アルティン転移（群論）

数学の分野である群論において、アルティン転送は、任意の有限群または無限群から有限指数の部分群の交換子商群への特定の準同型である。もともと、このような写像は、アルティンの相互写像をイデアル類群に適用し、結果として生じるガロア群の商間の準同型を解析することにより、代数的数体のアーベル拡大の類拡大準同型の群論的対応物として生じた。しかし、数論的応用とは独立して、アルティン転送の核とターゲット上の半順序が、子孫ツリーで視覚化できる有限p群（素数pを持つ）間の親子孫関係と互換性があることが最近判明した。したがって、アルティン転送は、有限p群の分類や、アルティン転送の核とターゲットによって定義されるパターンを探すことで子孫ツリー内の特定のグループを検索および識別するための貴重なツールを提供します。これらのパターン認識戦略は、純粋に群論的な文脈だけでなく、高次のpクラス体のガロア群やヒルベルトpクラス体タワーに関する代数的整数論への応用にも役立ちます。

を群とし、を有限指数の部分群とする。${\displaystyle G}$${\displaystyle H\leq G}$${\displaystyle n.}$

定義。^[1]の左横断とは、の左剰余類の代表の順序付けられた体系であり、 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.}$

同様に、の右横断は、 の右剰余類の代表の順序付けられた体系であり、 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hd_{i}.}$

注意：におけるの任意の横断に対して、 、それぞれとなる一意の添え字が存在します。もちろん、主剰余類（すなわち、部分群自体）を表す添え字を持つこの要素は、中立要素 に置き換えることができますが、必ずしも置き換える必要はありません。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 1\leq i_{0}\leq n}$${\displaystyle g_{i_{0}}\in H}$${\displaystyle d_{i_{0}}\in H}$${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 1}$

補題^{[2] を}部分群 を持つ非可換群とする。このとき、における の左横断の逆元はにおけるの右横断を形成する。さらに、が の正規部分群である場合、任意の左横断はにおけるの右横断でもある。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

証明。写像はの反転なので、次のことがわかります。 ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=G^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}(g_{i}H)^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}H^{-1}g_{i}^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hg_{i}^{-1}.}$

正規部分群の場合、各 に対して が成り立ちます。${\displaystyle H}$${\displaystyle xH=Hx}$${\displaystyle x\in G}$

準同型による横断線の像が横断線でもあるかどうかをチェックする必要があります。

命題。を群準同型とし、 を有限指数を持つの部分群の左横断とします。次の 2 つの条件は同値です。 ${\displaystyle \phi :G\to K}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n.}$

• ${\displaystyle (\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))}$は有限指数を持つ像の部分群の左横断である${\displaystyle \phi (H)}$${\displaystyle \phi (G)}$${\displaystyle (\phi (G):\phi (H))=n.}$
• ${\displaystyle \ker(\phi )\leq H.}$

証明。集合のマッピングは和集合を別の和集合にマッピングします。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (G)=\phi \left(\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}H\right)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i}H)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),}$

しかし、共通部分の等式は自明な包含に弱まります。

${\displaystyle \emptyset =\phi (\emptyset )=\phi (g_{i}H\cap g_{j}H)\subseteq \phi (g_{i}H)\cap \phi (g_{j}H)=\phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H),\qquad i\neq j.}$

ある場合を仮定します: ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$

${\displaystyle \phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H)\neq \emptyset }$

すると、次のような 要素が存在する。${\displaystyle h_{i},h_{j}\in H}$

${\displaystyle \phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})}$

次に次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})&\Longrightarrow \phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{i})\phi (h_{i})\phi (h_{j})^{-1}=1\\&\Longrightarrow \phi \left(g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\right)=1\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in H&&\ker(\phi )\leq H\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}\in H&&h_{i}h_{j}^{-1}\in H\\&\Longrightarrow g_{i}H=g_{j}H\\&\Longrightarrow i=j\end{aligned}}}$

逆に、 が存在する場合、しかし準同型写像は、分離した剰余類を等しい剰余類に写像します。 ${\displaystyle \ker(\phi )\nsubseteq H}$${\displaystyle x\in G\setminus H}$${\displaystyle \phi (x)=1.}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x\cdot H\cap 1\cdot H=\emptyset }$

${\displaystyle \phi (x)\phi (H)\cap \phi (1)\phi (H)=1\cdot \phi (H)\cap 1\cdot \phi (H)=\phi (H).}$

注意:我々は、次の式における命題の重要な同等性を強調します。

${\displaystyle (1)\quad \ker(\phi )\leq H\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}\phi (G)=\bigsqcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H)\\(\phi (G):\phi (H))=n\end{cases}}}$

が群 の有限指数の部分群の左横断であるとします。固定された元は、左乗算によっての左剰余類の一意の置換を生じ、次のようになります。 ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle \pi _{x}\in S_{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (2)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H\Longrightarrow xg_{i}\in g_{\pi _{x}(i)}H.}$

これを用いて、に関して に関連付けられた単項式と呼ばれる要素の集合を定義します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.}$

同様に、 がにおけるの右横断である場合、固定された元は、における の右剰余類の右乗法による一意の順列を生じ、次のようになります。 ${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle \rho _{x}\in S_{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (3)\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad Hd_{i}x=Hd_{\rho _{x}(i)}\Longrightarrow d_{i}x\in Hd_{\rho _{x}(i)}.}$

そして、に関して に関連付けられた単項式を定義します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.}$

定義。^[1]マッピング：

${\displaystyle {\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \rho _{x}\end{cases}}}$

はそれぞれ、およびに関する対称群におけるの置換表現と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$

定義。^[1]マッピング：

${\displaystyle {\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}\qquad {\begin{cases}G\to H^{n}\times S_{n}\\x\mapsto (w_{x}(1),\ldots ,w_{x}(n);\rho _{x})\end{cases}}}$

はそれぞれ、およびに関するの単項式表現と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H^{n}\times S_{n}}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$

補題。左横断線 に関連付けられた右横断線 については、元 に対応する単項式と順列の間に次の関係があります。 ${\displaystyle (g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle (4)\quad {\begin{cases}w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}&1\leq i\leq n\\\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}\end{cases}}}$

証明。右横断線 については、各 に対して が成り立ちます。一方、左横断線 については、${\displaystyle (g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})}$${\displaystyle w_{x}(i)=g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i)^{-1}=\left(g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\right)^{-1}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\pi _{x}(i)}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\rho _{x^{-1}}(i)}=w_{x^{-1}}(i).}$

この関係は、同時に、任意の に対して、置換表現と関連する単項式が、各 に対しておよびで接続されていることを示しています。${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle \rho _{x^{-1}}=\pi _{x}}$${\displaystyle w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

定義。^{[2] [3]}を有限指数の群と部分群とし、を対応する置換表現を持つの左横断とする。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle (g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi _{x}:G\to S_{n},}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.}$

同様に、の右横断とそれに関連する置換表現を次のように定義する。 ${\displaystyle (d)=(d_{1},\ldots ,d_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho _{x}:G\to S_{n}}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\in H.}$

に対するアルティン転送は 次のように定義されます。 ${\displaystyle T_{G,H}^{(g)}:G\to H/H'}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$

${\displaystyle (5)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(g)}(x):=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'.}$

同様に次のように定義します。

${\displaystyle (6)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(d)}(x):=\prod _{i=1}^{n}d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'.}$

注釈。アイザックス^[4]は、マッピングを

${\displaystyle {\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\end{cases}}\qquad {\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\end{cases}}}$

からへの事前転送。事前転送はから への準同型写像とアーベル群に合成することができ、ゴレンシュタインの著書に登場するからへのを介した転送のより一般的なバージョンを定義する。 ^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \phi :H\to A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (u_{x}(i))\end{cases}}\qquad {\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (w_{x}(i))\end{cases}}}$

自然なエピモルフィズムをとる

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :H\to H/H'\\v\mapsto vH'\end{cases}}}$

^{は、Schur [2]}とEmil Artin ^[3]による元の形式のArtin転送 の前述の定義をもたらし、これはHasse ^{[6]によって}Verlagerungとも呼ばれています。一般に、事前転送は横断的準同型や群準同型とは独立ではないことに注意してください。 ${\displaystyle T_{G,H}}$

命題。^{[1] [2] [4] [5] [7] [8] [9]}の任意の2つの左横断線に関するアルティン転送は一致する。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

証明。および を におけるの 2 つの左横断とします。このとき、次のような一意の順列が存在します。${\displaystyle (\ell )=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})}$${\displaystyle (g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad g_{i}H=\ell _{\sigma (i)}H.}$

その結果：

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},\exists h_{i}\in H:\qquad g_{i}h_{i}=\ell _{\sigma (i)}.}$

固定された要素に対して、次のような一意の順列が存在する。${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle \lambda _{x}\in S_{n}}$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad \ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}H=x\ell _{\sigma (i)}H=xg_{i}h_{i}H=xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H=g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}H=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}H.}$

したがって、に対するの順列表現は次のように与えられ、次の式が得られます。さらに、2 つの要素間の接続については次の式が得られます。${\displaystyle G}$${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})}$${\displaystyle \lambda _{x}\circ \sigma =\sigma \circ \pi _{x}}$${\displaystyle \lambda _{x}=\sigma \circ \pi _{x}\circ \sigma ^{-1}\in S_{n}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}(i)&:=\ell _{\lambda _{x}(i)}^{-1}x\ell _{i}\in H\\u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H\end{aligned}}}$

我々は持っています：

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad v_{x}(\sigma (i))=\ell _{\lambda _{x}(\sigma (i))}^{-1}x\ell _{\sigma (i)}=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}^{-1}xg_{i}h_{i}=\left(g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}.}$

最後に、はアーベルであり、およびは順列であるため、アルティン転送は左横断とは独立であることがわかります。${\displaystyle H/H'}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \pi _{x}}$

${\displaystyle T_{G,H}^{(\ell )}(x)=\prod _{i=1}^{n}v_{x}(\sigma (i))\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}\prod _{i=1}^{n}h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot 1\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'=T_{G,H}^{(g)}(x),}$

式（５）で定義される。

命題。の任意の2 つの右横断線に関するアルティン転送は一致する。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

証明。前の命題と同様です。

命題。アルティンは、に関して転送し、一致します。 ${\displaystyle (g^{-1})=(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})}$${\displaystyle (g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})}$

証明。式(4)を使用し、アーベル関数とすると次の式が得られます。${\displaystyle H/H'}$

${\displaystyle T_{G,H}^{(g^{-1})}(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)^{-1}\cdot H'=\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)\cdot H'\right)^{-1}=\left(T_{G,H}^{(g)}\left(x^{-1}\right)\right)^{-1}=T_{G,H}^{(g)}(x).}$

最後のステップは、アルティン転送が準同型であるという事実によって正当化されます。これは次のセクションで示されます。

系。アルティン転送は横断線の選択とは無関係であり、とのみに依存します。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

定理。^{[1] [2] [4] [5] [7] [8] [9]}をの左横断行列とする。アルティン転移 ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{cases}T_{G,H}:G\to H/H'\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\end{cases}}}$

そして順列表現は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{cases}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{cases}}}$

群準同型である:

${\displaystyle (7)\quad \forall x,y\in G:\qquad T_{G,H}(xy)=T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)\quad {\text{and}}\quad \pi _{xy}=\pi _{x}\circ \pi _{y}.}$

アルティン変換の準同型性を単項式表現で言い直すと分かりやすい。因子の像は次のように与えられる。 ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle T_{G,H}(x)=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\quad {\text{and}}\quad T_{G,H}(y)=\prod _{j=1}^{n}u_{y}(j)\cdot H'.}$

最後の校正では、製品のイメージは ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle T_{G,H}(xy)=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{n}u_{x}(\pi _{y}(j))\cdot u_{y}(j)\cdot H'}$、

これは非常に特異な構成法則であり、次のセクションで詳しく説明します。

この法則は、に対して という性質を持つ- 加群の最初のコホモロジー群の交差準同型写像を彷彿とさせます。 ${\displaystyle x\mapsto u_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {H} ^{1}(G,M)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u_{xy}=u_{x}^{y}\cdot u_{y}}$${\displaystyle x,y\in G}$

前の節で生じた特異な構造は、群の輪積として知られる特別な合成法則を直積に与え、集合に関して解釈することもできる。${\displaystyle H^{n}\times S_{n}}$ ${\displaystyle H\wr S_{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}.}$

