アデルリング

数学において、大域体のアデール環（アデール環、アデール環、アデール環^[1]とも呼ばれる）は、代数的整数論の一分野である類体論の中心的な対象である。これは大域体のすべての完備化の制限積であり、自己双対位相環の例である。

アデールは、特定の種類のイデールから派生したものです。「イデール」はフランス語の「idèle」に由来し、フランスの数学者クロード・シュヴァレーによって造られました。この単語は「理想元」（略称：id.el.）を表します。アデール（フランス語：「adèle」）は「加法的なイデール」（つまり、加法的な理想元）を表します。

アデール環により、アルティンの相互法則（二次相互法則の一般化）や有限体上の他の相互法則を記述することができます。さらに、有限体上の代数曲線上の-バンドルは簡約群のアデールで記述できるというのは、ヴェイユの古典的な定理です。アデールは、アデール代数群やアデール曲線とも関連しています。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

数体のアデール環上の数の幾何学の研究は、アデール幾何学と呼ばれます。

を大域体（の有限拡大または有限体上の曲線の関数体）とする。のアデール環は部分環である。${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }}$

は、有限個以外のすべての場所で が部分環 内にある組から構成される。ここで、インデックスはグローバル体 のすべての値の範囲であり、はその値と対応する値環での完備化である。^[2]${\displaystyle (a_{\nu })}$${\displaystyle a_{\nu}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$

アデル環は、「有理数 の解析を行う」という技術的な問題を解決します。古典的な解決策は、標準的な計量完備化に進み、そこで解析手法を使用することでした。^{[説明が必要]}しかし、後に学んだように、ユークリッド距離の他にも、オストロフスキーによって分類されたように、各素数 に 1 つずつ、絶対値が多数存在します。 と表記されるユークリッド絶対値は、その他多数 のうちの 1 つにすぎませんが、アデル環を使用すると、すべての評価を一度に理解して使用できるようになります。これには、素数の構造が制限された無限積に埋め込まれているため、素数に関する情報を保持しながら解析手法を使用できるという利点があります。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle |\cdot |_{p}}$

アデール環の目的は、 のすべての完備化を一度に調べることです。アデール環は、直積ではなく、制限された積 で定義されます。これには 2 つの理由があります。 ${\displaystyle K}$

• の各要素について、評価はほとんどすべての場所、つまり有限数を除くすべての場所でゼロになります。したがって、グローバル フィールドは制限された積に埋め込むことができます。${\displaystyle K}$
• 制限積は局所コンパクト空間ですが、直積はそうではありません。したがって、直積に調和解析を適用することはできません。これは、局所コンパクト性によって、一般に群の解析で重要なツールであるハール測度の存在(および一意性)が保証されるためです。

制限無限積は、数体に の内部に格子構造を与えるために必要な技術的条件であり、アデリック設定でフーリエ解析（調和解析を参照）の理論を構築することが可能になる。これは、代数的数論において代数的数体の整数環が を埋め込む状況に類似している。${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K}$

格子として。新しいフーリエ解析理論の力により、テイトはL関数の特別なクラスとデデキントゼータ関数が複素平面上で有理型であることを証明した。この技術的条件が成り立つもう1つの自然な理由は、アデル環を環のテンソル積として構成することでわかる。積分アデル環を環として定義すると、${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}=\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p},}$

アデールの環は次のように定義できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right).\end{aligned}}}$

この環の明示的な要素を見ると、制限された積の構造が明らかになります。制限されていない積の内部の要素のイメージは、要素${\displaystyle b/c\otimes (r,(a_{p}))\in \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$${\textstyle \mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Q} _{p}}$

${\displaystyle \left({\frac {br}{c}},\left({\frac {ba_{p}}{c}}\right)\right).}$

が の素因数でない場合は常に の因数となり、これは有限個の素数 を除くすべての素数 の場合に当てはまります。^[3]${\displaystyle ba_{p}/c}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle c}$${\displaystyle p}$

「イデル」（フランス語：idèle ）という用語は、フランスの数学者クロード・シュヴァレー（1909-1984）の発明であり、「理想元」（略称：id.el.）を表します。「アデル」（フランス語： adèle ）という用語は、加法的なイデルを表します。したがって、アデルは加法的な理想元です。

有理数は、任意の素数 に対して の値を持ち、に対して の無限の値∞ を持つ。したがって、 の元は ${\displaystyle K={\mathbf {Q}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })=(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{\infty }=\mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$

