プリンシパル化（代数）

代数的整数論という数学の分野において、主化の概念は、代数的数体の拡大が与えられたときに、より小さい体の整数環のあるイデアル（より一般的には分数イデアル）は主ではないが、より大きい体の整数環へのその拡大が主となる状況を指す。その研究は、1840年代のイデアル数に関するエルンスト・クンマーの研究に端を発しており、クンマーは特に、すべての代数的数体に対して拡大数体が存在し、その拡大数体では、基底体の整数環のすべてのイデアル（常に最大で2つの要素によって生成できる）が、より大きい体に拡大されたときに主になることを証明した。1897年、ダヴィト・ヒルベルトは、後に与えられた基底体のヒルベルト類体と呼ばれるようになった、基底体の最大アーベル不分岐拡大がそのような拡大であると予想した。この予想は、現在では主イデアル定理として知られており、1929年にエミール・アルティンによって数論から群論に翻訳された後、1930年にフィリップ・フルトヴェングラーによって証明されました。アルティンは、この定式化を確立するために一般相互法則を使用しました。この長い間待ち望まれていた証明は、導来長さが2である非可換群のアルティン転送によって達成されたため、何人かの研究者がそのような群の理論をさらに活用して、基本体とそのヒルベルト類体の間の中間体における主化に関する追加情報を得ようとしました。この方向への最初の貢献は、1934年のアーノルド・ショルツとオルガ・タウスキーによるもので、彼らは主化の同義語である降伏を造り出しました。単位群のガロアコホモロジーを介した主化問題への別の独立したアクセスもヒルベルトによるもので、彼の数レポートの素数次数体の巡回拡大に関する章に遡り、有名な定理94で最高潮に達します。

を代数体（基底体と呼ばれる）とし、を有限次数の体拡大とする。 とをそれぞれ整数環、非零分数イデアル群、体の主分数イデアルの部分群とする。すると、分数イデアルの拡大写像は ${\displaystyle K}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K},{\mathcal {I}}_{K},{\mathcal {P}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}、{\mathcal {I}}_{L}、{\mathcal {P}}_{L}}$${\displaystyle K,L}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\iota _{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}\\{\mathfrak {a}}\mapsto {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\end{cases}}}$$

は、入射的な 群準同型である。 なので、この写像はイデアル類群の拡大準同型を誘導する。${\displaystyle \iota _{L/K}({\mathcal {P}}_{K})\subseteq {\mathcal {P}}_{L}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}/{\mathcal {P}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}\end{cases}}}$$

非主イデアル(つまり) が存在し、その拡大イデアルが主 (つまり、あるおよびに対して) である場合、におけるプリンシパル化または降伏について語ります。この場合、イデアルとそのクラスはにおいてプリンシパル化または降伏すると言われます。この現象は、クラス拡大準同型の 核であるプリンシパル化核または降伏核によって最も便利に記述されます。${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}\neq {\mathcal {P}}_{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}=A{\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}=(A{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {P}}_{L}={\mathcal {P}}_{L}}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {P}}_{K}}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ker(j_{L/K})}$

より一般的には、を の法とし、 は の非ゼロイデアルであり、は の異なる実無限素数の形式積であるとする。すると、 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{0}{\mathfrak {m}}_{\infty }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }}$${\displaystyle K}$

$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}}=\langle \alpha {\mathcal {O}}_{K}|\alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}\rangle \leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),}$$

はを法とする射線で、 はと互いに素な における非ゼロ分数イデアルの群であり、条件はを割り切るすべての実無限素数 に対しておよび を意味する。すると、群はに対する一般化イデアル類群と呼ばれる。および が、任意の に対して であり、任意のに対してとなる一般化イデアル類群である場合、 は一般化イデアル類群の拡張準同型性を誘導する。 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}})={\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{0})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}}$${\displaystyle \alpha \equiv 1{\bmod {\mathfrak {m}}}}$${\displaystyle \alpha \equiv 1{\bmod {{\mathfrak {m}}_{0}}}}$${\displaystyle v(\alpha )>0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\infty }.}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}),}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}})/{\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/{\mathcal {H}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}\in {\mathcal {H}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in {\mathcal {H}}_{K}}$${\displaystyle \iota _{L/K}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {m}}_{K})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {m}}_{L})/{\mathcal {H}}_{L}\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}_{K}\mapsto ({\mathfrak {a}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}\end{cases}}}$$