定義。に対して、関連する単項式と順列の 輪積は次のように与えられる。${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle (8)\quad (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\cdot (u_{y}(1),\ldots ,u_{y}(n);\pi _{y}):=(u_{x}(\pi _{y}(1))\cdot u_{y}(1),\ldots ,u_{x}(\pi _{y}(n))\cdot u_{y}(n);\pi _{x}\circ \pi _{y})=(u_{xy}(1),\ldots ,u_{xy}(n);\pi _{xy}).}$

定理。^{[1] [7]}この単項式表現上の合成法則により、${\displaystyle H^{n}\times S_{n}}$

${\displaystyle {\begin{cases}G\to H\wr S_{n}\\x\mapsto (u_{x}(1),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x})\end{cases}}}$

は、単射準同型です。

注意：定理の単項式表現は、置換表現とは対照的であり、置換表現は、${\displaystyle |G|>n!.}$

注意： Huppert ^[1]はアルティン転移を定義するために単項式表現を使用しているが、我々は式(5)と(6)の直接的な定義を与え、単項式表現の助けを借りてアルティン転移の準同型性を 示すことを好む。

定理。^{[1] [7] が}入れ子になった部分群を持つ群で、およびであるとすると、アルティン転移は誘導転移とアルティン転移の合成物であり、次の式で表される。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle K\leq H\leq G}$${\displaystyle (G:H)=n,(H:K)=m}$${\displaystyle (G:K)=(G:H)\cdot (H:K)=nm<\infty .}$${\displaystyle T_{G,K}}$${\displaystyle {\tilde {T}}_{H,K}:H/H'\to K/K'}$${\displaystyle T_{G,H}}$

${\displaystyle (9)\quad T_{G,K}={\tilde {T}}_{H,K}\circ T_{G,H}}$。

最後に、単項式表現の構造的特異性を強調したい。

${\displaystyle {\begin{cases}G\to K^{n\cdot m}\times S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}}$

これはアルティン転送の合成に対応し、定義される

${\displaystyle k_{x}(i,j):=\left((gh)_{\gamma _{x}(i,j)}\right)^{-1}x(gh)_{(i,j)}\in K}$

順列 については、また、すべての添え字のペアについて記号表記法を使用すると、となります。 ${\displaystyle \gamma _{x}\in S_{n\cdot m}}$${\displaystyle (gh)_{(i,j)}:=g_{i}h_{j}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle 1\leq j\leq m}$

前述の証明は、

${\displaystyle k_{x}(i,j)=h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}.}$

したがって、セットに対する順列の作用は で与えられる。2番目の要素に対する作用は（順列 を介して）最初の要素に依存するが、最初の要素に対する作用は2番目の要素 とは独立している。したがって、順列は多重項と同一視できる 。${\displaystyle \gamma _{x}}$${\displaystyle [1,n]\times [1,m]}$${\displaystyle \gamma _{x}(i,j)=(\pi _{x}(i),\sigma _{u_{x}(i)}(j))}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \sigma _{u_{x}(i)}\in S_{m}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \gamma _{x}\in S_{n\cdot m}}$

${\displaystyle (\pi _{x};\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)})\in S_{n}\times S_{m}^{n},}$

これは次のセクションではねじれた形で記述されます。

単項式表現の2番目の要素として生じた順列${\displaystyle \gamma _{x}}$

${\displaystyle {\begin{cases}G\to K\wr S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{cases}}}$

前のセクションで説明した安定子は非常に特殊なものです。これらは、対応する行列（長方形配列）の行への集合の自然な等分割の安定子に属します。前のセクションで説明したアルティン転送の合成の特殊性を利用して、この安定子が、基になる集合に次の合成法則が備わっている集合 に関して、対称群と の花輪積に同型であることを示します。 ${\displaystyle [1,n]\times [1,m]}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{m}\wr S_{n}}$${\displaystyle S_{m}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle S_{m}^{n}\times S_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(10)\quad \forall x,z\in G:\qquad \gamma _{x}\cdot \gamma _{z}&=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\cdot (\sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{z}(n)};\pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(1))}\circ \sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(n))}\circ \sigma _{u_{z}(n)};\pi _{x}\circ \pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{xz}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{xz}(n)};\pi _{xz})\\&=\gamma _{xz}\end{aligned}}}$

この法則は、微分可能関数の合成と完全ノルム空間間のフレシェ微分に関する連鎖律 を思い起こさせます。 ${\displaystyle D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x)}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle g:F\to G}$

以上の考察から、3番目の表現である安定化表現が確立される。

${\displaystyle {\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto (\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}}$

群のリース積における表現は、置換表現や単項式表現に似ています。後者とは対照的に、安定化表現は一般に単射にはなり得ません。たとえば、が無限大の場合は、単射にはなりません。式 (10) は次の命題を証明しています。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S_{m}\wr S_{n}}$${\displaystyle G}$

定理。安定器表現

${\displaystyle {\begin{cases}G\to S_{m}\wr S_{n}\\x\mapsto \gamma _{x}=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{cases}}}$

対称群の花輪積における群の準同型性。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle S_{m}\wr S_{n}}$

を群内の有限指数の部分群の左横断とし、をそれに関連付けられた置換表現とします。 ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\mapsto \pi _{x}}$

定理。^{[1] [3] [4] [5] [8] [9]}順列が、長さの互いに素な（したがって可換な）サイクルに分解され、サイクルの順序を除いて一意であるとする。より明確には、 ${\displaystyle \pi _{x}}$${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{t}\in S_{n}}$${\displaystyle f_{1},\ldots f_{t},}$

${\displaystyle (11)\quad \left(g_{j}H,g_{\zeta _{j}(j)}H,g_{\zeta _{j}^{2}(j)}H,\ldots ,g_{\zeta _{j}^{f_{j}-1}(j)}H\right)=\left(g_{j}H,xg_{j}H,x^{2}g_{j}H,\ldots ,x^{f_{j}-1}g_{j}H\right),}$

に対して、そしてアルティン変換による の像は次のように与えられる。${\displaystyle 1\leq j\leq t}$${\displaystyle f_{1}+\cdots +f_{t}=n.}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle (12)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H'.}$

サイクル分解は、次の二重剰余類分解に対応する。 ${\displaystyle (\langle x\rangle ,H)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\langle x\rangle g_{j}H}$

この転移準同型のサイクル分解形式は、E.アルティンが1929年に発表した最初の論文で与えられたものである。^[3]

を群 における有限指数の正規部分群とします。すると、すべての に対してが成り立ち、位数 の商群が存在します。元 に対して、における剰余類の位数を で表し、における部分群の左横断を とします( ) 。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle xH=Hx}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle f:=\mathrm {ord} (xH)}$${\displaystyle xH}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{t})}$${\displaystyle \langle x,H\rangle }$${\displaystyle G}$${\displaystyle t=n/f}$

定理。アルティン転送によるの像は次のように表される。 ${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle T_{G,H}}$

${\displaystyle (14)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'}$。

帰結。特に、要素の内部転送は象徴的な力として与えられます。 ${\displaystyle x\in H}$

${\displaystyle (16)\quad T_{G,H}(x)=x^{\mathrm {Tr} _{G}(H)}\cdot H'}$

微量元素を含む

${\displaystyle (17)\quad \mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathbb {Z} [G]}$

記号指数としての inの。${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

もう一方の極端な例は、を生成する要素の外部転送、つまり です。 ${\displaystyle x\in G\setminus H}$${\displaystyle G/H}$${\displaystyle G=\langle x,H\rangle }$

それは単純に ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (18)\quad T_{G,H}(x)=x^{n}\cdot H'}$。

正規部分群への転送は、この記事の中心的な概念である、子孫ツリーに追加の構造を与えるアルティンパターンが、グループからと間の中間グループへのアルティン転送のターゲットとカーネルで構成されるため、続編で最も重要なケースになります。これらの中間グループについては、次の補題が成り立ちます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G'\leq H\leq G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$

補題。交換子部分群を含むすべての部分群は正規である。

最も単純な状況での Artin 転送の明示的な実装については、次のセクションで説明します。

を基本アーベル型 のアーベル化を持つp群とする。すると、 には指数の最大部分群が存在する。${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle p.}$

補題。この特定のケースでは、すべての最大部分群の交差として定義される Frattini 部分群は、交換子部分群と一致します。

証明。これを確認するには、交換子のアーベル型により、部分群にはすべてのp乗が含まれており、したがって となることに注意してください。 ${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle G'\supset G^{p},}$${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}\cdot G'=G'}$

各 に対して、 をアルティン転送準同型とする。バーンサイドの基底定理によれば、群はとなる2つの元によって生成される。正規群でもある各最大部分群 に対して、に関する生成元と、となる 横断線の生成元が必要である。${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$${\displaystyle T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle x^{p},y^{p}\in G'.}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle (1,t_{i},t_{i}^{2},\ldots ,t_{i}^{p-1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{i}&=\langle h_{i},G'\rangle \\G&=\langle t_{i},H_{i}\rangle =\bigsqcup _{j=0}^{p-1}t_{i}^{j}H_{i}\end{aligned}}}$

便利な選択肢は

${\displaystyle (19)\quad {\begin{cases}h_{1}=y\\t_{1}=x\\h_{i}=xy^{i-2}&2\leq i\leq p+1\\t_{i}=y&2\leq i\leq p+1\end{cases}}}$

次に、それぞれについて式(16)と式(18)を使用して内部転送と外部転送を実装します。 ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(20)\quad T_{i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\cdots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=h_{i}\cdot \left(t_{i}^{-1}h_{i}t_{i}\right)\cdot \left(t_{i}^{-2}h_{i}t_{i}^{2}\right)\cdots \left(t_{i}^{-p+1}h_{i}t_{i}^{p-1}\right)\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(21)\quad T_{i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}}$、

その理由は、${\displaystyle G/H_{i},}$ ${\displaystyle \mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1}$${\displaystyle \mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p.}$

アルティン転送の完全な指定には、導出部分群の明示的な知識も必要となる。は の指数の正規部分群であるため、 ^[10]によってある種の一般的な還元が可能であるが、 の生成元を決定するには の表現を知る必要がある。 ${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle H_{i}'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle H_{i}'=[H_{i},H_{i}]=[G',H_{i}]=(G')^{h_{i}-1},}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'=\langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle }$

${\displaystyle (22)\quad H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}=\langle [s_{1},h_{i}],\ldots ,[s_{n},h_{i}]\rangle .}$

を非基本アーベル型 のアーベル化を持つp群とします。すると、 にはインデックス の極大部分群とインデックス の部分群が存在します。各 について、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle (p^{2},p)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$${\displaystyle p^{2}.}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,p+1\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{1,i}:G&\to H_{i}/H_{i}'\\T_{2,i}:G&\to U_{i}/U_{i}'\end{aligned}}}$

はアルティンの転送準同型である。バーンサイドの基底定理は、群が2つの元によって生成され、${\displaystyle G}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle x^{p^{2}},y^{p}\in G'.}$

まず、サブグループの最初の層について考えます。正規サブグループのそれぞれに対して、生成元を選択します。 ${\displaystyle H_{i}}$

${\displaystyle (23)\quad h_{i}=xy^{i-1}}$

となる。これらは因子群がの順序で巡回している場合である。しかし、因子群がの型で双巡回である、区別された最大部分群の場合、2 つの生成子が必要である。 ${\displaystyle H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle }$${\displaystyle H_{i}/G'}$${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle H_{p+1}}$${\displaystyle H_{p+1}/G'}$${\displaystyle (p,p)}$

${\displaystyle (24)\quad {\begin{cases}h_{p+1}=y\\h_{0}=x^{p}\end{cases}}}$

となる。さらに、横断線の生成元は、各 に対して となるように与えられなければならない。定義すると便利である。 ${\displaystyle H_{p+1}=\langle h_{p+1},h_{0},G'\rangle }$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle G=\langle t_{i},H_{i}\rangle }$${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$

${\displaystyle (25)\quad {\begin{cases}t_{i}=y&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\end{cases}}}$

次に、各 に対して、内部転送と外部転送が存在します。 ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(26)\quad T_{1,i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(27)\quad T_{1,i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aligned}}}$

および以来。 ${\displaystyle \mathrm {ord} (h_{i}H_{i})=1}$${\displaystyle \mathrm {ord} (t_{i}H_{i})=p}$