は実数であり、それぞれp進有理数であり、有限数を除いてすべてがp進整数です。 ${\displaystyle p}$

次に、有限体上の射影直線の関数体を取る。その値はの点、すなわち 上の写像に対応する。${\displaystyle K=\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})=\mathbf {F} _{q}(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.}$

例えば、の形の点が存在します。この場合、 は における構造層の完全な茎（つまり、 の形式的近傍上の関数）であり、はその分数体です。したがって、 ${\displaystyle q+1}$${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }={\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K_{\nu }=K_{X,x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K}}_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).}$

同じことが有限体上の任意の滑らかな真曲線にも当てはまり、制限積は のすべての点にわたって存在します。 ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$${\displaystyle x\in X}$

アデール環の単位群はイデール群と呼ばれる。

${\displaystyle I_{K}=\mathbf {A} _{K}^{\times }}$。

イデアを部分群で割ったものをイデア類群と呼ぶ。${\displaystyle K^{\times }\subseteq I_{K}}$

${\displaystyle C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.}$

積分アデールは部分環である

${\displaystyle \mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.}$

アルティンの相互法則によれば、大域場に対して、 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)}$

ここで、は の最大アーベル代数拡大であり、 は群の profinite完備化を意味します。${\displaystyle K^{ab}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\widehat {(\dots )}}}$

が滑らかな真曲線である場合、そのピカール群は^[4]${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$

${\displaystyle {\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$

そしてその因子群は である。同様に、 が半単純代数群（例えば、 についても成り立つ）である場合、ヴェイユの均一化は^[5]であると言う。${\displaystyle {\text{Div}}(X)=\mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$${\displaystyle G}$${\textstyle SL_{n}}$${\displaystyle GL_{n}}$

${\displaystyle {\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X}).}$

これを に適用すると、ピカール グループの結果が得られます。 ${\displaystyle G=\mathbf {G} _{m}}$

には商がコンパクトな位相があり、それに対して調和解析を行うことができます。ジョン・テイトは、論文「数体とヘッケゼータ関数におけるフーリエ解析」^{[6]で、アデール環とイデール群のフーリエ解析を使用して}ディリクレL関数に関する結果を証明しました。したがって、アデール環とイデール群は、リーマンゼータ関数やより一般的なゼータ関数とL関数の研究に適用されてきました。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{K}/K}$

が複素数上の滑らかな真曲線である場合、その関数体のアデールを有限体の場合と全く同じように定義することができる。ジョン・テイトは[ ^7]、${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {C} (X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}}$

このアデール環を扱うことで、 を演繹することができます。ここで、L は上の線束です。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {C} (X)}}$${\displaystyle X}$

この記事全体を通じて、はグローバル フィールドです。つまり、 は数体( の有限拡大) またはグローバル関数体(素数およびに対するの有限拡大) のいずれかです。定義により、グローバル フィールドの有限拡大は、それ自体がグローバル フィールドです。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{r}}(t)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

の付値 に対して、の完備化に対して を について書くことができます。が離散的である場合、 の付値環に対して、の極大イデアルに対してを書くことができます。これが均一化元を で表す主イデアルである場合、非アルキメデスの付値は または と書き、アルキメデスの付値は と書きます。 この場合、すべての付値は非自明であると仮定します。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$${\displaystyle O_{v}.}$${\displaystyle \pi _{v}.}$${\displaystyle v<\infty }$${\displaystyle v\nmid \infty }$${\displaystyle v|\infty .}$

評価と絶対値は 1 対 1 で識別されます。定数を固定すると、評価には次のように定義される絶対値が割り当てられます。 ${\displaystyle C>1,}$${\displaystyle v}$${\displaystyle |\cdot |_{v},}$

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

逆に、絶対値には次のように定義される評価が割り当てられます。 ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle v_{|\cdot |},}$

${\displaystyle \forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).}$

の位は、の付値（または絶対値）の同値類の代表である。非アルキメデスの付値に対応する位は有限 と呼ばれ、アルキメデスの付値に対応する位は無限と呼ばれる。大域体の無限位は有限集合を形成し、それは次のように表される。${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle P_{\infty }.}$

を定義し、その単位群とする。すると${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}}$${\displaystyle {\widehat {O}}^{\times }}$${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.}$