をガロア群を持つ代数体のガロア拡大とし、をそれぞれの体の素イデアルの集合を表すものとします。 は の素イデアルであり、相対判別式を割り切れないため において不分岐であるとし、 は上にあるの素イデアルとします。 ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (F/K)}$${\displaystyle \mathbb {P} _{K},\mathbb {P} _{F}}$${\displaystyle K,F}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

すべての代数的整数 に対して、となる一意の自己同型が存在する。ここではのノルムである。この写像はのフロベニウス自己同型と呼ばれる。これはの分解群を生成し、その位数は上のの慣性次数に等しい。(が分岐している場合、 は定義され、慣性部分群を法としてを生成する。${\displaystyle \sigma \in G}$${\displaystyle A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv \sigma (A){\bmod {\mathfrak {P}}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle \mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]:=\sigma }$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G|\sigma ({\mathfrak {P}})={\mathfrak {P}}\}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle f:=f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})=[{\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}:{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}]}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}}$

$${\displaystyle I_{\mathfrak {P}}=\{\sigma \in G|\sigma (A)\equiv A{\bmod {\mathfrak {P}}}{\text{ for all }}A\in {\mathcal {O}}_{F}\}=\ker(D_{\mathfrak {P}}\to \mathrm {Gal} ({\mathcal {O}}_{F}/{\mathfrak {P}}|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}))}$$

の位数は上の の分岐指数 である。を割り切るの他の任意の素イデアルはのある の形をとる。そのフロベニウス自己同型は次のように与えられる。 ${\displaystyle e({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \tau ({\mathfrak {P}})}$${\displaystyle \tau \in G}$

$${\displaystyle \left[{\frac {F/K}{\tau ({\mathfrak {P}})}}\right]=\tau \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1},}$$

以来

$${\displaystyle \tau (A)^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv (\tau \sigma \tau ^{-1})(\tau (A)){\bmod {\tau ({\mathfrak {P}})}}}$$

であり、したがってその分解群はと共役である。この一般的な状況では、アルティン記号は写像である。 ${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle D_{\tau ({\mathfrak {P}})}=\tau D_{\mathfrak {P}}\tau ^{-1}}$${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}}$

$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right):=\left.\left\{\tau \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\tau ^{-1}\right|\tau \in G\right\}}$$

これは、自己同型の共役類全体を任意の非分岐素イデアルに関連付け、 が完全にで分解される場合に限り、が成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\nmid {\mathfrak {d}}}$${\textstyle \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=1}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle F}$

が相対ガロア群 を持つ中間体である場合、（ただしは上記のようにで不分岐）の での因数分解を次のようにでの因数分解から構成できるため、準同型および についてのより正確な記述が可能になります。 ^{[1] [2]}上の素イデアルは、左剰余類の-集合と同変単射であり、 は剰余類 に対応します。上のすべての素イデアルに対して、ガロア群は上の素イデアルの集合に推移的に作用するため、このようなイデアルは、 の左乗法によるへの作用の軌道と単射です。このような軌道は、さらに、二重剰余類と単射です。をこれらの二重剰余類の代表の完全なシステムとすると、 になります。さらに、の左剰余類の集合への作用における剰余類の軌道をで左乗法で表し、の右剰余類の集合への作用における剰余類の軌道をで右乗法で表します。次に、を として因数分解します。ここで、の素イデアルはの任意の代表システム上で実行される積を満たし、の上にある素イデアルです。 ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq F}$${\displaystyle H=\mathrm {Gal} (F/L)\leq G}$${\displaystyle \iota _{L/K}}$${\displaystyle j_{L/K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle \tau ({\mathfrak {P}})}$${\displaystyle \tau D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle H\backslash G/D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle (\tau _{1},\ldots ,\tau _{g})}$${\displaystyle G={\dot {\cup }}_{i=1}^{g}\,H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle H\tau _{i}}$${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle H\backslash G}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\textstyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}\in \mathbb {P} _{L}}$${\displaystyle 1\leq i\leq g}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$${\textstyle {\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {O}}_{F}=\prod _{\varrho }\varrho ({\mathfrak {P}})}$${\displaystyle H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$

我々は持っています

$${\displaystyle \#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\mathfrak {P}}=\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})\cdot \#H.}$$