次に、第2層のサブグループについて考えてみましょう。正規サブグループのそれぞれについて、生成元を選択します。 ${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle (28)\quad {\begin{cases}u_{1}=y\\u_{i}=x^{p}y^{i-1}&2\leq i\leq p\\u_{p+1}=x^{p}\end{cases}}}$

となる。これらの部分群の中で、フラッティーニ部分群は特に際立っている。となる横断線の生成元を定義する統一的な方法は、次のように設定することである。 ${\displaystyle U_{i}=\langle u_{i},G'\rangle }$${\displaystyle U_{p+1}=\langle x^{p},G'\rangle =G^{p}\cdot G'}$${\displaystyle t_{i},w_{i}}$${\displaystyle G=\langle t_{i},w_{i},U_{i}\rangle }$

${\displaystyle (29)\quad {\begin{cases}t_{i}=x&1\leq i\leq p\\w_{i}=x^{p}&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\\w_{p+1}=y\end{cases}}}$

であるが、一方で であり であるため、という唯一の例外を除いて、内部転送と外部転送について次の式が得られる。 ${\displaystyle \mathrm {ord} (u_{i}U_{i})=1}$${\displaystyle \mathrm {ord} (t_{i}U_{i})=p^{2}}$${\displaystyle \mathrm {ord} (w_{i}U_{i})=p}$${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$${\displaystyle \mathrm {ord} (t_{p+1}U_{p+1})=p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(30)\quad T_{2,i}(u_{i})&=u_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(U_{i})}\cdot U_{i}'=u_{i}^{\sum _{j=0}^{p-1}\sum _{k=0}^{p-1}w_{i}^{j}t_{i}^{k}}\cdot U_{i}'=\prod _{j=0}^{p-1}\prod _{k=0}^{p-1}(w_{i}^{j}t_{i}^{k})^{-1}u_{i}w_{i}^{j}t_{i}^{k}\cdot U_{i}'\\(31)\quad T_{2,i}(t_{i})&=t_{i}^{p^{2}}\cdot U_{i}'\end{aligned}}}$

例外的に

${\displaystyle {\begin{aligned}&(32)\quad T_{2,p+1}\left(t_{p+1}\right)=\left(t_{p+1}^{p}\right)^{1+w_{p+1}+w_{p+1}^{2}+\ldots +w_{p+1}^{p-1}}\cdot U_{p+1}'\\&(33)\quad T_{2,i}(w_{i})=\left(w_{i}^{p}\right)^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot U_{i}'&&1\leq i\leq p+1\end{aligned}}}$

アルティン転送の動作を完全に指定するには 、導出されたサブグループの構造を知っておく必要があります。${\displaystyle H_{i}'}$${\displaystyle U_{i}'}$

を有限アーベル化 を持つ群とします。は、 を含み、したがって必然的に正規である、有限のインデックス セット によって列挙されるすべての部分群の族を表すものとします。 各 に対して、からアーベル化 へのアルティン転送を とします。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle I}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle T_{i}:=T_{G,H_{i}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{i}/H_{i}'}$

定義。^[11]正規部分群の族はに関しての転送核型(TKT)と呼ばれ、アーベル化 (それぞれそのアーベル型不変量) の族はに関しての転送ターゲット型(TTT)と呼ばれます。どちらの族も多重項と呼ばれ、単一の成分は単項と呼ばれます。 ${\displaystyle \varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{i\in I}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \tau _{H}(G)=(H_{i}/H_{i}')_{i\in I}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$

これらの概念の重要な例を次の 2 つのセクションで示します。

を基本アーベル型 のアーベル化を持つp群とします。すると、 には指数 の極大部分群があります。 に対して、はアルティン転送準同型を表すものと します。${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,p+1\}}$${\displaystyle T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'}$

定義。正規部分群の族は、に関しての転送カーネル型(TKT)と呼ばれます。 ${\displaystyle \varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{1\leq i\leq p+1}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$

注意：簡潔にするために、TKTは多重項と同一視され、その整数成分は次のように与えられる。 ${\displaystyle (\varkappa (i))_{1\leq i\leq p+1}}$

${\displaystyle \varkappa (i)={\begin{cases}0&\ker(T_{i})=G\\j&\ker(T_{i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}}$

ここでは、転送ターゲットがアーベルであるため、各転送カーネルには の交換子部分群が含まれていなければならないことを考慮します。ただし、最小のケースは発生しません。 ${\displaystyle \ker(T_{i})}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{i}/H_{i}'}$${\displaystyle \ker(T_{i})=G'}$

注意：最大部分群と置換による転送の列挙により、に関する新しいTKTが生成され、 と同一視される。ここで、 ${\displaystyle K_{i}=H_{\pi (i)}}$${\displaystyle V_{i}=T_{\pi (i)}}$${\displaystyle \pi \in S_{p+1}}$${\displaystyle \lambda _{K}(G)=(\ker(V_{i}))_{1\leq i\leq p+1}}$${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{p+1}}$${\displaystyle (\lambda (i))_{1\leq i\leq p+1}}$

${\displaystyle \lambda (i)={\begin{cases}0&\ker(V_{i})=G\\j&\ker(V_{i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1\end{cases}}}$

TKTを同等と見なすのが適切である。 ${\displaystyle \lambda _{K}(G)\sim \varkappa _{H}(G)}$

${\displaystyle K_{\lambda (i)}=\ker(V_{i})=\ker(T_{\pi (i)})=H_{\varkappa (\pi (i))}=K_{{\tilde {\pi }}^{-1}(\varkappa (\pi (i)))},}$

との関係は で与えられる。したがって、 はからのすべての写像の集合に対する対称群の作用によるの軌道の別の表現であり、の拡張はで定義され、形式的には${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varkappa }$${\displaystyle \lambda ={\tilde {\pi }}^{-1}\circ \varkappa \circ \pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \varkappa ^{S_{p+1}}}$${\displaystyle \varkappa }$${\displaystyle (\pi ,\mu )\mapsto {\tilde {\pi }}^{-1}\circ \mu \circ \pi }$${\displaystyle S_{p+1}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\},}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}\in S_{p+2}}$${\displaystyle \pi \in S_{p+1}}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}(0)=0,}$${\displaystyle H_{0}=G,K_{0}=G.}$

定義。任意の代表の軌道はp群の不変量であり、その転送カーネル型、略して TKT と呼ばれます。 ${\displaystyle \varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p+1}}}$${\displaystyle \varkappa }$${\displaystyle G}$

注意。を全転送核のカウンタ と表記します。これは群 の不変量です。1980 年に、SM Chang と R. Foote ^[12]は、任意の奇数の素数と任意の整数 に対して、となるタイプのアーベル化を持つメタアーベルp群が存在することを証明しました。しかし、 に対して、となる最大類のメタアーベルである必要がある を持つ非アーベル-群は存在しません。を持つのは基本アーベル-群だけです。図 5 を参照してください。 ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G):=\#\{1\leq i\leq p+1\mid \varkappa (i)=0\}}$ ${\displaystyle \ker(T_{i})=G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0\leq n\leq p+1}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=n}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'\simeq (2,2)}$${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)\geq 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G=C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3}$

カウンターの以下の具体的な例、およびこの記事の残りの部分では、HU Besche、B. Eick、EA O'BrienによるSmallGroupsライブラリの有限p群の識別子を使用します。 ^{[13] [14]}${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)}$

については、 ${\displaystyle p=3}$

• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=0}$TKTの指数の特別なグループ（図6）の場合、${\displaystyle G=\langle 27,4\rangle }$${\displaystyle 9}$${\displaystyle \varkappa =(1111)}$
• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=1}$TKTを有する2つのグループ（図8および9）の場合、${\displaystyle G\in \{\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}}$${\displaystyle \varkappa \in \{(0122),(2034)\}}$
• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=2}$TKTのグループ（子孫ツリーに関する記事の図4 ）の場合、${\displaystyle G=\langle 243,3\rangle }$${\displaystyle \varkappa =(0043)}$
• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3}$TKT群（図6）の場合、${\displaystyle G=\langle 81,7\rangle }$${\displaystyle \varkappa =(2000)}$
• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=4}$TKT による指数の特別なグループの場合(図 6)。${\displaystyle G=\langle 27,3\rangle }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \varkappa =(0000)}$

を非基本アーベル型のアーベル化を持つp群とすると、指数の最大部分群と指数の部分群を持つ。${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle (p^{2},p).}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$${\displaystyle p^{2}.}$

仮定。仮定する

${\displaystyle H_{p+1}=\prod _{j=1}^{p+1}U_{j}}$

は、区別された最大部分群であり、

${\displaystyle U_{p+1}=\bigcap _{j=1}^{p+1}H_{j}}$

は、すべての極大部分群の共通部分として、のフラッティーニ部分群となるインデックスの特別な部分群です。 ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \Phi (G)}$${\displaystyle G}$

各 に対して、アルティン転送準同型を表すものとします。 ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$${\displaystyle T_{1,i}:G\to H_{i}/H_{i}'}$

定義。族は、およびに関しての第1層転送カーネル型と呼ばれ、 と同一視される。ここで、 ${\displaystyle \varkappa _{1,H,U}(G)=(\ker(T_{1,i}))_{i=1}^{p+1}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$${\displaystyle (\varkappa _{1}(i))_{i=1}^{p+1}}$

${\displaystyle \varkappa _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{1,i})=H_{p+1},\\j&\ker(T_{1,i})=U_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}}$

注意:ここで、各第 1 層の転送カーネルはに関する指数であり、は の順序の巡回であるのに対し は型の双巡回であるため、どの に対してもと一致できないことがわかります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle H_{j}}$${\displaystyle 1\leq j\leq p}$${\displaystyle H_{j}/G'}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle H_{p+1}/G'}$${\displaystyle (p,p)}$

各 に対して、からのアーベル化へのアルティン転送準同型を とします。 ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$${\displaystyle T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U_{i}}$

定義。族は、およびに関しての第2層転送カーネル型と呼ばれ、次のよう に識別されます。${\displaystyle \varkappa _{2,U,H}(G)=(\ker(T_{2,i}))_{i=1}^{p+1}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle (\varkappa _{2}(i))_{i=1}^{p+1},}$

${\displaystyle \varkappa _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(T_{2,i})=G,\\j&\ker(T_{2,i})=H_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}}$

2つのレイヤーの情報を組み合わせると、およびに関するpグループの（完全な）転送カーネル型 が得られます。 ${\displaystyle \varkappa _{H,U}(G)=(\varkappa _{1,H,U}(G);\varkappa _{2,U,H}(G))}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$

注意：区別された部分群と は、および の一意の不変量であり、数え上げるべきではない。しかし、残りの最大部分群と置換 による転送、およびインデックスの残りの部分群と置換 による転送の独立した数え上げにより、および に関する新しい TKT が生じ、 と同一視される。ここで、 ${\displaystyle H_{p+1}}$${\displaystyle U_{p+1}=\Phi (G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K_{i}=H_{\tau (i)}(1\leq i\leq p)}$${\displaystyle V_{1,i}=T_{1,\tau (i)}}$${\displaystyle \tau \in S_{p}}$${\displaystyle W_{i}=U_{\sigma (i)}(1\leq i\leq p)}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle V_{2,i}=T_{2,\sigma (i)}}$${\displaystyle \sigma \in S_{p}}$${\displaystyle \lambda _{1,K,W}(G)=(\ker(V_{1,i}))_{i=1}^{p+1}}$${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{p+1}}$${\displaystyle W_{1},\ldots ,W_{p+1}}$${\displaystyle (\lambda _{1}(i))_{i=1}^{p+1}}$

${\displaystyle \lambda _{1}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{1,i})=K_{p+1},\\j&\ker(V_{1,i})=W_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1,\end{cases}}}$

およびに関して、と同一視される。 ${\displaystyle \lambda _{2,W,K}(G)=(\ker(V_{2,i}))_{i=1}^{p+1}}$${\displaystyle W_{1},\ldots ,W_{p+1}}$${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{p+1}}$${\displaystyle (\lambda _{2}(i))_{i=1}^{p+1},}$

${\displaystyle \lambda _{2}(i)={\begin{cases}0&\ker(V_{2,i})=G,\\j&\ker(V_{2,i})=K_{j}{\text{ for some }}1\leq j\leq p+1.\end{cases}}}$

