アルティンの相互関係

エミール・アルティンが一連の論文（1924年、1927年、1930年）で確立したアルティンの相互法則は、大域類体理論の中心となる数論の一般定理である。^{[1] 「}相互法則」という用語は、二次相互法則やアイゼンシュタインとクンマーの相互法則からノルム記号のヒルベルトの積の公式まで、それが一般化したより具体的な数論的ステートメントの長い一連の流れを指す。アルティンの結果は、ヒルベルトの第9問題の部分的な解決を提供した。

を大域体のガロア拡大とし、 を のイデル類群とする。アルティンの相互法則の主張の1つは、大域記号写像と呼ばれる標準同型が存在するということである^{[2] [3]}${\displaystyle L/K}$${\displaystyle C_{L}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/K)^{\text{ab}},}$

ここで は群のアーベル化を表し、 は上のガロア群である。写像は、局所アルティン記号、局所相互写像、またはノルム留数記号と呼ばれる写像を組み立てることによって定義される^{[4] [5]}${\displaystyle {\text{ab}}}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text {ab}}、}$

の異なる場所 に対して。より正確には、はイデル類の -成分上の局所写像によって与えられます。写像は同型です。これが局所類体理論の主要定理である局所相互法則の内容です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \theta_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta_{v}}$

大域的相互法則のコホモロジー的証明は、まず次のことを証明することによって達成できる。

${\displaystyle (\operatorname {Gal} (K^{\text{sep}}/K),\varinjlim C_{L})}$

アルティンとテイトの意味での階級形成を構成する。 ^[6]そして、

${\displaystyle {\hat {H}}^{0}(\operatorname {Gal} (L/K),C_{L})\simeq {\hat {H}}^{-2}(\operatorname {Gal} (L/K),\mathbb {Z} ),}$

ここで、 はテイトコホモロジー群を表します。コホモロジー群を解くと、 が同型であることが証明されます。 ${\displaystyle {\hat {H}}^{i}}$${\displaystyle \theta }$

アルティンの相互法則は、ハッセの局所-大域原理とフロベニウス元の使用に基づく、大域体Kの絶対ガロア群のアーベル化の記述を意味する。高木の存在定理とともに、これはKの算術の観点からKのアーベル拡大を記述し、それらの非アルキメデス的場所の挙動を理解するために使用される。したがって、アルティンの相互法則は、大域類体理論の主要な定理の 1 つとして解釈できる。これは、アルティン L 関数が有理型であることを証明するために使用でき、また、チェボタレフの密度定理を証明するためにも使用できる。^[7]

1927年に一般相互法則を発表した2年後、アルティンはイデアル・シューアの転移準同型性を再発見し、相互法則を使って代数体の理想クラスの主化問題を有限非可換群の転移の核を決定する群論的課題に変換した。^[8]

(ここで使用されている用語の説明については、https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP を参照してください)

大域体の有限 アーベル拡大 L / K ( の有限アーベル拡大など)に対するアルティン写像の定義は、素イデアルとフロベニウス元によって具体的に記述されます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

がKの素数である場合、上記の素数の分解群はGal( L / K )において等しい。これは後者の群がアーベル であるためである。がLにおいて不分岐である場合、分解群は上の留数体の拡大のガロア群と正準同型である。したがって、 Gal( L / K )にはまたはで表される正準定義されたフロベニウス元が存在する。 Δ がL / Kの相対判別式を表す場合、L / Kのアルティン記号(またはアルティン写像、または(大域) 相互写像)は、素数から Δ への分数イデアルの群、上で線形性によって定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L,{\mathfrak {P}}}/{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \mathrm {Frob} _{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \left({\frac {L/K}{\mathfrak {p}}}\right)}$${\displaystyle I_{K}^{\Delta }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left({\frac {L/K}{\cdot }}\right):I_{K}^{\Delta }\longrightarrow \operatorname {Gal} (L/K)\\\prod _{i=1}^{m}{\mathfrak {p}}_{i}^{n_{i}}\longmapsto \prod _{i=1}^{m}\left({\frac {L/K}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)^{n_{i}}\end{cases}}}$

アルティンの相互法則（または大域的相互法則）は、アルティン写像が同型写像を誘導するような Kの係数 cが存在することを述べている。

${\displaystyle I_{K}^{\mathbf {c} }/i(K_{\mathbf {c} ,1})\mathrm {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathbf {c} }){\overset {\sim }{\longrightarrow }}\mathrm {Gal} (L/K)}$

ここで、K _{c ,1}はc を法とする射線、 N _{L / K は}L / Kに関連付けられたノルム写像、Lのcに素な分数イデアルである。このような係数cはL / Kの定義係数と呼ばれる。最小の定義係数はL / Kの導体と呼ばれ、通常次のように表記される。${\displaystyle I_{L}^{\mathbf {c} }}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K).}$

が平方整数で、の場合、 は{±1} と同一視できる。L の判別式 Δ は、d ≡ 1 (mod 4) かどうかによってdまたは 4 dになる。アルティン写像は、 Δを割り切れない 素数p上で定義される。${\displaystyle d\neq 1}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle p\mapsto \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