を 上の の分解群とします。すると は の上の作用におけるの安定群なので​​、軌道安定定理によりが成り立ちます。一方 は であり、これらを合わせると ${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle \tau _{i}({\mathfrak {P}})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle D_{i}=H\cap D_{\tau _{i}({\mathfrak {P}})}}$${\displaystyle \tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/D_{\mathfrak {P}}}$${\displaystyle \#D_{i}=\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})}$${\displaystyle \#D_{i}=f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})}$

$${\displaystyle f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})={\frac {f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {p}})}{f(\tau _{i}({\mathfrak {P}})|{\mathfrak {q}}_{i})}}={\frac {f({\mathfrak {P}}|{\mathfrak {p}})}{\#D_{i}}}={\frac {\#D_{\mathfrak {P}}}{\#H/\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})}}={\frac {\#(H\cdot \tau _{i}D_{\mathfrak {P}})\cdot \#D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}={\frac {\#H\tau _{i}D_{\mathfrak {P}}}{\#H}}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}}).}$$

言い換えれば、慣性次数は、右乗法による右剰余類の集合への の作用における剰余類の軌道のサイズに等しい。逆をとると、これは、左乗法による左剰余類の集合へのの作用における剰余類の軌道のサイズに等しい。また、の上の素イデアルはこの作用の軌道に対応している。 ${\displaystyle f_{i}:=f({\mathfrak {q}}_{i}|{\mathfrak {p}})}$${\displaystyle H\tau _{i}}$${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$${\displaystyle H\backslash G}$${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H}$${\displaystyle \tau _{i}^{-1}H}$${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

その結果、理想的な埋め込みは で与えられ、クラス拡張は で与えられる。 ${\textstyle \iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$

$${\displaystyle j_{L/K}({\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}_{K})=({\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}){\mathcal {H}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}{\mathcal {H}}_{L}.}$$

ここでさらに、がアーベル拡大、つまり がアーベル群であると仮定します。すると、 上にある の素イデアルのすべての共役分解群は一致するため、任意の に対してとなり、アルティン記号は任意の のフロベニウス自己同型に等しくなり、すべての および任意の に対して となります。 ${\displaystyle F/K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle D_{\mathfrak {p}}:=D_{\tau ({\mathfrak {P}})}}$${\displaystyle \tau \in G}$${\textstyle \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}}$${\textstyle A^{\mathrm {N} ({\mathfrak {p}})}\equiv \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)(A){\bmod {\mathfrak {P}}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {O}}_{F}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}\mid {\mathfrak {p}}}$

類体理論^[3]によれば、 アーベル拡大はと を法とする射線の間の中間群に一意に対応する。ここで は相対導体を表す（は と同じ素イデアルで割り切れる）。アルティン記号 ${\displaystyle F/K}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {f}}}\leq {\mathcal {H}}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}={\mathfrak {f}}_{0}{\mathfrak {f}}_{\infty }={\mathfrak {f}}(F/K)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {P} _{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\mathfrak {p}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)\end{cases}}}$$

のフロベニウス自己同型をの非分岐な各素イデアルに関連付ける。これは乗法的に全射準同型に拡張できる。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})\to G\\{\mathfrak {a}}=\prod {\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right):=\prod \left({\frac {F/K}{\mathfrak {p}}}\right)^{v_{\mathfrak {p}}({\mathfrak {a}})}\end{cases}}}$$

核（ここで はを意味する）はアルティン写像と呼ばれ、同型写像を誘導する。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {f}}}\cdot \mathrm {N} _{F/K}({\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}))}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{F}({\mathfrak {f}}_{0}{\mathcal {O}}_{F})}$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}\to G=\mathrm {Gal} (F/K)\\{\mathfrak {a}}{\mathcal {H}}\mapsto \left({\frac {F/K}{\mathfrak {a}}}\right)\end{cases}}}$$

一般化イデアル類群のガロア群への同型性。この明示的な同型性はアルティンの相互法則または一般相互法則と呼ばれる。^[4]${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {f}})/{\mathcal {H}}}$${\displaystyle G}$