TKTとを同等と見なすのが適切である。 ${\displaystyle \lambda _{1,K,W}(G)\sim \varkappa _{1,H,U}(G)}$${\displaystyle \lambda _{2,W,K}(G)\sim \varkappa _{2,U,H}(G)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{\lambda _{1}(i)}&=\ker(V_{1,i})=\ker(T_{1,{\hat {\tau }}(i)})=U_{\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i))}=W_{{\tilde {\sigma }}^{-1}(\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i)))}\\K_{\lambda _{2}(i)}&=\ker(V_{2,i})=\ker(T_{2,{\hat {\sigma }}(i)})=H_{\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i))}=K_{{\tilde {\tau }}^{-1}(\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}(i)))}\end{aligned}}}$

と、およびとの関係は次のように表される。 ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \varkappa _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \varkappa _{2}}$

${\displaystyle \lambda _{1}={\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \varkappa _{1}\circ {\hat {\tau }}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\tilde {\tau }}^{-1}\circ \varkappa _{2}\circ {\hat {\sigma }}}$

したがって、アクションの下 の軌道の別の代表は次のようになります。${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2})}$${\displaystyle \varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}}$${\displaystyle \varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})}$

${\displaystyle ((\sigma ,\tau ),(\mu _{1},\mu _{2}))\mapsto \left({\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \mu _{1}\circ {\hat {\tau }},{\tilde {\tau }}^{-1}\circ \mu _{2}\circ {\hat {\sigma }}\right)}$

写像のすべてのペアの集合上の2つの対称群の積の、ここで順列の拡大とがおよびによって定義され、形式的にはおよび${\displaystyle S_{p}\times S_{p}}$${\displaystyle \{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\}}$${\displaystyle {\hat {\pi }}\in S_{p+1}}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}\in S_{p+2}}$${\displaystyle \pi \in S_{p}}$${\displaystyle {\hat {\pi }}(p+1)={\tilde {\pi }}(p+1)=p+1}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}(0)=0}$${\displaystyle H_{0}=K_{0}=G,K_{p+1}=H_{p+1},U_{0}=W_{0}=H_{p+1},}$${\displaystyle W_{p+1}=U_{p+1}=\Phi (G).}$

定義。任意の代表の軌道はp群の不変量であり、その転送カーネル型、略して TKT と呼ばれます。 ${\displaystyle \varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}}$${\displaystyle \varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})}$${\displaystyle G}$

アルチン転移は、からへの誘導転移とアルチン転移の組み合わせである。${\displaystyle T_{2,i}:G\to U_{i}/U_{i}'}$${\displaystyle T_{2,i}={\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j}}$${\displaystyle {\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}:H_{j}/H_{j}'\to U_{i}/U_{i}'}$${\displaystyle H_{j}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle T_{1,j}:G\to H_{j}/H_{j}'.}$

中間サブグループに関しては2つの選択肢がある

• サブグループについては、区別された最大サブグループのみが中間サブグループです。${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p}}$${\displaystyle H_{p+1}}$
• フラッティーニ部分群の場合、すべての最大部分群は中間部分群です。${\displaystyle U_{p+1}=\Phi (G)}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$

これにより、第2層の転送カーネルタイプに制限が生じます。${\displaystyle \varkappa _{2}(G)}$

${\displaystyle \ker(T_{2,i})=\ker({\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j})\supset \ker(T_{1,j}),}$

そしてこうして

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,p\}:\qquad \ker(T_{2,i})\supset \ker(T_{1,p+1}).}$

しかし、

${\displaystyle \ker(T_{2,p+1})\supset \left\langle \bigcup _{j=1}^{p+1}\ker(T_{1,j})\right\rangle .}$

さらに、に関して の位数の元を持つ場合、 は、その番目の累乗が に含まれる場合にのみ、すべての中間部分群 に対してに属します。したがって、 、特定の に対して、 は第 1 層の TKT 単一項 を強制しますが、、一部の に対して、 は完全な第 1 層の TKT 多重項、つまりすべての に対してを指定します。${\displaystyle G=\langle x,y\rangle }$${\displaystyle x^{p}\notin G',y^{p}\in G',}$${\displaystyle xy^{k-1}(1\leq k\leq p)}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle \ker(T_{2,i})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ker(T_{1,j})}$${\displaystyle U_{i}<H_{j}<G}$${\displaystyle xy^{k-1}\in \ker(T_{2,i})}$${\displaystyle 1\leq i,k\leq p}$${\displaystyle \varkappa _{1}(p+1)=p+1}$${\displaystyle xy^{k-1}\in \ker(T_{2,p+1})}$${\displaystyle 1\leq k\leq p}$${\displaystyle \varkappa _{1}=((p+1)^{p+1})}$${\displaystyle \varkappa _{1}(j)=p+1}$${\displaystyle 1\leq j\leq p+1}$

有限p群間のすべての親子関係の共通の特徴は、親が子孫を適切な正規部分群で割った商であるということです。したがって、を伴うエピモーフィズムを選択することで同等の定義を与えることができます。すると、群は子孫の親と見なすことができます。 ${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle \phi :G\to {\tilde {G}}}$${\displaystyle \ker(\phi )=N.}$${\displaystyle {\tilde {G}}=\phi (G)}$${\displaystyle G}$

以下のセクションでは、有限p群だけでなく、一般に任意の群に対してこの観点を採用します。

命題。がアーベル群であり、 が準同型であるとします。 が標準射影写像を表すものとします。 すると、および となる一意の準同型が存在します(図 1 を参照)。${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :G\to A}$${\displaystyle \omega :G\to G/G'}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}:G/G'\to A}$${\displaystyle \phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega }$${\displaystyle \ker({\tilde {\phi }})=\ker(\phi )/G'}$

証明。この記述は、誘導準同型に関する記事の 2 番目の系の結果です。ただし、現在の状況については独立した証明を示します。 の一意性は、任意の に対して次が成り立つことを意味する条件の結果です。 ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$${\displaystyle \phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega ,}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(\omega (x))=({\tilde {\phi }}\circ \omega )(x)=\phi (x),}$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$が準同型である場合、を任意とすると、次のようになります。 ${\displaystyle x,y\in G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\phi }}\left(xG'\cdot yG'\right)&={\tilde {\phi }}((xy)G')=\phi (xy)=\phi (x)\cdot \phi (y)={\tilde {\phi }}(xG')\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\\phi ([x,y])&=\phi \left(x^{-1}y^{-1}xy\right)=\phi (x^{-1})\phi (y^{-1})\phi (x)\phi (y)=[\phi (x),\phi (y)]=1&&A{\text{ is abelian.}}\end{aligned}}}$

したがって、交換子部分群 となり、最終的に の定義は剰余類代表から独立であることが示される。 ${\displaystyle G'\subset \ker(\phi )}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}xG'=yG'&\Longrightarrow y^{-1}x\in G'\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow 1=\phi (y^{-1}x)={\tilde {\phi }}(y^{-1}xG')={\tilde {\phi }}(yG')^{-1}\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\&\Longrightarrow {\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(yG')\end{aligned}}}$

命題。が上記の通りであり、 が部分群の像であると仮定します。 の交換子部分群は、の交換子部分群の像です。 したがって、は一意のエピモフィズム を誘導し、したがって は の商です。 さらに、 の場合、写像は同型です (図 2 を参照)。${\displaystyle G,{\tilde {G}},\phi }$${\displaystyle {\tilde {H}}=\phi (H)}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle H.}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$${\displaystyle H/H'.}$${\displaystyle \ker(\phi )\leq H'}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$

証明。この主張は、誘導準同型に関する論文の主定理の帰結である。それにもかかわらず、独立した証明は次のように与えられる。まず、交換子部分群の像は

${\displaystyle \phi (H')=\phi ([H,H])=\phi (\langle [u,v]|u,v\in H\rangle )=\langle [\phi (u),\phi (v)]\mid u,v\in H\rangle =[\phi (H),\phi (H)]=\phi (H)'={\tilde {H}}'.}$

第二に、エピモーフィズムはエピモーフィズム に制限することができます。前のセクションによれば、合成エピモーフィズムは、となる一意に決定されたエピモーフィズム によってを因数分解します。したがって、 が成り立ちます。さらに、 の核はによって明示的に与えられます。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi |_{H}:H\to {\tilde {H}}}$${\displaystyle (\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}):H\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$${\displaystyle H/H'}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}\circ \omega _{H}=\omega _{\tilde {H}}\circ \phi |_{H}}$${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$${\displaystyle \ker({\tilde {\phi }})=(H'\cdot \ker(\phi ))/H'}$

最後に、 の場合、 なのでは同型です。 ${\displaystyle \ker(\phi )\leq H'}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$${\displaystyle \ker({\tilde {\phi }})=H'/H'=1}$

定義。^[15]本節の結果から、 のときは、 のときは と置くことで、アーベル型不変量の集合に半順序を定義することが理にかなっている。 ${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\preceq H/H'}$${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})}$${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'=H/H'}$${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq H/H'}$

命題。は上記の通りであり、 は有限指数 のサブグループの像であると仮定します。 および をアルティン転送とします。 の場合、におけるの左横断の像はにおけるの左横断であり、さらにの場合、(図 3 を参照)。${\displaystyle G,{\tilde {G}},\phi }$${\displaystyle {\tilde {H}}=\phi (H)}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle T_{G,H}:G\to H/H'}$${\displaystyle T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$${\displaystyle \ker(\phi )\leq H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).}$${\displaystyle \ker(\phi )\leq H'}$${\displaystyle \phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})}$

証明。を におけるの左横断とします。すると、互いに素な和集合が得られます。 ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.}$

この分離した和集合のイメージを考えてみましょう。これは必ずしも分離したものではありません。

${\displaystyle \phi (G)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H),}$

そして我々はこうする： ${\displaystyle j,k\in \{1,\ldots ,n\}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (g_{j})\phi (H)=\phi (g_{k})\phi (H)&\Longleftrightarrow \phi (H)=\phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{k})\phi (H)=\phi (g_{j}^{-1}g_{k})\phi (H)\\&\Longleftrightarrow \phi (g_{j}^{-1}g_{k})=\phi (h)&&{\text{for some }}h\in H\\&\Longleftrightarrow \phi (h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k})=1\\&\Longleftrightarrow h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k}\in \ker(\phi )\subset H\\&\Longleftrightarrow g_{j}^{-1}g_{k}\in H\\&\Longleftrightarrow j=k\\\end{aligned}}}$

を前の命題からの同型写像と します。次のようになります。${\displaystyle {\tilde {\phi }}:H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}(T_{G,H}(x))={\tilde {\phi }}\left(\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\right)=\prod _{i=1}^{n}\phi \left(g_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}\phi (x)\phi (g_{i})\cdot \phi (H').}$

なので、右辺は に等しく、が におけるの左横断である場合、これは次の場合に真である。したがって、 は包含を意味する。 ${\displaystyle \phi (H')=\phi (H)'={\tilde {H}}'}$${\displaystyle T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}(\phi (x))}$${\displaystyle (\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle \ker(\phi )\subset H.}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}\circ T_{G,H}=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi .}$${\displaystyle \ker(\phi )\subset H}$

${\displaystyle \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).}$

最後に、 ならば、前の命題により は同型となる。その逆関数を使うと が得られ、これは次のことを証明する。 ${\displaystyle \ker(\phi )\subset H'}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$${\displaystyle T_{G,H}={\tilde {\phi }}^{-1}\circ T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi }$

${\displaystyle \phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H}).}$

含まれるものを組み合わせると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H})\end{cases}}&\Longrightarrow {\begin{cases}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\\phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\end{cases}}\\[8pt]&\Longrightarrow \phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\end{aligned}}}$

定義。^[15]このセクションの結果を考慮すると、と設定することで転送カーネルの半順序を定義することができる。${\displaystyle \ker(T_{G,H})\preceq \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})}$${\displaystyle \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).}$

は上記と同じであり、 と は同型かつ有限であると仮定します。を含むすべての部分群の族を とします(正規部分群の有限族になります)。 それぞれについて、 ${\displaystyle G,{\tilde {G}},\phi }$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle {\tilde {G}}/{\tilde {G}}'}$${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {H_{i}}}&:=\phi (H_{i})\\T_{i}&:=T_{G,H_{i}}:G\to H_{i}/H_{i}'\\{\tilde {T_{i}}}&:=T_{{\tilde {G}},{\tilde {H_{i}}}}:{\tilde {G}}\to {\tilde {H_{i}}}/{\tilde {H_{i}}}'\end{aligned}}}$