を大域体の有限拡大とし、をの場所で、を の場所とします。に制限された絶対値がの同値類に含まれる場合、 は の上にあり、 は で表され、次のように定義されます。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle w}$${\displaystyle L}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle |\cdot |_{w}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle w|v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w|v}O_{w}.\end{aligned}}}$

(両方の積が有限であることに注意してください。)

ならば、 は に埋め込むことができる。したがって、 は に対角的に埋め込まれる。この埋め込みにより、は次数 の 上の可換代数となる。${\displaystyle w|v}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle L_{w}.}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle L_{v}.}$${\displaystyle L_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle \sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].}$

で表される大域体の有限アデール${\displaystyle K,}$の集合は、の制限積として定義されます。${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle O_{v}:}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.(x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ for almost all }}v\right\}.}$

制限された積トポロジ、つまり制限された開いた長方形によって生成されるトポロジが装備されており、次の形式を持ちます。

${\displaystyle U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},}$

ここで、は有限の（有限の）場所の集合であり、は開いています。成分ごとの加算と乗算により、も環になります。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$

大域体のアデール環は、 その無限の場所におけるの完備化の積との の積として定義されます。無限の場所の数は有限であり、完備化はまたは のいずれかです。簡単に言うと、 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.}$

加法と乗法を成分ごとに定義すると、アデール環は環となる。アデール環の元はアデールと${\displaystyle K.}$呼ばれる。以下では次のように表記される。

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},}$

ただし、これは一般的に制限された製品ではありません。

注意:グローバル関数体には無限の場所がないので、有限アデール環はアデール環に等しくなります。

補題 対角写像によって与えられるへの自然な埋め込みが存在する:${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle a\mapsto (a,a,\ldots ).}$

証明。のとき、ほぼすべてに対して となる。これは写像が明確に定義されていることを示している。 の埋め込みがすべてのに対して単射であることから、写像も単射である。${\displaystyle a\in K,}$${\displaystyle a\in O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle v.}$

注：対角写像の下での像と同一視することにより、それは の部分環とみなされる。の元は の主アデールと呼ばれる。${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

定義。を の位の集合とします。の -adeleの集合を として定義します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.}$

さらに、もし

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}}$

結果は次のとおりです。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

オストロフスキーの定理により、の位は、次のように定義される絶対値の同値類と、 - 進絶対値の同値類を持つ素数を識別することが可能です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prime}}\}\cup \{\infty \},}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}$

場所に関するの完成は、評価環を伴います。場所については、完成は、したがって、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\left({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}}$

または略して

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .}$

制限付き積トポロジと制限なし積トポロジの違いは、次のシーケンスを使用して説明できます。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

補題.における次のシーケンスを考えます。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}$

積位相ではこれは に収束しますが、制限積位相ではまったく収束しません。${\displaystyle (1,1,\ldots )}$

証明。積位相では、収束は各座標の収束に対応し、シーケンスが定常になるため、これは自明です。シーケンスは制限された積位相では収束しません。各アデルと各制限された開いた長方形について、次のようになります。に対して、したがってすべて に対して結果として、ほとんどすべてに対してこの考察では、およびはすべての場所の集合の有限部分集合です。 ${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p\notin F.}$${\displaystyle x_{n}-a\notin U}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

定義（非有限整数）。非有限整数は、半順序を持つ環の非有限完備化として定義される。すなわち、 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

補題。 ${\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

証明。これは中国剰余定理に従う。

補題。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

証明。テンソル積の普遍性を用いる。-双線形関数 を定義する。${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}}$

これは明確に定義されています。なぜなら、互いに素である与えられた に対して、を割り切れる素数は有限個しかないからです。 を-双線型写像を持つ別の- 加群とします。 は一意に因数分解できる必要があります。つまり、次のように定義できる一意の -線型写像が存在する必要があります。 与えられた に対して、すべての に対して となる および が存在し、定義します。 は明確に定義され、-線型であり、を満たし、これらの特性を持つ一意であることが示されます。 ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M}$${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$${\displaystyle (u_{p})_{p}}$${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }$

系。定義すると代数同型となる。${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

証拠。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

補題。数体に対して${\displaystyle K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

注意。被加数がある場合、右辺に積位相を与え、この位相を同型を介して上に移す。${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

が有限拡大の場合、は大域体です。したがって、が定義され、のサブグループと同一視できます。をにマップすると、のサブグループに属し、の同じ場所の上にあるすべての に対して となります。${\displaystyle L/K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$${\displaystyle w|v.}$${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$${\displaystyle w|v}$${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$${\displaystyle w,w'}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$