この相互法則により、アルティンは、次のシナリオに基づいて、数体に対する一般主化問題を数論から群論に翻訳することができました。 を自己同型群 を持つ代数的数体のガロア拡大とします。 を相対群 を持つ中間体と仮定し、を の範囲内での の最大アーベル部分拡大とします。すると、対応する相対群はそれぞれ交換子部分群、です。類体理論により、アルティン写像が同型を確立する 中間群およびが存在し、${\displaystyle K\subseteq L\subseteq F}$${\displaystyle F/K}$${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (F/K)}$${\displaystyle K\subseteq L\subseteq F}$${\displaystyle H=\mathrm {Gal} (F/L)\leq G}$${\displaystyle K'/K,L'/L}$${\displaystyle K,L}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G'=\mathrm {Gal} (F/K')\leq G}$${\displaystyle H'=\mathrm {Gal} (F/L')\leq H}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{K,{\mathfrak {m}}_{K}}\leq {\mathcal {H}}_{K}\leq {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{L,{\mathfrak {m}}_{L}}\leq {\mathcal {H}}_{L}\leq {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to \mathrm {Gal} (K'/K)\simeq G/G'\\&\left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right):{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L}\to \mathrm {Gal} (L'/L)\simeq H/H'\end{aligned}}}$$

ここで、はそれぞれ で割り切れる法、 はそれぞれ を割り切るすべての素数で割り切れる法であることを意味します。 ${\displaystyle {\mathfrak {d}}={\mathfrak {d}}(F/K),{\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K},{\mathfrak {m}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(K'/K),{\mathfrak {f}}(L'/L)}$${\displaystyle {\mathfrak {d}},{\mathfrak {d}}{\mathcal {O}}_{L}}$

理想的な拡大準同型、誘導アルティン転移、およびこれらのアルティン写像は、次の式で結びついている。 ${\displaystyle \iota _{L/K}:\,{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}}$

$${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right)\circ \iota _{L/K}.}$$

はを割り切れないの素イデアルによって生成されるので、これらの生成元でこの等式を検証すれば十分です。したがって、 がを割り切れないの素イデアルであるとし、が上にあるの素イデアルであるとします。一方で、イデアル拡大準同型は、基本体のイデアルを体 の拡大イデアルに写し、体のアルティン写像は、この素イデアルの積をフロベニウス自己同型の共役の積に写します。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \mathbb {P} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle {\mathfrak {P}}\in \mathbb {P} _{F}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \iota _{L/K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \iota _{L/K}({\mathfrak {p}})={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}=\prod _{i=1}^{g}{\mathfrak {q}}_{i}}$${\displaystyle L}$${\textstyle \left({\frac {L'/L}{\cdot }}\right)}$${\displaystyle L}$

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{g}\left({\frac {L'/L}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=\prod _{i=1}^{g}\left[{\frac {F/L}{\tau _{i}({\mathfrak {P}})}}\right]\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/L}{\mathfrak {P}}}\right]\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H',}$$

ここで、ここで使用される二重剰余類分解とその代表は、前々節で使用したのと同じである。一方、基底体のアルティン写像は、イデアルをフロベニウス自己同型に写像する。-組は、二重剰余類の代表のシステムであり、左乗法による左剰余類の集合への作用の軌道に対応し、この作用における剰余類の軌道のサイズに等しい。したがって、誘導アルティン転送は、積に写像される。 ${\textstyle \left({\frac {K'/K}{\cdot }}\right)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\textstyle \left({\frac {K'/K}{\mathfrak {p}}}\right)=\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\tau _{1}^{-1},\ldots ,\tau _{g}^{-1})}$${\displaystyle D_{\mathfrak {P}}\backslash G/H}$${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle f_{i}=\#(H\tau _{i}\cdot D_{\mathfrak {P}})=\#(D_{\mathfrak {P}}\cdot \tau _{i}^{-1}H)}$${\displaystyle \tau _{i}^{-1}H}$${\textstyle \left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'}$

$${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\cdot G'\right)=T_{G,H}\left(\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]\right)=\prod _{i=1}^{g}(\tau _{i}^{-1})^{-1}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{g}\tau _{i}\left[{\frac {F/K}{\mathfrak {P}}}\right]^{f_{i}}\tau _{i}^{-1}\cdot H'.}$$

この積表現はアルティン転送準同型の元の形であり、置換表現を互いに素なサイクルに分解したものに相当する。^[5]

アルティン写像との核はそれぞれとなので、前の式は を意味します。したがって、類拡張準同型が存在し、と誘導アルティン転送は、アルティン写像によって誘導される同型を介して図 1 の可換図で接続されます。つまり、2 つの合成 の等式が成り立ちます。^{[3] [6]}${\displaystyle \left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {L'/L}{\cdot }}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{L}}$${\displaystyle \iota _{L/K}({\mathcal {H}}_{K})\subseteq {\mathcal {H}}_{L}}$${\displaystyle j_{L/K}:{\mathcal {I}}_{K}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{K}\to {\mathcal {I}}_{L}({\mathfrak {d}})/{\mathcal {H}}_{L}}$${\displaystyle j_{L/K}}$${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}}$${\displaystyle {\tilde {T}}_{G,H}\circ \left({\tfrac {K'/K}{\cdot }}\right)=\left({\tfrac {L'/L}{\cdot }}\right)\circ j_{L/K}}$