を の空でない任意の部分集合とします。 を定義すると便利です。 はに関して の(部分) 転送カーネル型(TKT)と呼ばれ、に関して の(部分) 転送ターゲット型(TTT)と呼ばれます。 ${\displaystyle J}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{j}))_{j\in J}}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (H_{j})_{j\in J}}$${\displaystyle \tau _{H}(G)=(H_{j}/H_{j}')_{j\in J},}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (H_{j})_{j\in J}}$

前の 2 つのセクションで確立された単数形のルールにより、TTT と TKT のこれらの多重形は、次の基本的な継承法則に従います。

継承法則 I.ならば、という意味で、 それぞれについて、 であり、 という意味で、 それぞれについて。${\displaystyle \ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}}$${\displaystyle \tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})\preceq \tau _{H}(G)}$${\displaystyle {\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'\preceq H_{j}/H_{j}'}$${\displaystyle j\in J}$${\displaystyle \varkappa _{H}(G)\preceq \varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})}$${\displaystyle \ker(T_{j})\preceq \ker({\tilde {T_{j}}})}$${\displaystyle j\in J}$

継承法則 II.の場合、の意味で、 のそれぞれに対して、 となり、 の意味で、 のそれぞれに対して となります。${\displaystyle \ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}'}$${\displaystyle \tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})=\tau _{H}(G)}$${\displaystyle {\tilde {H_{j}}}/{\tilde {H_{j}}}'=H_{j}/H_{j}'}$${\displaystyle j\in J}$${\displaystyle \varkappa _{H}(G)=\varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})}$${\displaystyle \ker(T_{j})=\ker({\tilde {T_{j}}})}$${\displaystyle j\in J}$

さらなる継承プロパティは、アルティン転送に直接関係するものではありませんが、子孫ツリーへのアプリケーションでは有用であることが証明されます。

継承法則III. が上記の通りであると仮定し、となる唯一のエピモーフィズムが存在する。 となる場合${\displaystyle G,{\tilde {G}},\phi }$${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut} (G).}$${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}}$${\displaystyle \phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi }$${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi ),}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}\in \mathrm {Aut} ({\tilde {G}}).}$

証明。同型性を用いて次を定義します。 ${\displaystyle {\tilde {G}}=\phi (G)\simeq G/\ker(\phi )}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}\\{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi )):=\sigma (g)\ker(\phi )\end{cases}}}$

まず、このマップが明確に定義されていることを示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}g\ker(\phi )=h\ker(\phi )&\Longrightarrow h^{-1}g\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \sigma (\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \ker(\phi )&&\sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1})\sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\sigma (h)\ker(\phi )\end{aligned}}}$

が全射であること、準同型であること、および を満たすことは簡単に検証できます。 ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}}$${\displaystyle \phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi }$

そして の場合、 の単射性はの結果である。 ${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\sigma }}(g\ker(\phi ))=\ker(\phi )&\Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma ^{-1}(\sigma (g))\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \ker(\phi )&&\sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g\ker(\phi )=\ker(\phi )\end{aligned}}}$

を正準射影とすると、となる唯一の誘導自己同型が存在する。つまり、 ${\displaystyle \omega :G\to G/G'}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}\in \mathrm {Aut} (G/G')}$${\displaystyle \omega \circ \sigma ={\bar {\sigma }}\circ \omega }$

${\displaystyle \forall g\in G:\qquad {\bar {\sigma }}(gG')={\bar {\sigma }}(\omega (g))=\omega (\sigma (g))=\sigma (g)G',}$

の単射性の理由は、 ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$

${\displaystyle \sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=G'\Rightarrow \sigma (g)\in G'\Rightarrow g=\sigma ^{-1}(\sigma (g))\in G',}$

は の特性部分群であるため。 ${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$

定義。 σ −群が存在する場合、誘導自己同型は 上の反転のように作用し、すべての ${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut} (G)}$${\displaystyle G/G'}$

${\displaystyle g\in G:\qquad \sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'\Longleftrightarrow \sigma (g)g\in G'.}$

継承法則IIIは、 がσ −群でならばもσ −群であり、必要な自己同型は であると主張している。これは、エピモーフィズムを方程式に適用することでわかる。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\tilde {\sigma }}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \sigma (g)G'={\bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'}$

${\displaystyle \forall x=\phi (g)\in \phi (G)={\tilde {G}}:\qquad {\tilde {\sigma }}(x){\tilde {G}}'={\tilde {\sigma }}(\phi (g)){\tilde {G}}'=\phi (\sigma (g))\phi (G')=\phi (g^{-1})\phi (G')=\phi (g)^{-1}{\tilde {G}}'=x^{-1}{\tilde {G}}'.}$

この節では、前節で述べたTTTとTKTの商からの 継承に関する結果を、次のような特徴を持つ最も単純なケースに適用する。

仮定。群の親はを下中心級数の最後の非自明な項で割った商であり、 はの冪零類を表します。 からへの対応するエピモーフィズムは標準射影であり、その核は で与えられます。 ${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi (G)=G/N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N=\gamma _{c}(G)\triangleleft G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi (G)=G/\gamma _{c}(G)}$${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)}$

この仮定の下では、アルティン転送の核とターゲットは有限p群間の親子関係と互換性があることがわかります。

互換性基準。 を素数とします。 が冪零性類 の非可換有限p群であるとします。 このとき、 の TTT とおよびその親のTKT は、 および の意味で比較可能です。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 2}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle \tau (\pi (G))\preceq \tau (G)}$${\displaystyle \varkappa (G)\preceq \varkappa (\pi (G))}$

この事実の単純な理由は、 であるため、任意の部分群 に対して が成り立つことです。 ${\displaystyle G'\leq H\leq G}$${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{2}(G)=G'\leq H}$${\displaystyle c\geq 2}$

このセクションの残りの部分では、調査される群は、階数、つまり型の基本アーベル化を持つ有限メタアーベルp群であると想定されます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (p,p)}$

極大類の部分安定化。共クラスおよび冪零類のメタベルp群は、 TTTの最後の要素およびTKTの最後の要素をその親と共有する。より明示的には、奇数の素数に対して、およびに対してが成り立つ。 ^[16]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=1}$${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 3}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \tau (G)}$${\displaystyle \varkappa (G)}$${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle \tau (G)_{i}=(p,p)}$${\displaystyle \varkappa (G)_{i}=0}$${\displaystyle 2\leq i\leq p+1}$

この基準は、の 最後の極大部分群に対して、 ^[17]が成り立つという事実による。 ${\displaystyle c\geq 3}$${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{3}(G)=H_{i}'}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{2},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle G}$

条件は、部分安定化基準にとって確かに必要である。奇数の素数 に対して、位数と指数の特別な- 群は冪零性類のみを持ち、その TKT の最後の成分は、その親である 型の基本アーベル- 群の TKT の対応する成分よりも厳密に小さい。 ^[16] に対して、共クラスとクラスの特別な- 群の両方、つまり TKT を持つ通常の四元数群とTKT を持つ二面体群は、TKT の最後の 2 つの成分が、共通の親である TKTよりも厳密に小さい。 ${\displaystyle c\geq 3}$${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G=G_{0}^{3}(0,1)}$${\displaystyle p^{3}}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle c=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varkappa =(1^{p+1})}$${\displaystyle \varkappa =(0^{p+1})}$${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle c=2}$${\displaystyle G=G_{0}^{3}(0,1)}$${\displaystyle \varkappa =(123)}$${\displaystyle G=G_{0}^{3}(0,0)}$${\displaystyle \varkappa =(023)}$${\displaystyle \pi (G)=C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle \varkappa =(000)}$

最大クラスと正の欠陥の完全な安定化。

共クラスおよび冪零クラスのメタベルp群、つまり冪零指数 を持つ p 群は、正の可換性欠陥 を持つ限り、TTT のすべての成分と TKT のすべての成分をその親と共有します。 ^[11]はを意味し、すべての に対してが成り立つことに 注意してください。 ^[16]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=1}$${\displaystyle c=m-1=\mathrm {cl} (G)\geq 4}$${\displaystyle m\geq 5}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle \tau (G)}$${\displaystyle \varkappa (G)}$${\displaystyle \pi (G)}$${\displaystyle k=k(G)\geq 1}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle \varkappa (G)_{i}=0}$${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$

この主張は、 条件およびが のすべての極大部分群 に対してを意味することを観察することでわかる^[17]。 ${\displaystyle m\geq 5}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{m-1}(G)\leq \gamma _{m-k}(G)\leq H_{i}'}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$${\displaystyle G}$

条件は、確かに完全な安定化に必要です。これを確認するには、TKT の最初の要素のみを考えれば十分です。各冪零性クラスには、 TKTとTKT を持つグループが (少なくとも) 2 つ存在し、どちらも欠陥 を持ち、それらの TKT の最初の要素は、共通の親のTKT の最初の要素よりも確実に小さくなります。 ${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle c\geq 4}$${\displaystyle G=G_{0}^{c+1}(0,1)}$${\displaystyle \varkappa =(10^{p})}$${\displaystyle G=G_{0}^{c+1}(1,0)}$${\displaystyle \varkappa =(20^{p})}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle \varkappa =(0^{p+1})}$${\displaystyle \pi (G)=G_{0}^{c}(0,0)}$

非最大クラスの部分的な安定化。

を固定します。アーベル化、コクラス、および冪零クラスを持つメタベル 3 群は、TTTと TKTの最後の 2 つ (4 つのうち) の成分を親と共有します。 ${\displaystyle p=3}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'\simeq (3,3)}$${\displaystyle \mathrm {cc} (G)\geq 2}$${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 4}$${\displaystyle \tau (G)}$${\displaystyle \varkappa (G)}$${\displaystyle \pi (G)}$

この基準は以下の考察によって正当化される。 の場合、の 最後の2つの最大部分群に対して^[17]が成り立つ。 ${\displaystyle c\geq 4}$${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{4}(G)\leq H_{i}'}$ ${\displaystyle H_{3},H_{4}}$${\displaystyle G}$

この条件は、部分安定化にとって確かに避けられないものです。なぜなら、クラス の -グループが複数存在し、たとえば SmallGroups識別子 を持つグループが存在し、それらの TKT の最後の 2 つの要素が、共通の親 のTKT の最後の 2 つの要素よりも確実に小さくなるからです。 ${\displaystyle c\geq 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle c=3}$ ${\displaystyle G\in \{\langle 243,3\rangle ,\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}}$${\displaystyle \varkappa \in \{(0043),(0122),(2034)\}}$${\displaystyle \varkappa =(0000)}$${\displaystyle \pi (G)=G_{0}^{3}(0,0)}$

非最大クラスと循環中心の完全な安定化。

再び、 を固定します。アーベル化、コクラス、冪零類、巡回中心を持つメタベル 3 群は、TTTと TKT の4 つの成分すべてをその親と共有します。 ${\displaystyle p=3}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/G'\simeq (3,3)}$${\displaystyle \mathrm {cc} (G)\geq 2}$${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 4}$${\displaystyle \zeta _{1}(G)}$${\displaystyle \tau (G)}$${\displaystyle \varkappa (G)}$${\displaystyle \pi (G)}$

その理由は、巡回中心により、の 4つの最大部分群すべてに対して^[17]が成り立つからである。 ${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)\leq H_{i}'}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{4}}$${\displaystyle G}$

環中心の条件は、確かに全体の安定化に必要です。なぜなら、双環中心を持つグループには 2 つの可能性があるからです。 も双環であるため には決して含まれず、 は環であるが には決して含まれません。 ${\displaystyle \gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)}$${\displaystyle \gamma _{c}(G)}$${\displaystyle H_{2}'}$${\displaystyle \gamma _{c}(G)<\zeta _{1}(G)}$${\displaystyle H_{1}'}$

まとめると、最後の 4 つの基準は、アルティン転送が有限p群を分類するための素晴らしいツールを提供するという事実を裏付けていると言えます。

次のセクションでは、これらのアイデアを子孫ツリーに追加の構造を与えるためにどのように適用できるか、また、アルティン転送のカーネルとターゲットによって定義されたパターンを探すことによって子孫ツリー内の特定のグループを検索するためにどのように適用できるかを示します。これらのパターン認識戦略は、純粋群論と代数的数論で役立ちます。