ここで はクロネッカー記号です。^[9]より具体的には、 の導体はΔ が正か負かに応じて主イデアル (Δ) または (Δ)∞ となり、^{[10]素数から Δ へのイデアル (} n )上のアルティン写像はクロネッカー記号 で与えられます。これは、 が 1 か −1かに応じて素数pがLで分裂するか不活性になるかを示しています。 ${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{n}}\right).}$${\displaystyle \left({\frac {\Delta }{p}}\right)}$

m > 1 を奇数または 4 の倍数とし、を原始m乗根とし、をm乗円分体とします。は、 _σを次の規則で与えられる σに送ることによって、と同一視できます。${\displaystyle \zeta _{m}}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{m})}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \sigma (\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a_{\sigma }}.}$

の伝導体は( m )∞であり^[11]、素数-mイデアル(n)上のアルティン写像は[ 12 ]^で単にn (mod m )である。${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

pとを異なる奇数の素数とする。便宜上、（常に1（mod 4））とする。すると、2次の相互法則は次のように表される。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell ^{*}=(-1)^{\frac {\ell -1}{2}}\ell }$

${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=\left({\frac {p}{\ell }}\right).}$

二次体とアルティンの相互法則の関係は、二次体と円分体を調べることによって次のように与えられる。^[9]まず、FはLの部分体なので、H = Gal( L / F )であり、後者は位数が2なので、部分群HはLの平方群でなければならない。アルティン記号の基本的な性質は、すべての素数からℓまでのイデアル( n ) に対して、${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {\ell ^{*}}})}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{\ell })}$${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} ),}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/\mathbb {Q} )=G/H.}$${\displaystyle (\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )^{\times }.}$

${\displaystyle \left({\frac {F/\mathbb {Q} }{(n)}}\right)=\left({\frac {L/\mathbb {Q} }{(n)}}\right){\pmod {H}}.}$

n = pのとき、 pを法として ℓ がHに含まれる場合、つまり、p がℓ を法として平方である 場合に限り、これが成り立ちます。${\displaystyle \left({\frac {\ell ^{*}}{p}}\right)=1}$

ラングランズ計画につながる相互法則の別のバージョンは、数体のアーベル拡大に関連付けられたアルティンL関数とイデル類群のキャラクターに関連付けられたヘッケL関数を結び付けます。^[13]

数体Kのヘッケ指標(Größencharakter) は、Kのイデア類群の準指標として定義される。ロバート・ラングランズは、ヘッケ指標をKのイデア環上の簡約代数群GL (1)上の保型形式として解釈した。^[14]

をガロア群Gを持つアーベルガロア拡大とする。すると、任意の指標（つまり群Gの1次元複素表現）に対して、 Kのヘッケ指標が存在し、 ${\displaystyle E/K}$ ${\displaystyle \sigma :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{E/K}^{\mathrm {Artin} }(\sigma ,s)=L_{K}^{\mathrm {Hecke} }(\chi ,s)}$

ここで、左辺はσ特性を持つ拡大に関連付けられたアルティンL関数であり、右辺はχに関連付けられたヘッケL関数である（^{[14]のセクション7.D）。}

アルティンの相互法則をL関数の等式として定式化することで、直接的な対応はまだ欠けているものの、 n次元表現への一般化を定式化することができます。

• Emil Artin (1924) 「Über eine neue Art von L-Reihen」、ハンブルク大学数学セミナー Abhandlungen aus dem Mathematischen 3: 89–108;論文集、アディソン・ウェスリー(1965)、105–124
• Emil Artin (1927) 「Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes」、ハンブルク大学数学セミナーAbhandlungen aus dem Mathematischen 5: 353–363;論文集、131–141
• Emil Artin (1930) 「オーバーコルペルンと全ゲマイネスの理想的クラッセン」、ハンブルク大学数学セミナー Abhandlungen aus dem Mathematischen 7: 46–51;論文集、159–164
• Frei, Günther (2004)、「代数体のアーベル拡大におけるアルティンの相互法則の歴史について: アルティンが相互法則に至った経緯」、Olav Arnfinn Laudal、Ragni Piene (編)、Niels Henrik Abel の遺産。Abel 生誕 200 周年記念会議論文、オスロ大学、オスロ、ノルウェー、2002 年 6 月 3 日～8 日、ベルリン: Springer-Verlag、pp. 267～294、ISBN 978-3-540-43826-7、MR  2077576、Zbl  1065.11001
• ヤヌス、ジェラルド（1973）、代数的数体、純粋および応用数学、第55巻、アカデミックプレス、ISBN 0-12-380250-4
• ラング、セルジュ（1994）、代数的数論、Graduate Texts in Mathematics、第110巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-94225-4、MR  1282723
• Lemmermeyer、Franz (2000)、相反性の法則: オイラーからエイゼンシュタインまで、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66957-9、MR  1761696、Zbl  0949.11002
• ミルン、ジェームズ (2008)、クラスフィールド理論 (v4.0 版) 、2010-02-22取得
• Neukirch、Jürgen (1999)、代数的数論、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 322、Norbert Schappacher によるドイツ語からの翻訳、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-65399-6、ZBL  0956.11021
• セール、ジャン＝ピエール（1979）、局所場、数学の大学院テキスト、第67巻、グリーンバーグ、マーヴィン・ジェイ訳、ニューヨーク、ハイデルベルク、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-90424-7、Zbl  0423.12016
• Serre, Jean-Pierre (1967)、「VI. 局所類体理論」、Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (編)、代数的数論。ロンドン数学協会 (NATO 先端研究機関) が国際数学連合の支援を受けて開催した教育会議の議事録、ロンドン: Academic Press、pp. 128–161、Zbl  0153.07403
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