前のセクションの可換図は、数論的類拡大準同型と群論的アルティン転送 を結び付けており、これにより、が の (最初の) ヒルベルト類体、 が の最大アーベル不分岐拡大、が の2 番目のヒルベルト類体、 がの最大メタベル不分岐拡大 (および の最大アーベル不分岐拡大) であるという状況に特殊化することで、フルトヴェングラーは主イデアル定理を証明することができました。すると、 とは の交換子部分群です。より正確には、フルトヴェングラーは、一般に有限メタベル群からその導来部分群へのアルティン転送は自明な準同型であることを示しました。実際、 がメタベルでなくてもこれは当てはまります。を で置き換えることでメタベルの場合に簡約できるからです。また、が有限生成で である限り、無限群に対しても成り立ちます。したがって、 のすべてのイデアルはの主イデアルに拡張されます。 ${\displaystyle j_{L/K}}$${\displaystyle T_{G,H}}$${\displaystyle L=F^{1}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F=F^{2}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F^{1}(K)}$${\displaystyle K'=L,L'=F,{\mathfrak {d}}={\mathcal {O}}_{K},{\mathcal {H}}_{K}={\mathcal {P}}_{K},{\mathcal {H}}_{L}={\mathcal {P}}_{L}}$${\displaystyle H=G'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle T_{G,G'}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G''}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [G:G']<\infty }$${\displaystyle K}$${\displaystyle F^{1}(K)}$

しかし、可換図には、より洗練された多くの応用の可能性が含まれています。 が素数で、が の2 番目のヒルベルト p 級体、つまり の次数 a の最大メタベル非分岐拡大であり、 のべき乗がとその最初のヒルベルト p 級体間の中間体上で変化し、それに応じてと間の中間群上で変化する状況では、すべてのプリンシパル化カーネルとすべてのp 級群の計算は、アルティン転送のカーネルとターゲットに関する情報に変換され、パターン認識を介しての2 番目の p 級群の正確な指定が可能になり、のp 級体タワー全体、つまり の最大非分岐pro- p拡大のガロア群についての結論を導き出すことさえ頻繁に可能になります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle F=F_{p}^{2}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p,L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F_{p}^{1}(K)}$${\displaystyle H=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/L)\leq G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/K)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle \ker(j_{L/K})}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p}(L)}$${\displaystyle \ker(T_{G,H})}$${\displaystyle H/H'}$${\displaystyle T_{G,H}}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)/K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)/K)}$${\displaystyle F_{p}^{\infty }(K)}$${\displaystyle K}$

これらのアイデアは、1934 年の A. Scholz と O. Taussky の論文ですでに明示されています。^[7]これらの初期段階では、パターン認識は、消滅イデアル、または記号順序、およびメタベルp群のシュライアー関係を指定し、続いてO. Schreier による群拡張の一意性定理を使用することから構成されていました。 ^[8] 現在では、MF Newman ^[9] と EA O'Brien ^[10]のp群生成アルゴリズムを使用して、 p群の子孫ツリー を構築し、これらのツリーの頂点間で、カーネルと Artin 転送のターゲットによって定義されるパターンを検索します。

1897 年の整数レポートの素数次数体の巡回拡大に関する章で、D. ヒルベルト^{[2] は} 、類体理論の原型である定理 94 に至る一連の重要な定理を証明しています。今日、これらの定理は、現在ガロアコホモロジーと呼ばれているものの始まりと見なすことができます。ヒルベルトは、相対次数 に対して となる自己同型によって生成される巡回ガロア群を持つ代数数体の有限相対拡大について考察します。このとき、 は奇数の素数であると仮定されます。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (L/K)=\langle \sigma \rangle }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ^{\ell }=1}$${\displaystyle \ell =[L:K]}$

彼は、拡大体の単位群の2つの自己準同型性を、群 に関するガロア加群、簡単に言えば-加群として考察した。最初の自己準同型性は ${\displaystyle U=U_{L}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\Delta :U\to U\\E\mapsto E^{\sigma -1}:=\sigma (E)/E\end{cases}}}$$