このセクションでは、有限p群の理論における子孫ツリーという用語を使用します。図 4 では、中程度の複雑性を持つ子孫ツリーが例として選択されており、アルティン転送がツリーの各頂点に追加の構造を提供する方法を示しています。より正確には、基礎となる素数は であり、選択された子孫ツリーは実際には、一意の無限の主線、深さ の枝、および枝 で設定される長さの厳密な周期性を持つコクラス ツリーです。初期の前周期は、例外的な構造を持つ枝とで構成されます。枝とは、奇数 に対して、偶数 に対してとなるプリミティブ周期を形成します。ツリーのルートは、識別子を持つメタベル群、つまり、順序 のグループで計数です。このルートはコクラスで固定されていないため、その子孫ツリー全体の複雑性は、図 4 の図に最初の 6 つの枝が描かれているコクラスサブツリーよりもかなり高くなります。追加の構造は、ツリーが埋め込まれている一種の座標系として考えることができます。水平の横軸には転送カーネル型(TKT)のラベルが付けられ、垂直の縦軸には転送ターゲット型(TTT)の単一成分のラベルが付けられます。ツリーの頂点は、周期的な無限列のメンバーが共通の TKT を共有する垂直列を形成するように描かれます。一方、最大 の深さの頂点で表される固定された順序のメタベル群は、TTT の共通の第 1 成分を共有する水平行を形成します。(誤った解釈を防ぐために、深さ の頂点で表される非メタベル群またはメタベル群の TTT の第 1 成分は、安定化現象により、通常、予想よりも小さくなることを明示的に指摘します。) 型の双環中心を示す大きな完全なディスクで表されるこのツリー内のすべてのグループの TTT は、変化する第 1 成分、順序 のほぼ同相アーベル群、および固定されたその他の成分と とともに、で与えられます。ここで、アーベル型不変量${\displaystyle p=3}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(5)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(8)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$${\displaystyle j\geq 9}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(8)}$${\displaystyle j\geq 10}$${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle R=\langle 243,6\rangle }$${\displaystyle |R|=3^{5}=243}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(R)}$${\displaystyle \varkappa }$${\displaystyle \tau (1)}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle (3,3)}$${\displaystyle \tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]}$${\displaystyle \tau (1)=A(3,c)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3^{c}}$${\displaystyle \tau (2)=(3,3,3){\hat {=}}(1^{3})}$${\displaystyle \tau (3)=\tau (4)=(9,3){\hat {=}}(21)}$は、巡回成分の順序、または反復を示す指数を持つ -対数として表されます。(図 4 では後者の表記法が使用されています。) この木のすべてのグループの共クラスは であるため、順序と冪零クラスの間の接続は によって与えられます。 ${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3^{n}}$${\displaystyle c=n-2}$

アルティン転送のカーネルとターゲットによって定義されるパターンを探して子孫ツリー内の特定のグループを検索するには、必要な特別なプロパティを持つグループをふるいにかけて、複雑性の高い密なツリーの枝の頂点の数を減らすだけで十分な場合がよくあります。たとえば、

• -グループのフィルタリング、${\displaystyle \sigma }$
• 特定の転送カーネルタイプのセットを削除する
• すべての非メタベル群をキャンセルする（図4の小さな等高線四角で示される）。
• 環状中心を持つメタベリアン群（図4の小さな円盤で示される）を除去すると、
• 主線からの距離（深さ）が下限を超える頂点を切り落とす。
• いくつかの異なるふるい分け基準を組み合わせます。

このようなふるい分け手順の結果は、目的のプロパティ セットに関して剪定された子孫ツリーと呼ばれます。ただし、いずれの場合でも、コクラス ツリーのメイン ラインが削除されることは避ける必要があります。その結果は、ツリーではなく、有限グラフの切断された無限セットになるためです。たとえば、図 4 のすべての -グループを削除することも、TKT を含むすべてのグループを削除することもお勧めできません。図 4 では、大きな二重輪郭の長方形が剪定されたコクラス ツリーを囲んでいます。ここでは、TKT を含む多数の頂点が完全に削除されています。これは、たとえば、TKTと TTT の最初のコンポーネントを含む -グループを検索する場合に役立ちます。この場合、検索結果は一意のグループになります。次の重要な例の詳細な説明で、このアイデアをさらに展開します。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varkappa =(0122)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\ast }^{2}(R)}$${\displaystyle \varkappa =(2122)}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varkappa =(1122)}$${\displaystyle \tau (1)=(43)}$

アルティン転送を介したパターン認識戦略による有限p群の探索の最古の例は、1934 年に A. ショルツと O. タウスキー ^[18]が複素二次数体 の最大の非分岐原点拡大であるヒルベルト級体タワーの ガロア群を決定しようとしたときまでさかのぼります。彼らは実際に の最大メタベル商、つまり の 2 番目のヒルベルト級体のガロア群を見つけることに成功しました。しかし、MR ブッシュと DC マイヤーが 2012 年に ^[15] 、 (潜在的に無限の) -タワー群が導来長 の有限-群と一致し、したがって の-タワーはの3 番目のヒルベルト級体で停止するちょうど 3 つのステージを持つという最初の厳密な証明を提供するまでには何年もかかりました。 ${\displaystyle G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)|K)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathrm {F} _{3}^{\infty }(K)}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}}).}$${\displaystyle Q=G/G''=\mathrm {G} _{3}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{2}(K)|K)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathrm {F} _{3}^{2}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 78}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathrm {G} _{3}^{3}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{3}(K)|K)}$${\displaystyle \mathrm {dl} (G)=3}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathrm {F} _{3}^{3}(K)}$${\displaystyle K}$

この探索は、 MF Newman ^[19] と EA O'Brien ^{[20]による}p群生成アルゴリズムを用いて行われる。 アルゴリズムの初期化のために、2 つの基本的な不変量を決定しなければならない。まず、構築するp群の生成器の階数。ここで、 となり、は二次体 の - 級階数によって与えられる。次に、 の- 級群のアーベル型不変量である。これら 2 つの不変量は、次々に構築される子孫ツリーのルートを示す。p群生成アルゴリズムは、下指数p中心級数による親 - 子孫定義を使用するよう設計されているが、通常の下中心級数を用いて定義に適合させることができる。ルートとして基本アーベルp群を使用する場合、その差はそれほど大きくない。したがって、 SmallGroups識別子を持つ階数 2 の基本アーベル - 群から始めて、子孫ツリー を構築する必要がある。これを実現するには、 pグループ生成アルゴリズムを繰り返し、前のルートの適切な子孫を次のルートとして取り、常に冪零クラスの単位による増分を実行します。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle d=r_{3}(K)=d(\mathrm {Cl} _{3}(K))}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}(K)\simeq (1^{2})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {T}}(\langle 9,2\rangle )}$

パターン認識のセクションの冒頭で説明したように、 -タワー群の不変量 TKT と TTT に関して子孫ツリーを刈り込む必要があります。これらは、体の算術によって(正確に 2 つの固定点と転置なし) および として決定されます。さらに、 の任意の商は、2 次体に対する数論的要件によって強制される -群である必要があります。 ${\displaystyle 3}$${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \varkappa \in \{(2334),(2434)\}}$${\displaystyle \tau =[(21)(32)(21)(21)]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle K}$

ルートには、タイプ の可能な子孫が 1 つだけあります。べき零クラスに関して、 はのクラス商であり、は のクラス商です。後者は核ランクが 2 であるため、分岐 が発生し、そこでは前者の要素は、最大クラスのすべての - グループの TKT の安定化基準によって除去できます。 ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$${\displaystyle (1^{2})}$${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle G/\gamma _{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G/\gamma _{3}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(\langle 27,3\rangle )={\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,3\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )}$ ${\displaystyle \varkappa =(\ast 000)}$${\displaystyle 3}$

TKT の継承特性により、のクラス商として適格となるのは、単一の有能な子孫のみです。の子孫の中には、単一の有能な-グループが存在します。これはのクラス商であり、核階数は 2 です。 ${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G/\gamma _{4}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \langle 729,54\rangle }$${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$${\displaystyle 4}$${\displaystyle G/\gamma _{5}(G)}$${\displaystyle G}$

これにより、異なるコクラス グラフとに属する 2 つのサブツリーで本質的な分岐が 発生します。前者には、 のメタベル商が含まれ、 2 つの可能性 は、関係ランクが生成元ランクよりも大きいためバランスが取れていません。後者は完全に非メタベル群で構成され、および を持つ2 つのSchur群の 1 つとして、目的の -タワー群が生成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\langle 729,54\rangle )={\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,54\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,54\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,3)}$${\displaystyle Q=G/G''}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Q\in \{\langle 2187,302\rangle ,\langle 2187,306\rangle \}}$${\displaystyle r=3>2=d}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \langle 729,54\rangle -\#2;2}$${\displaystyle \langle 729,54\rangle -\#2;6}$${\displaystyle r=2=d}$

最終的に、TTTが大きすぎてさらに増加し​​、 に戻ることはないため、可能な頂点および で終了基準に達します。完全な探索プロセスは表 1 に視覚化されています。ここで、の-タワー群の可能な連続するp -商のそれぞれについて、べき零クラスは、核ランクは、p -乗数ランクはで表されます。 ${\displaystyle \langle 2187,303\rangle -\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,2)}$${\displaystyle \langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,3)}$${\displaystyle \tau =[(21)(3^{2})(21)(21)]>[(21)(32)(21)(21)]}$${\displaystyle [(21)(32)(21)(21)]}$${\displaystyle P_{c}=G/\gamma _{c+1}(G)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}})}$${\displaystyle c=\mathrm {cl} (P_{c})}$${\displaystyle \nu =\nu (P_{c})}$${\displaystyle \mu =\mu (P_{c})}$

この節では、交換子計算を使用してアルティン転送の核とターゲットを明示的に決定する方法を例示します。具体的な例として、図 4 の共クラス ツリー ダイアグラムの頂点として大きな完全なディスクで表される、双環中心を持つメタベル群を取ります。これらは、偶数クラス4 つ、奇数クラス 6 つ、冪零クラス10 個の周期的な無限列を形成し、パラメーター化された多環式冪交換子表現の助けを借りて特徴付けることができます。 ${\displaystyle 3}$${\displaystyle c}$

1 ${\displaystyle {\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

ここで、は冪零性類、は順序、およびはパラメータです。 ${\displaystyle c\geq 5}$${\displaystyle 3^{n}}$${\displaystyle n=c+2}$${\displaystyle 0\leq w\leq 1,-1\leq z\leq 1}$

グループの転送ターゲットタイプ（ TTT）は、冪零性クラスのみに依存し、パラメータとは独立しており、によって一様に与えられます。この現象は、第1成分における分極、より正確には単極化[ ^11]と呼ばれます。 ${\displaystyle G=G^{c,n}(z,w)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle w,z}$${\displaystyle \tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]}$

群の転送カーネル型 (TKT) は、冪零性類 とは独立していますが、パラメータ に依存しており、(主線群)の場合は c.18、 、(2 つの可能な群)の場合は H.4、 、(終端群)の場合は E.6、 、 (終端群)の場合は E.14、 で与えられます。偶数冪零性類の場合、パラメータの符号のみが異なる 2 つの群 (型 H.4 と E.14) は同型です。 ${\displaystyle G=G^{c,n}(z,w)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle w,z}$${\displaystyle \varkappa =(0122)}$${\displaystyle w=z=0}$${\displaystyle \varkappa =(2122)}$${\displaystyle w=0,z=\pm 1}$${\displaystyle \varkappa =(1122)}$${\displaystyle w=1,z=0}$${\displaystyle \varkappa \in \{(4122),(3122)\}}$${\displaystyle w=1,z=\pm 1}$${\displaystyle z}$

これらの記述は、以下の考察によって推測することができます。

準備として、プレゼンテーションで示したに対するおよびに対する などの交換関係のリストをまとめておくと便利です 。これは、双環中心が によって与えられることを示しています。右積則と右べき乗則により、 に対する、、およびが得られます。 ${\displaystyle [a,x]=1}$${\displaystyle a\in \{s_{c},t_{3}\}}$${\displaystyle [a,y]=1}$${\displaystyle a\in \{s_{3},\ldots ,s_{c},t_{3}\}}$${\displaystyle \zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle }$ ${\displaystyle [a,xy]=[a,y]\cdot [a,x]\cdot [[a,x],y]}$ ${\displaystyle [a,y^{2}]=[a,y]^{1+y}}$${\displaystyle [s_{2},xy]=s_{3}t_{3}}$${\displaystyle [s_{2},xy^{2}]=s_{3}t_{3}^{2}}$${\displaystyle [s_{j},xy]=[s_{j},xy^{2}]=[s_{j},x]=s_{j+1}}$${\displaystyle j\geq 3}$