補題。が有限拡張である場合、代数的にも位相的にも。${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$

この同型性を利用して、包含関係は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1\end{cases}}}$

さらに、 の主要なアデールは、の主要なアデールのサブグループと、マップを介して 同一視できる。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\otimes _{K}\alpha \end{cases}}}$

証明。^[8]を の基底とすると、ほぼすべての${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v,}$

${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.}$

さらに、次の同型が存在します。

${\displaystyle K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}}$

2番目にマップを使用します:

${\displaystyle {\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}}$

は標準埋め込みであり、制限積は両辺について取られる。${\displaystyle \tau _{w}:L\to L_{w}}$${\displaystyle w|v.}$${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

系。右辺に加数がある加法群として。${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle [L:K]}$

の主アデールの集合は、左辺に被加数を持つ集合と同一視され、の部分集合として考えられます。${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle K\oplus \cdots \oplus K,}$${\displaystyle [L:K]}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

補題。が の有限集合であるとし、定義する。 ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.}$

積位相を備え、加算と乗算を成分ごとに定義します。すると、局所的にコンパクトな位相環になります。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

注意：がを含む別の有限集合である場合、 はの開部分環である。${\displaystyle P'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P').}$

ここで、アデール環の別の特徴付けを示すことができます。アデール環は、すべての集合の和集合です。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).}$

同様に、はすべて の集合であり、ほぼすべて に対してとなります。の位相は、すべてがの開部分環であるという要件によって誘導されます。したがって、は局所的にコンパクトな位相環です。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$${\displaystyle v<\infty .}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

の場所を固定し、を含む場所の有限集合をとします。定義 ${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P_{\infty }.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}O_{w}.}$

それから：

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}$

さらに定義する

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}$

ここで、 はを含むすべての有限集合を通る。すると、次のようになる。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}$

マップを介して上記の手順全体は、有限部分集合の代わりに${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}$${\displaystyle {\widetilde {P}}}$${\displaystyle \{v\}.}$

の構成により、自然な埋め込みが存在する。さらに、自然な投影が存在する。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v),}$${\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.}$

を 上の有限次元ベクトル空間とし、を上の基底とします。の各位置について: ${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}}$

のアデル環は次のように定義される。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.}$

この定義は、数体に対するアデール環の別の定義を与える際に定義されたのと同じ位相を備えたテンソル積としてのアデール環の別の記述に基づいています。次に、制限された積位相を備えています。次に、およびは写像を介して自然に埋め込まれます。${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle e\mapsto e\otimes 1.}$

上の位相の別の定義を提供することもできます。すべての線形写像を考えます。自然な埋め込みを使用して、これらの線形写像を次のように拡張します。上の位相は、これらすべての拡張が連続する最も粗い位相です。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle E\to K.}$${\displaystyle E\to \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle K\to \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$

位相は別の方法で定義することもできます。の基底を固定すると同型になります。したがって、基底を固定すると同型が誘導されます。左辺には積位相が提供され、この位相を同型とともに右辺に移します。別の基底が2番目の同型を定義するため、位相は基底の選択に依存しません。両方の同型を合成すると、2つの位相を互いに転送する線型同相が得られます。より正式には ${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E\cong K^{n}.}$${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

ここで、和は被加数を持つ。上記の定義の場合、有限拡大のアデール環に関する結果と整合する。${\displaystyle n}$${\displaystyle E=L,}$${\displaystyle L/K.}$

^[9]

を 上の有限次元代数とします。特に、は 上の有限次元ベクトル空間です。結果として、が定義され、 には乗算があり、 には乗算があるため、は次のように定義できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).}$

結果として、は 上の単位を持つ代数である。を 上の基底を含むの有限部分集合とする。任意の有限の場所 に対して、は でによって生成される - 加群として定義される。場所の有限集合ごとに、 定義する。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle M_{v}}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A_{v}.}$${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.}$

有限集合が存在するので、が の開部分環であることを示すことができます。さらに はこれらすべての部分環の和集合であり、 の場合、上記の定義はアデール環の定義と一致します。 ${\displaystyle P_{0},}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A},}$${\displaystyle P\supset P_{0}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$${\displaystyle A=K,}$

を有限拡張とする。 および なので、上記の補題から、は の閉じた部分環として解釈できる。この埋め込みについて、 と書く。上ののすべての場所に対して明示的に、任意の${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle L}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.}$

