ほぼオープンマップ

関数解析および関連する数学の分野において、位相空間間の概開写像とは、開写像であるという条件に類似しているが、開写像であるという条件よりも弱い条件を満たす写像である。以下で説明するように、位相ベクトル空間の特定の広いカテゴリでは、すべての射影線型作用素は必然的に概開である。

射影写像が与えられた場合、その点は${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle x\in X}$およびの開点は、に対して がにおけるの近傍で、 で開いている（または で開写像である）（近傍が開である必要はない）。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f(U)}$

射影写像は、その定義域のどの点でも開いている場合開写像と呼ばれ、その各ファイバーに開点がある場合ほぼ開写像と呼ばれる。明示的には、任意のに対して、任意ので開いているようなものが存在する場合、射影写像はほぼ開いていると言われる。 任意のほぼ開いている射影は、必然的に${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$擬開写像（1963年にアレクサンダー・アルハンゲルスキーが導入）は、定義により、のあらゆる近傍（つまり）に対して、の近傍が必ず となる${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle y.}$

2つの位相ベクトル空間（TVS）間の線型写像は、${\displaystyle T:X\to Y}$ほぼ開線型写像、または におけるの任意の近傍に対してにおけるの閉包が原点の近傍である、ほぼ開線型写像次を満たすことを要求する。 における の任意の近傍に対して における（におけるではなくの閉包が原点の近傍である。この記事ではこの定義は使用しない。^[1]${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T(U)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle T(U)}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y}$

線型写像がほぼ開いている場合、は写像内の原点の近傍を含むのベクトル部分空間であるため、は必然的に全射です。このため、多くの著者は「ほぼ開いている」の定義の一部として全射性を要求します。 ${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle T:X\to Y}$

が全単射線型作用素である場合、がほぼ開いているのは、がほぼ連続である場合に限ります。^[1]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}}$

すべての全射開写像はほぼ開写像ですが、一般にその逆は必ずしも真ではありません。全射がほぼ開写像である場合、次の条件を満たすと開写像になります (この条件は の位相にはまったく依存しません)。 ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \sigma}$

が の同じ繊維（つまり）に属するときは、 の任意の近傍に対しての近傍が存在し、${\displaystyle m,n\in X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(m)=f(n)}$${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle m,}$${\displaystyle V\in \tau }$${\displaystyle n}$${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

写像が連続である場合、写像が開いているためには上記の条件も必要です。つまり、が連続射影である場合、それがほぼ開いており、上記の条件を満たす場合にのみ、それは開いている写像です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

定理: ^[1]が局所凸空間から樽型空間への射影線型作用素である場合、 はほぼ開いている。${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

定理: ^{[1]がTVSから}ベール空間への射影線型作用素である場合、 はほぼ開いている。${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle T}$

上記の 2 つの定理では、射影線型写像が位相条件を満たす必要はありません。

定理: ^[1]が完全な擬似測距可能なTVSであり、がハウスドルフTVSであり、が閉じていてほぼ開いた線型射影である場合、 は開写像である。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle T}$

定理: ^{[1] は完全な}擬距離化可能なTVSからハウスドルフTVSへの連続線型作用素であるとする。の像がにおいて非-maagerであれば、は全射開写像であり、は完全な距離化可能な空間である。${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle Y}$

• ほぼ開集合 – 開集合とわずかな集合の差リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• バレル空間 – 位相ベクトル空間の種類
• 有界逆定理 – 線形演算子が開となるための条件リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 閉グラフ – 積空間で閉じたマップのグラフリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 閉グラフ定理 – グラフの連続性に関する定理
• 開集合 – 位相空間の基本部分集合
• 開いたマップと閉じたマップ – 開いた（閉じた）サブセットを開いた（閉じた）サブセットに送信する関数
• 開写像定理（関数解析）  - 線形演算子が開写像となるための条件（バナッハ・シャウダー定理とも呼ばれる）
• 準開写像 – 空でない開集合を、その共域に空でない内部を持つ集合に写像する関数
• フレシェ空間の全射 – 全射性の特徴
• ウェブ空間 – 開写像と閉グラフ定理が成り立つ空間

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