の最大部分群は、計算実装のセクションと同様に、すなわち ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&=\langle y,G'\rangle \\H_{2}&=\langle x,G'\rangle \\H_{3}&=\langle xy,G'\rangle \\H_{4}&=\langle xy^{2},G'\rangle \\\end{aligned}}}$

それらの導出部分群はアルティン転送の挙動にとって重要である。一般式 （ここで、および ）を利用すると、現在の状況では であることがわかっているので、次の式が成り立つ。 ${\displaystyle H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}}$${\displaystyle H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle }$${\displaystyle G'=\langle s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}'&=\left\langle s_{2}^{y-1}\right\rangle =\left\langle t_{3}\right\rangle \\H_{2}'&=\left\langle s_{2}^{x-1},\ldots ,s_{c-1}^{x-1}\right\rangle =\left\langle s_{3},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{3}'&=\left\langle s_{2}^{xy-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{4}'&=\left\langle s_{2}^{xy^{2}-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy^{2}-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3}^{2},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \end{aligned}}}$

は中心に含まれているので、アーベルに近いことに注意してください。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{1}'=\langle t_{3}\rangle }$${\displaystyle \zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle }$

最初の主な結果として、導出された商のアーベル型不変量を決定できるようになりました。

${\displaystyle H_{1}/H_{1}'=\langle y,s_{2},\ldots ,s_{c}\rangle H_{1}'/H_{1}'\simeq A(3,c),}$

偶数に対しては、奇数に対しては であるため、冪零性類の増加とともに増加する一意の商である。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \mathrm {ord} (y)=\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}}$${\displaystyle c=2m}$${\displaystyle \mathrm {ord} (y)=3^{m+1},\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}}$${\displaystyle c=2m+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}/H_{2}'&=\langle x,s_{2},t_{3}\rangle H_{2}'/H_{2}'\simeq (3,3,3)\\H_{3}/H_{3}'&=\langle xy,s_{2},t_{3}\rangle H_{3}'/H_{3}'\simeq (9,3)\\H_{4}/H_{4}'&=\langle xy^{2},s_{2},t_{3}\rangle H_{4}'/H_{4}'\simeq (9,3)\end{aligned}}}$

一般に ですが、についてはであり、一方およびについては です。 ${\displaystyle \mathrm {ord} (s_{2})=\mathrm {ord} (t_{3})=3}$${\displaystyle \mathrm {ord} (x)=3}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle \mathrm {ord} (xy)=\mathrm {ord} (xy^{2})=9}$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle H_{4}}$

さて、アルティンの転送準同型の核について考えてみましょう。まずは誘導転送を調べ、元の像の表現式を見つけることから始めれば十分です。これは次の形式で表すことができます。 ${\displaystyle T_{i}:G\to H_{i}/H_{i}'}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}_{i}:G/G'\to H_{i}/H_{i}'}$${\displaystyle {\tilde {T}}_{i}(gG')}$${\displaystyle gG'\in G/G'}$

${\displaystyle g\equiv x^{j}y^{\ell }{\pmod {G'}},\qquad j,\ell \in \{-1,0,1\}.}$

まず、外部転送を最大限に活用します。

${\displaystyle {\begin{aligned}x\notin H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(xG')=x^{3}H_{1}'=s_{c}^{w}H_{1}'\\y\notin H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(yG')=y^{3}H_{2}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{2}'=1\cdot H_{2}'\\x,y\notin H_{3},H_{4}&\Rightarrow {\begin{cases}{\tilde {T}}_{i}(xG')=x^{3}H_{i}'=s_{c}^{w}H_{i}'=1\cdot H_{i}'\\{\tilde {T}}_{i}(yG')=y^{3}H_{i}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{i}'=s_{3}^{2}H_{i}'\end{cases}}&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}}$

次に、より複雑な避けられない内部転送を扱います。この目的のために、多項式恒等式を使用します。

${\displaystyle X^{2}+X+1=(X-1)^{2}+3(X-1)+3}$

取得する:

${\displaystyle {\begin{aligned}y\in H_{1}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{1}(yG')=y^{1+x+x^{2}}H_{1}'=y^{3+3(x-1)+(x-1)^{2}}H_{1}'=y^{3}\cdot [y,x]^{3}\cdot [[y,x],x]H_{1}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}s_{2}^{3}s_{3}H_{1}'=s_{2}^{3}s_{3}^{3}s_{4}s_{c}^{z}H_{1}'=s_{c}^{z}H_{1}'\\x\in H_{2}&\Rightarrow {\tilde {T}}_{2}(xG')=x^{1+y+y^{2}}H_{2}'=x^{3+3(y-1)+(y-1)^{2}}H_{2}'=x^{3}\cdot [x,y]^{3}\cdot [[x,y],y]H_{2}'=s_{c}^{w}s_{2}^{-3}t_{3}^{-1}H_{2}'=t_{3}^{-1}H_{2}'\end{aligned}}}$

最後に、結果をまとめます。一般的には

${\displaystyle {\tilde {T}}_{i}(gG')={\tilde {T}}_{i}(xG')^{j}{\tilde {T}}_{i}(yG')^{\ell },}$

そして特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {T}}_{1}(gG')&=s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'\\{\tilde {T}}_{2}(gG')&=t_{3}^{-j}H_{2}'\\{\tilde {T}}_{i}(gG')&=s_{3}^{2\ell }H_{i}'&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}}$

カーネルを決定するには、次の方程式を解く必要があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'=H_{1}'&\Rightarrow {\begin{cases}{\text{arbitrary }}j,\ell {\text{ and }}w=z=0\\\ell =0,{\text{arbitrary }}j{\text{ and }}w=0,z=\pm 1\\j=0,{\text{arbitrary }}\ell {\text{ and }}w=1,z=0\\j=\mp \ell ,w=1,z=\pm 1\end{cases}}\\t_{3}^{-j}H_{2}'=H_{2}'&\Rightarrow j=0{\text{ with arbitrary }}\ell \\s_{3}^{2\ell }H_{i}'=H_{i}'&\Rightarrow \ell =0{\text{ with arbitrary }}j&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}}$

任意の に対して次の同値性が存在することで、ステートメントの正当性が証明されます。 ${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$

• ${\displaystyle j,\ell }$どちらも恣意的です。${\displaystyle \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,y,G'\rangle =G\Leftrightarrow \varkappa (i)=0}$
• ${\displaystyle j=0}$任意の、${\displaystyle \ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle y,G'\rangle =H_{1}\Leftrightarrow \varkappa (i)=1}$
• ${\displaystyle \ell =0}$任意の、${\displaystyle j\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,G'\rangle =H_{2}\Leftrightarrow \varkappa (i)=2}$
• ${\displaystyle j=\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy,G'\rangle =H_{3}\Leftrightarrow \varkappa (i)=3}$、
• ${\displaystyle j=-\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy^{-1},G'\rangle =H_{4}\Leftrightarrow \varkappa (i)=4}$

その結果、TKT の最後の 3 つのコンポーネントはパラメータから独立しており、TTT と TKT の両方が最初のコンポーネントで単極性化を示すことを意味します。 ${\displaystyle w,z,}$

この節の目的は、有限p群の構造化されたコクラス ツリー(SCT)のコレクションを、パラメータ化された表現と不変量の簡潔な要約とともに提示することです。基礎となる素数は小さな値に制限されています。ツリーは、増加するコクラスと各コクラス内の異なるアーベル化に従って配置されます。子孫の数を管理しやすいように、ツリーは深さが 1 より大きい頂点を削除することで刈り込まれます。さらに、安定化基準によってすべての頂点に共通の TKT が強制されるツリーは、そのようなツリーはもはや構造化されていないと見なすため、省略します。リストされている不変量は次のとおりです 。${\displaystyle p}$${\displaystyle p\in \{2,3,5\}}$${\displaystyle r\geq 1}$

• 前期および期間の長さ、
• 枝の深さと幅、
• 単極化、TTTおよびTKT、
• ${\displaystyle \sigma }$-グループ。

不変量の正当性については説明を控える。なぜなら、不変量が表現からどのように導かれるかは、交換子計算のセクションで例示的に示されたからである。

各素数 に対して、極大クラスのp群の一意のツリーには、TTT と TKT に関する情報、つまりについては、についてはが与えられます。最後のケースでは、ツリーはメタベル群に制限されます。 ${\displaystyle p\in \{2,3,5\}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(\langle 4,2\rangle )}$${\displaystyle p=2,{\mathcal {T}}^{1}(\langle 9,2\rangle )}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(\langle 25,2\rangle )}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle 5}$

図5の共クラスの群は、ブラックバーンの表現とは全く異なる、次のようなパラメータ化された多環式pc表現によって定義することができる。^[10]${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$

2 ${\displaystyle {\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{2}=s_{c}^{w},\ y^{2}=s_{c}^{z},\ s_{j}^{2}=s_{j+1}s_{j+2}{\text{ for }}2\leq j\leq c-2,\ s_{c-1}^{2}=s_{c},\\&s_{2}=[y,x],\ s_{j}=[s_{j-1},x]=[s_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

ここで、冪零性類は、位数は、およびはパラメータです。枝は、前周期および周期長で厳密に周期的であり、深さおよび幅 を持ちます。分極は第 3 成分で発生し、TTT は であり、巡回 でのみ、および に依存します。TKT はパラメータ に依存し、の二面体主線頂点では、 の終端一般化四元数群では、の終端半二面体群では です。例外が 2 つあり、 および のアーベル根と、およびの通常の四元数群です。 ${\displaystyle c\geq 3}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n=c+1}$${\displaystyle w,z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \tau =[(1^{2}),(1^{2}),A(2,c)]}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A(2,c)}$${\displaystyle \varkappa =(210)}$${\displaystyle w=z=0}$${\displaystyle \varkappa =(213)}$${\displaystyle w=z=1}$${\displaystyle \varkappa =(211)}$${\displaystyle w=1,z=0}$${\displaystyle \tau =[(1),(1),(1)]}$${\displaystyle \varkappa =(000)}$${\displaystyle \tau =[(2),(2),(2)]}$${\displaystyle \varkappa =(123)}$

図6の共クラスの群は、ブラックバーンの表現とは少し異なる、次のパラメータ化された多環式pc表現によって定義できます。^[10]${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1}$

3 ${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

ここで、冪零性類は、位数は、および はパラメータです。枝は、前周期および周期長で厳密に周期的であり、深さおよび幅 を持ちます。分極は最初の成分で発生し、TTT は であり、およびのみに依存します。TKT はパラメータ に依存し、主頂点 に対して 、終端頂点 に対して、終端頂点 に対して、終端頂点 に対して です。例外が であるアーベル根、およびである指数 の特別な群、およびである交代群のSylow部分群の3 つが存在します。主頂点と奇数枝上の頂点は- 群です。 ${\displaystyle c\geq 5}$${\displaystyle 3^{n}}$${\displaystyle n=c+1}$${\displaystyle a,w,z}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle \tau =[A(3,c-a),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varkappa =(0000)}$${\displaystyle a=w=z=0,\varkappa =(1000)}$${\displaystyle a=0,w=1,z=0,\varkappa =(2000)}$${\displaystyle a=w=0,z=\pm 1}$${\displaystyle \varkappa =(0000)}$${\displaystyle a=1,w\in \{-1,0,1\},z=0}$${\displaystyle \tau =[(1),(1),(1),(1)]}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle \tau =[(1^{2}),(2),(2),(2)]}$${\displaystyle \varkappa =(1111)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle A_{9}}$${\displaystyle \tau =[(1^{3}),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]}$${\displaystyle \sigma }$

図7の共クラスのメタベル 群は、Miechの表現とは少し異なる、次のパラメータ化された多環式pc表現によって定義できます。^[21]${\displaystyle 5}$${\displaystyle 1}$

4 ${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{5}=s_{c}^{w},\ y^{5}=s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