をグローバル フィールドのタワーとします。すると、次のように なります。${\displaystyle M/L/K}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}$

さらに、主なアデルに限定されているのは、自然注射である${\displaystyle \operatorname {con} }$${\displaystyle K\to L.}$

を体拡大の基底とすると、それぞれは一意であると書き表すことができます。マップは連続です。方程式を介して に応じて定義します。${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$${\displaystyle L/K.}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{L}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},}$${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{j}}$${\displaystyle \alpha _{ij}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}}$

ここで、 のトレースとノルムを次のように定義します。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}}$

これらは線形写像のトレースと行列式である

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{cases}}}$

これらはアデール環上の連続写像であり、通常の方程式を満たします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

さらに、およびは、体拡大のトレースおよびノルムと同一です。体の塔の場合、結果は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha \in L,}$${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )}$${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$${\displaystyle L/K.}$${\displaystyle M/L/K,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}}$

さらに、次のことが証明できる: ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

定理^[11]任意の場所の集合は局所コンパクトな位相環である。${\displaystyle S,\mathbb {A} _{K,S}}$

注意：上記の結果は、ベクトル空間と代数のアデール環にも当てはまります。${\displaystyle K.}$

定理^[12]は 離散的かつココンパクトであり、特に、は閉じている。${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

証明。離散的であることを示すには、他の有理数を含まない 近傍の存在を示せば十分です。一般的なケースは変換によって得られます。定義${\displaystyle K=\mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).}$

${\displaystyle U}$は の開近傍である。すると、すべてに対してとなり、したがって となると主張される。さらに 、したがって となる。次に、コンパクト性を示すために、次のように定義する。 ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$${\displaystyle U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.}$${\displaystyle \beta \in U\cap \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$${\displaystyle |\beta |_{p}\leq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle \beta \in (-1,1)}$${\displaystyle \beta =0.}$

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].}$

の各要素には、 の代表値があります。各 に対して となるものが存在し、 が任意の素数であるとします。すると となるものが存在し、が で置き換えられ、 が別の素数であるとします。すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$${\displaystyle W,}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha -\beta \in W.}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |\alpha _{p}|>1.}$${\displaystyle r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}}$${\displaystyle z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha -r_{p}}$${\displaystyle q\neq p}$

${\displaystyle \left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.}$

次に、次のように主張できます。

${\displaystyle |\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.}$

逆の含意は自明に真です。 両方の整数の絶対値が異なる場合、強い三角不等式の 2 つの項は等しいため、含意は真です。 結果として、 の成分が に含まれない(有限の) 素数集合は1 だけ減ります。 反復により、 が存在することが推測できます。次に、となるものを選択します。すると、連続射影は全射であるため、コンパクト集合の連続像として、 はコンパクトです。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \alpha _{\infty }-r-s\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].}$${\displaystyle \alpha -(r+s)\in W.}$${\displaystyle \pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,}$

系。を 上の有限次元ベクトル空間とすると、 は離散的かつココンパクトである。${\displaystyle E}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$

定理。以下を前提とする。

• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$は分割可能な群である。^[13]
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$密です。

証明。最初の 2 つの方程式は基本的な方法で証明できます。

定義により、任意の に対して が割り切れ、方程式に解がある場合、 が割り切れることを示すだけで十分ですが、は各座標で正の特性を持つ体である ため、これは真実です。${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle nx=y}$${\displaystyle x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

最後の文では、の要素の座標の分母の有限個数は要素を介して到達できるため、が稠密であることを示すだけで十分であり、つまり各開集合にはの要素が含まれる。一般性を失うことなく、次のように仮定できる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\mathbb {Z} }},}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$${\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$

は の近傍系であるため、中国式剰余定理により、が存在する。異なる素数の累乗は互いに素であるため、が成り立つ。 ${\displaystyle (p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.}$${\displaystyle l\in V}$

注意。 は一意に割り切れません。とが与えられているとします。すると ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

どちらも方程式を満たし、明らかに（を割り切れる素数は有限個しかないため、 は明確に定義されている）。この場合、一意に割り切れることは、 に対してはねじれがないことに等しいが、に対しては真ではない。なぜなら だが、${\displaystyle nx=y}$${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$${\displaystyle nx_{2}=0,}$${\displaystyle x_{2}\neq 0}$${\displaystyle n\neq 0.}$

