文字（数学）

数学において、キャラクターとは（最も一般的には）グループから体への特殊な種類の関数（複素数など）である。少なくとも2つの異なるが重複する意味がある。^{[1] 「キャラクター」}という単語の他の用法は、ほとんどの場合修飾語が付く。

群G上の乗法指標(または線型指標、あるいは単に指標) は、 Gから体 (Artin 1966) の乗法群(通常は複素数体 )への群準同型です。Gが任意の群である場合、これらの射の集合 Ch( G ) は点ごとの乗法の下で アーベル群を形成します。

この群はGの指標群と呼ばれる。単位指標のみが考慮されることもある（したがって像は単位円内にある）。その他のそのような準同型は準指標と呼ばれる。ディリクレ指標はこの定義の特殊なケースとみなすことができる。

乗法的指標は線形独立です。つまり、 がグループG上の異なる指標である場合、が成り立ちます。 ${\displaystyle \chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}}$${\displaystyle a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0}$${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0}$

体F上の有限次元ベクトル空間V上の群Gの表現 の指標は 、表現の跡である（Serre 1977）、すなわち ${\displaystyle \chi :G\to F}$ ${\displaystyle \phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))}$のために${\displaystyle g\in G}$

一般に、トレースは群準同型ではなく、トレースの集合は群を形成しません。1 次元表現の文字は 1 次元表現と同一であるため、上記の乗法文字の概念は、高次元文字の特殊なケースと見なすことができます。文字を使用した表現の研究は「文字理論」と呼ばれ、1 次元文字はこの文脈では「線形文字」とも呼ばれます。

表現が(つまり) である有限アーベル群に制限される場合、次の代替定義は上記と同等になります (アーベル群の場合、すべての行列表現は表現の直和に分解されます。非アーベル群の場合、元の定義はこれよりも一般的になります)。 ${\displaystyle 1\times 1}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 1\times 1}$

群の指標は群準同型であり、すなわちすべての${\displaystyle \chi}$${\displaystyle (G,\cdot )}$${\displaystyle \chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)}$${\displaystyle x,y\in G.}$

が有限アーベル群の場合、文字は調和関数の役割を果たします。無限アーベル群の場合、上記は に置き換えられます。ここで、 は円群です。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {T} }$

• キャラクターグループ
• ディリクレ特性
• ハリシュ・チャンドラのキャラクター
• ヘッケのキャラクター
• 微小文字
• 交互文字
• 特性評価（数学）
• ポントリャーギンの二重性

• アルティン、エミール（1966）、ガロア理論、ノートルダム数学講義、第2号、アーサー・ノートン・ミルグラム（再版ドーバー出版、1997年）、ISBN 978-0-486-62342-9 ノートルダム大学での講義
• セール、ジャン＝ピエール（1977）「有限群の線型表現」、大学院数学テキスト、第42巻、フランス語版第2版からレナード・L・スコットによる翻訳、ニューヨーク・ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラグ、doi：10.1007/978-1-4684-9458-7、ISBN 0-387-90190-6、MR  0450380

• 「群の性格」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]