共有限性

数学において、集合の有限部分集合${\displaystyle X}$部分集合である${\displaystyle A}$その補数は${\displaystyle X}$は有限集合です。言い換えれば、${\displaystyle A}$有限個の要素を除くすべての要素を含む${\displaystyle X.}$補集合が有限集合ではなく可算集合である場合、その集合は可算集合であると言う。

これらは、有限集合上の構造を無限集合、特に積位相や直和などの無限積に一般化するときに自然に生じます。

集合の補集合が持つ性質を表すために接頭辞「co 」を用いるこの方法は、「 c​​o meagre set 」などの他の用語における使用法と一致している。

すべての部分集合の集合${\displaystyle X}$有限または余有限のいずれかであるものはブール代数を形成し、これは和集合、積集合、補集合の演算に関して閉じていることを意味します。このブール代数は有限-余有限代数${\displaystyle X.}$

反対方向には、ブール代数${\displaystyle A}$一意の非主超フィルター（すなわち、代数の単一の要素によって生成されない最大フィルター）を持つのは、無限集合が存在する場合に限る。${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle A}$は有限-余有限代数と同型である${\displaystyle X.}$この場合、非主超フィルターは、すべての余有限部分集合の集合である。${\displaystyle X}$。

有限補集合位相または有限補集合位相は、あらゆる集合上で定義できる位相である。${\displaystyle X.}$それは、空集合とすべての有限部分集合を正確に持つ。${\displaystyle X}$開集合として。結果と​​して、余有限位相では、閉部分集合は有限集合、または全体の${\displaystyle X.}$このため、余有限位相は有限閉位相とも呼ばれる。記号的には、位相は次のように表される。 $${\displaystyle {\mathcal {T}}=\{A\subseteq X:A=\varnothing {\mbox{ または }}X\setminus A{\mbox{ は有限である}}\}.}$$

この位相は、ザリスキー位相の文脈で自然に現れます。体上の1変数多項式は${\displaystyle K}$有限集合ではゼロ、または全体の${\displaystyle K,}$ザリスキー位相${\displaystyle K}$（アフィン直線とみなされる）は余有限位相である。これは任意の既約代数曲線についても同様である。ただし、例えば、についてはそうではない。${\displaystyle XY=0}$飛行機の中で。

• フレシェフィルター– 与えられた集合のすべての余有限部分集合の集合 
• トポロジー一覧– 具体的なトポロジーと位相空間の一覧 

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( 1978年版のドーバー 復刻版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446​ （例18を参照）