ここで、冪零性類は、位数は、および はパラメータです。(メタベル的!)枝は、前周期および周期長で厳密に周期的であり、深さおよび幅 を持ちます。(非メタベル的群を含む完全な木の枝は、事実上周期的であるだけで、幅は有界ですが、深さは無界です!) 分極は最初の要素で発生し、TTT は であり、 および可換性の欠陥にのみ依存します。TKT はパラメータ に依存し、の主頂点については、の終端頂点については、の終端頂点については、の頂点については です。例外が 3 つあり、 のアーベル根、および の指数の特別な群、および の群です。主頂点と奇数枝上の頂点は-群です。 ${\displaystyle c\geq 3}$${\displaystyle 5^{n}}$${\displaystyle n=c+1}$${\displaystyle a,w,z}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 67}$${\displaystyle \tau =[A(5,c-k),(1^{2})^{5}]}$${\displaystyle c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \varkappa =(0^{6})}$${\displaystyle a=w=z=0,\varkappa =(10^{5})}$${\displaystyle a=0,w=1,z=0,\varkappa =(20^{5})}$${\displaystyle a=w=0,z\neq 0}$${\displaystyle \varkappa =(0^{6})}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \tau =[(1)^{6}]}$${\displaystyle 25}$${\displaystyle \tau =[(1^{2}),(2)^{5}]}$${\displaystyle \varkappa =(1^{6})}$${\displaystyle \langle 15625,631\rangle }$${\displaystyle \tau =[(1^{5}),(1^{2})^{5}]}$${\displaystyle \sigma }$

の 3 つの共クラス ツリー、、には、TTT と TKT に関する情報が付与されます。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$${\displaystyle p=3}$

木上では、図8の双環中心を持つ共クラスの群は、次のパラメータ化された多環式pc表現によって定義できます。 ^[11]${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$

5 ${\displaystyle {\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

ここで、冪零性類は、位数は、および はパラメータです。枝は、前周期および周期長で厳密に周期的であり、深さおよび幅 を持ちます。分極化は最初の成分で発生し、TTT は であり、 にのみ依存します。TKT はパラメータ に依存し、 の 主頂点では、 の可能な頂点では、 の終端頂点では、 の終端頂点では です。主頂点および偶数枝上の頂点は- グループです。 ${\displaystyle c\geq 5}$${\displaystyle 3^{n}}$${\displaystyle n=c+2}$${\displaystyle w,z}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 18}$${\displaystyle \tau =[A(3,c),(1^{3}),(21),(21)]}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \varkappa =(0122)}$${\displaystyle w=z=0}$${\displaystyle \varkappa =(2122)}$${\displaystyle w=0,z=\pm 1}$${\displaystyle \varkappa =(1122)}$${\displaystyle w=1,z=0}$${\displaystyle \varkappa =(3122)}$${\displaystyle w=1,z=\pm 1}$${\displaystyle \sigma }$

木上では、図9の双環中心を持つ共クラスの群は、次のパラメータ化された多環式pc表現によって定義できます。 ^[11]${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$

6 ${\displaystyle {\begin{aligned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,t_{2},s_{3},t_{3},\ldots ,t_{c}\mid {}\\&y^{3}=s_{3}t_{c}^{w},\ x^{3}=t_{3}t_{4}^{2}t_{5}t_{c}^{z},\ t_{j}^{3}=t_{j+2}^{2}t_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ t_{c-2}^{3}=t_{c}^{2},\ s_{3}^{3}=1,\\&t_{2}=[y,x],\ s_{3}=[t_{2},x],\ t_{j}=[t_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

ここで、冪零性類は、位数は、および はパラメータです。枝は、前周期および周期長で厳密に周期的であり、深さおよび幅 を持ちます。分極化は第 2 成分で発生し、TTT はであり、 にのみ依存します。TKT はパラメータ に依存し、 の 主頂点では、 の可能な頂点では、 の終端頂点では、 の終端頂点では です。主頂点および偶数枝上の頂点は- グループです。 ${\displaystyle c\geq 6}$${\displaystyle 3^{n}}$${\displaystyle n=c+2}$${\displaystyle w,z}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 16}$${\displaystyle \tau =[(21),A(3,c),(21),(21)]}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \varkappa =(2034)}$${\displaystyle w=z=0}$${\displaystyle \varkappa =(2134)}$${\displaystyle w=0,z=\pm 1}$${\displaystyle \varkappa =(2234)}$${\displaystyle w=1,z=0}$${\displaystyle \varkappa =(2334)}$${\displaystyle w=1,z=\pm 1}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,3\rangle )}$およびについては、 およびについては。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,4\rangle )}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )}$${\displaystyle p=3}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,11\rangle )}$については、については。 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 81,12\rangle )}$${\displaystyle p=3}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,13\rangle )}$、およびの場合。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,18\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,21\rangle )}$${\displaystyle p=3}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )}$およびについては、 およびについては。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,181\rangle )}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,38\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,41\rangle )}$${\displaystyle p=3}$

代数的整数論と類体理論では、有限p群 の構造化された子孫木（SDT）は、

• 代数体に関連するさまざまな非可換p群の位置を視覚化する、${\displaystyle G(K)}$${\displaystyle K}$
• 対応する頂点に付けられたラベルにグループに関する追加情報を表示し、${\displaystyle G(K)}$
• 共クラスツリーの枝上のグループの発生の周期性を強調します。${\displaystyle G(K)}$

たとえば、を素数とし、 が代数体 の2 番目のヒルベルトpクラス体、つまり の次数 a 乗の の最大メタアーベル非分岐拡大を表すものとします。の2 番目のpクラス群は通常、導来長の非アーベルp群であり、のpクラス体タワー全体、つまり の最大非分岐プロパp拡大のガロア群について結論を導き出すことがしばしば可能になります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle F_{p}^{2}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G_{p}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K)|K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G_{p}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K)|K)}$${\displaystyle F_{p}^{\infty }(K)}$${\displaystyle K}$

固定の署名を持つ代数的数体のシーケンスが判別式の絶対値によって順序付けられている場合、頂点が体の第 2 pクラス群によって完全にまたは部分的に実現される適切な構造化コクラス ツリー (SCT)またはコクラス グラフの有限散在部分は、実現された各頂点が、 となる体に関するデータにマップされるときに追加の算術構造を持ちます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle (r_{1},r_{2})}$${\displaystyle d=d(K)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$${\displaystyle G_{p}^{2}(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle V\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle V=G_{p}^{2}(K)}$

具体的には、固定シグネチャを持ち、型不変量を持つ -クラス群を持つ複素2次体を考えます。OEIS A242863 [1]を参照してください。これらの2番目の-クラス群は、範囲 についてはDC Mayer ^[17]によって決定され、最近では、拡張された範囲 についてはN. Boston、MR Bush、F. Hajir ^[22]によって決定されました。 ${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle (3,3)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G_{3}^{2}(K)}$${\displaystyle -10^{6}<d<0}$${\displaystyle -10^{8}<d<0}$

まず、図 8 と 9 で既にわかっている2 つの構造化コクラス ツリー (SCT)とを選択し、実現された頂点を円で囲み、隣接する下線付きの太字の整数を付加することで、これらのツリーに追加の算術構造を与えます。この整数は、第 2クラス グループによって実現されるような最小の絶対判別式を与えます。次に、図 10 と 11 の算術的に構造化されたコクラス ツリー(ASCT)を取得します。これらは、特に、第 2 クラス グループの実際の分布の印象を与えます。^[11] OEIS A242878 [2] を参照してください。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \min\{|d|\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G_{3}^{2}(K(d))}$${\displaystyle 3}$

複素二次体の第2級群の発生周期性に関しては、図10と11の樹形の枝の1つおきにのみこれらのメタベル群が存在することが証明されており^[17]、分布は枝の基底状態（GS）から始まり、枝の偶数ではより高い励起状態（ES）へと続く。この周期性現象は、固定されたTKTを持つ3つのシーケンスによって支えられている ^[16]。${\displaystyle 3}$${\displaystyle G_{3}^{2}(K(d))}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(j)}$${\displaystyle j\geq 8}$

• E.14 、OEIS A247693 [3]、${\displaystyle \varkappa =(3122)}$
• E.6 、OEIS A247692 [4]、${\displaystyle \varkappa =(1122)}$
• H.4 、OEIS A247694 [5]${\displaystyle \varkappa =(2122)}$

ASCTと固定TKTによる3つのシーケンス ^[16]${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$

• E.9 、OEIS A247696 [6]、${\displaystyle \varkappa =(2334)}$
• E.8 、OEIS A247695 [7]、${\displaystyle \varkappa =(2234)}$
• G.16 、OEIS A247697 [8]${\displaystyle \varkappa =(2134)}$

ASCT について。現在までに、^[22] 6つのシーケンスのそれぞれについて基底状態と3つの励起状態が知られており、TKT E.9 では4番目の励起状態もすでに発生しています。6つの周期シーケンスのそれぞれのさまざまな状態の最小絶対判別式を表2に示します。基底状態 (GS) と最初の励起状態 (ES1) のデータは DC Mayer から取得しました。^[17] 2番目、3番目、4番目の励起状態 (ES2、ES3、ES4) に関する最新の情報は N. Boston、MR Bush、F. Hajir によるものです。 ^[22]${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$${\displaystyle \varkappa =(2334)}$

対照的に、次にコクラス グラフの散在部分を選択して、子孫ツリーに追加の算術構造を付加する別の方法が、たとえば、与えられた上限 未満の絶対判別式を持つ第 2クラス グループによる実現された頂点のヒットのカウンタを表示することであることを示します。タイプおよび判別式のクラス グループを持つすべての複素二次体の合計カウンタに関して、これは図 12 および表 3 の個体群の漸近密度の近似として相対頻度を与えます。の有限散在部分のちょうど 4 つの頂点に、第 2クラス グループが存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ ${\displaystyle \#\{|d|<b\mid V=G_{3}^{2}(K(d))\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G_{3}^{2}(K(d))}$ ${\displaystyle b}$${\displaystyle b=10^{8}}$ ${\displaystyle 276375}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle (3,3)}$${\displaystyle -b<d<0}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle G_{3}^{2}(K(d))}$

• ${\displaystyle \langle 243,5\rangle }$、OEIS A247689 [9]、
• ${\displaystyle \langle 243,7\rangle }$、OEIS A247690 [10]、
• ${\displaystyle \langle 729,45\rangle }$、OEIS A242873 [11]、
• ${\displaystyle \langle 729,57\rangle }$、OEIS A247688 [12]。

ここで、固定された符号と型 のpクラス群を持つ複素二次体について考えます。これらの体の第 2 pクラス群の支配的な部分は、コクラス グラフ の散在部分の位数の最上位の頂点に存在し、これはP. Hall の等傾斜族の幹、またはそれらの位数 の直接の子孫に属します。素数 の場合、 の幹は正則なp群で構成され、TKT と TTT に関してかなり均一な動作を示しますが、の幹の 7 つの 群は不規則です。の幹には、コクラス ツリーの部分的なルートである無限に能力のある頂点もいくつか (および の場合)存在することに注意してください。ただし、ここでは、孤立した Schur群(の場合、およびの場合) または 内の有限ツリーのルート(各 の場合)である散在頂点に焦点を当てます。に対して、シュアー群のTKTは、そのサイクル分解に転置が含まれない順列であるのに対し、有限木の根のTKTは、偶数個（または）の不動点 を持つ互いに素な転置の合成体である。${\displaystyle p\in \{3,5,7\}}$${\displaystyle K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (p,p)}$${\displaystyle p^{5}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,2)}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$ ${\displaystyle \Phi _{6}}$${\displaystyle p^{6}}$${\displaystyle p>3}$${\displaystyle \Phi _{6}}$${\displaystyle p+7}$ ${\displaystyle 3}$${\displaystyle \Phi _{6}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle p>3}$${\displaystyle \Phi _{6}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle p+1}$${\displaystyle p>3}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,2)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle p>3}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2}$

最小絶対判別式を各実現頂点に付加することで、フォレスト （子孫ツリーの有限和集合）に追加の算術構造を与えます。 結果として得られる構造化された散発的共クラスグラフは、については図 13 に、 については図 14 に、 については図 15 に示されています。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,2)}$ ${\displaystyle \min\{|d|\mid V=G_{p}^{2}(K(d))\}}$${\displaystyle V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,2)}$${\displaystyle p=3}$${\displaystyle p=5}$${\displaystyle p=7}$