、連続的に開いたグラフ を定義できることに注意してください。

観察: g  : S → Yが関数であり、G がgによって誘導される標準的な集合値関数である場合  (つまり、G  : S → 2 ^Yは、すべてのs ∈ Sに対してG ( s ) := { g ( s ) }によって定義される) 、 Gr g = Gr Gであるため、Gについても同じことが当てはまる場合のみ、g はX ×  Yで閉じた (それぞれ順次閉じた、開いた、順次開いた) グラフを持ちます。

定義: 関数 (集合値関数) f がX × Y で閉包可能であるとは、 S を含む部分集合D ⊆ Xと、グラフが集合Gr f のX ×  Yにおける閉包に等しい関数 (集合値関数) F  : D → Yが存在する場合を言います。このようなF はfのX ×  Yにおける閉包と呼ばれ、 fで表され、必然的にf を拡張します。

• 線型写像に対する追加の仮定: さらに、S、X、Yが位相ベクトル空間であり、f  : S → Yが線型写像である場合、 f が閉包可能であると言うためには、集合DがXのベクトル部分空間であり、 fの閉包が線型写像であることも要求されます。

定義: f がS上で閉包可能である場合、fのコア領域または本質領域は、fからDへの制限f | _D  : D → YのグラフのX ×  Yにおける閉包が、fのX ×  Yにおけるグラフの閉包に等しいような部分集合D ⊆ Sです (つまり、 Gr fのX ×  Yにおける閉包は、Gr f | _DのX ×  Yにおける閉包に等しい)。  

定義と表記: f  : D ( f ) ⊆ X → Yと書く場合、 f はY値関数で、ドメインD ( f )があり、 D ( f ) ⊆ Xであることを意味します。f  : D ( f ) ⊆ X → Yが閉じている(または順次閉じている)、または閉じたグラフを持つ(または順次閉じたグラフを持つ) と言う場合、 fのグラフがX ×  Yで閉じている (または順次閉じている)ことを意味します ( D ( f ) ×  Yではなく)。

関数解析の文献を読むとき、f  : X → Yが位相ベクトル空間 (TVS) (たとえばバナッハ空間)間の線型写像である場合、「fは閉じている」とはほとんどの場合、次のことを意味します。

定義: マップf  : X → Yは、そのグラフがX ×  Yで閉じている場合に閉じていると呼ばれます。特に、「閉じた線型演算子」という用語は、グラフが閉じている線型マップを指すことがほとんどです。

それ以外の場合、特に点集合位相に関する文献では、「fは閉じている」は次のような意味になることがあります。

定義: 位相空間間の写像f  : X → Yは、 Xの閉部分集合の像がYの閉部分集合であるとき、閉写像と呼ばれる。

「閉じたマップ」のこれら 2 つの定義は同等ではありません。不明な場合は、読んでいる文献で「閉じたマップ」がどのように定義されているかを確認することをお勧めします。

全体を通して、XとY を位相空間とします。

閉じたグラフを持つ関数

f  : X → Yが関数で ある場合、以下は同等です。

1. f は  閉グラフ（X ×  Y）を持つ。
2. （定義） fのグラフGr fはX ×  Yの閉部分集合である。
3. 任意のx ∈ Xと、 X におけるx _• = ( x _i ) _{i ∈ I}であって、Xにおけるx _• → xであるとき、y ∈ Yであって、 Y におけるf ( x • ₎ := ( f ( x _i )) _{i ∈ I} → yであるとき、y = f ( x )である; ^[4]
   • これをネットの連続性の定義と比較してみましょう。ネットの連続性の定義は次のようになります。X におけるすべてのx ∈ Xおよびネットx _• = ( x _i ) _{i ∈ I}であって、 Xにおいてx _• → x、Yにおいてf ( x _• ) → f ( x )です。
   • したがって、関数f が閉グラフを持つことを示すには、 f ( x _• ) がYで何らかのy ∈ Yに収束すると仮定し(そしてy = f ( x )であることを示します)、一方、 fが連続であることを示すには、 f ( x _• )がYで何らかのy ∈ Yに収束すると仮定せず、代わりにこれが真であることを証明する必要があります (さらに、 f ( x _• ) がYでf ( x )に収束することをより具体的に証明する必要があります)。

Y がコンパクトなハウスドルフ空間である場合、このリストに以下を追加できます。

XとY の両方が第 1 可算空間である 場合、このリストに次のものを追加できます。

連続的に閉じたグラフを持つ関数

f  : X → Yが関数で ある場合、以下は同等です。

1. f は（ X ×  Y  において）順次閉じたグラフを持つ。
2. (定義) fのグラフはX ×  Yの順次閉じた部分集合である。
3. あらゆるx ∈ Xおよび数列x _• = ( x _i )に対して^∞
   _{i =1}Xにおいてx _• → xとなるXにおいて、y ∈ Yが、ネットf ( x _• ) := ( f ( x _i ))となるような場合^∞
   _{i =1}→ y がYにあるときy = f ( x )である; ^[4]

閉グラフを持つ集合値関数

F  : X → 2 ^Yが位相空間XとY間の集合値関数で ある場合、以下は同値です。

1. F は  閉グラフ（X ×  Y）を持つ。
2. (定義) FのグラフはX ×  Yの閉部分集合である。

Yがコンパクトかつハウスドルフ の場合、このリストに以下を追加できます。

XとY の 両方が距離化可能な空間である場合、このリストに以下を追加できます。

全体を通して、およびは位相空間であり、積位相が与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y}$

が関数である場合、それが以下の同等の条件のいずれかを満たすとき、 それは閉じたグラフを持つと言われます。${\displaystyle f:X\to Y}$

1. （定義）：グラフはの閉部分集合である。${\displaystyle \operatorname {graph} f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y.}$
2. 任意の およびにおけるネットがにおいてとなる場合、におけるネットが となるとき[ ^4]${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y=f(x).}$
   • これをネットの連続性の定義と比較してみましょう。ネットの連続性の定義は次のようになります。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$${\displaystyle Y.}$
   • したがって、関数 が閉グラフを持つことを示すには、が に収束すると仮定して(そして を示す)、 が連続であることを示すには、が に収束すると仮定せず、代わりに、これが真であることを証明する必要があります (さらに、が でに収束することをより具体的に証明する必要があります)。${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$

がハウスドルフコンパクト空間である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle Y}$

3. ${\displaystyle f}$連続的である。^[5]

と が両方とも第 1 可算空間である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

4. ${\displaystyle f}$連続的に閉じたグラフを持つ${\displaystyle X\times Y.}$

連続的に閉じたグラフを持つ関数

が関数である 場合、以下は同等です。${\displaystyle f:X\to Y}$

1. ${\displaystyle f}$連続的に閉じたグラフを持つ${\displaystyle X\times Y.}$
2. 定義: のグラフは、の連続的に閉じた部分集合である。${\displaystyle f}$${\displaystyle X\times Y.}$
3. における任意のおよび列に対して、におけるがにおけるネットとなるような場合、^[4]${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y=f(x).}$

• f  : X → Yが位相空間間の連続関数であり、Yがハウスドルフであれば、f はX ×  Y  に閉グラフを持ちます。^[4]しかし、fがハウスドルフ位相空間間の関数である場合、 f はX ×  Y  に閉グラフを持ちますが、連続ではない可能性があります。

閉じたグラフを持つ関数が必然的に連続であることを保証する条件は、閉じたグラフ定理と呼ばれます。閉じたグラフ定理は、閉じたグラフを持つ線型写像が必然的に連続となる条件を与える定理が多数ある関数解析において特に重要です。

• f  : X → YがグラフがX ×  Yで閉じている位相空間間の関数であり、Yがコンパクト空間である場合、f  : X → Yは連続である。^[4]

関数解析の例については、連続線型演算子を参照してください。

• X が通常のユークリッド位相を持つ実数ℝを表し、Y が非離散位相を持つℝを表すものとします(ただし、Yはハウスドルフではなく、 Yの値を取るすべての関数は連続していることに注意してください)。f  : X → Y が、すべてのx ≠ 0に対してf (0) = 1およびf ( x ) = 0で定義されるとします。このとき、f  : X → Yは連続ですが、そのグラフはX ×  Yで閉じていません。^[4]
• Xが任意の空間であれば恒等写像Id: X → Xは連続であるが、そのグラフである対角線GrId:={( x , x ): x∈X  }は、Xがハウスドルフの場合にのみX × Xで閉じている。^[7]特に、Xがハウスドルフでない場合、Id : X → Xは連続であるが閉じていない。
• f  : X → Yがグラフが閉じていない連続写像である場合、 Yはハウスドルフ空間ではありません。

• XとY は両方とも通常のユークリッド位相を持つ実数ℝ を表します。f  : X → Y はf (0) = 0およびf ( x ) = ⁠で定義されます。1/x⁠すべてのx ≠0に対して。するとf  : X → YはX ×  Y =ℝ2^において閉グラフ（および順次閉グラフ）を持つが、連続ではない（ x =0で不連続であるため）。 ^[4]
• X が通常のユークリッド位相を持つ実数ℝを表し、Y が離散位相を持つℝを表し、Id : X → Y が恒等写像（すなわち、すべてのx ∈ Xに対してId( x ) := x ）であるとする。このとき、 Id : X → YはグラフがX ×  Yで閉じているが明らかに連続ではない線型写像である（単一集合はYでは開いているがXでは開いていないため）。^[4]
• ( X ,𝜏)をハウスドルフTVSとし、 𝜐をX上の𝜏よりも厳密に細かいベクトル位相とする。このとき恒等写像Id:( X ,𝜏)→( X ,𝜐)は閉じた不連続線型作用素である。^[8]

• ほぼ開いた線形マップ - 開いたマップと同様の条件を満たすマップ。リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 閉グラフ定理 – グラフの連続性に関する定理
• 閉グラフ定理（関数解析）  – グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 角谷不動点定理 – 集合値関数の不動点定理
• 開写像定理（関数解析）  – 線形作用素が開写像となるための条件
• ウェブ空間 – 開写像と閉グラフ定理が成り立つ空間

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