注意: 4 番目のステートメントは、強近似定理の特殊なケースです。

定義。関数が単純であるとは、測定可能であり、ほとんどすべての${\displaystyle f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v},}$${\displaystyle f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}}$${\displaystyle v.}$

定理^[14]は加法性を持つ局所コンパクト群なので、上に加法的なハール測度が存在する。この測度は、あらゆる積分可能な単純関数が次式を満たすように正規化できる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v},}$

ここで、 は単位測度を持ち、 はルベーグ測度であるような 上の測度です。積は有限、つまりほとんどすべての因数が 1 に等しくなります。${\displaystyle v<\infty ,dx_{v}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle dx_{\infty }}$

定義。のイデレ群を、${\displaystyle K}$のアデレ環の単位群として定義します。イデレ群の要素は、のイデレと呼ばれます。${\displaystyle K,}$${\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.}$${\displaystyle K.}$

注意。 は位相を備えているため、位相群になります。 から継承された部分集合位相は、部分集合位相を備えた位相環の単位群が位相群ではない可能性があるため、適切な候補ではありません。たとえば、 の逆写像は連続ではありません。シーケンス ${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\&\vdots \end{aligned}}}$

は収束します。これを一般性を失うことなくの近傍とすると、次のように仮定できます。 ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0,}$

${\displaystyle U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{p}}$

十分大きいので、すべての場合についてである。しかし、上で見たように、この数列の逆は収束しない。${\displaystyle (x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle x_{n}-1\in U}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

補題。位相環を次のように定義します。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto (x,x^{-1})\end{cases}}}$

上の位相と上の積から誘導される位相を備え、は位相群であり、包含写像は連続である。これは、位相群を作る上の位相から生じる最も粗い位相である。${\displaystyle R\times R}$${\displaystyle \iota ,R^{\times }}$${\displaystyle R^{\times }\subset R}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle R^{\times }}$

証明。は位相環なので、逆写像が連続であることを示すだけで十分です。を開とすると、は開になります。 が開であることを示すこと、または同値として が開であることを示すことが必要です。しかし、これは上記の条件です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle U\subset R^{\times }}$${\displaystyle U\times U^{-1}\subset R\times R}$${\displaystyle U^{-1}\subset R^{\times }}$${\displaystyle U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R}$

イデール群は補題で定義された位相を備えており、位相群となります。

定義。集合の場所の部分集合について:${\displaystyle S}$${\displaystyle K}$${\displaystyle I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.}$

補題。位相群の次の恒等式が成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

ここで、制限積は制限積位相を持ち、それは次の形式の制限開長方形によって生成される。

${\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },}$

ここで、はすべての場所の集合の有限部分集合であり、は開集合です。${\displaystyle E}$${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}^{\times }}$

証明。の恒等式を証明します。他の 2 つも同様に従います。まず、2 つの集合が等しいことを示します。 ${\displaystyle I_{K}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ and }}x_{v}\in O_{v}^{\times }{\text{ for almost all }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

2行目から3行目に行くと、ほぼ全員とほぼ全員の意味になる必要があるため、ほぼ全員${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{-1}=y}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle x_{v}\in O_{v}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x_{v}^{-1}\in O_{v}}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle x_{v}\in O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v.}$

ここで、左側の位相が右側の位相に等しいことを示すことができます。明らかに、すべての開いた制限付き長方形は、イデレ群の位相で開いています。一方、イデレ群の位相で開いている与えられた に対して、は開いているという意味なので、それぞれに対して、のサブセットであり を含む開いた制限付き長方形が存在し、したがって はこれらすべての制限付き開いた長方形の和集合であり、したがって は制限付き積位相で開いています。 ${\displaystyle U\subset I_{K},}$${\displaystyle U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u.}$${\displaystyle U}$

補題。場所の各集合に対して、は局所コンパクト位相群である。${\displaystyle S,I_{K,S}}$

証明。局所コンパクト性は、制限された積としての の記述から導かれます。それが位相群であることは、位相環の単位群に関する上記の議論から導かれます。 ${\displaystyle I_{K,S}}$

の近傍システムは の近傍システムです。あるいは、次の形式のすべての集合を取ります。 ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }}$${\displaystyle 1\in I_{K}.}$

${\displaystyle \prod _{v}U_{v},}$

ほとんどすべての近隣地域はどこですか？${\displaystyle U_{v}}$${\displaystyle 1\in K_{v}^{\times }}$${\displaystyle U_{v}=O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v.}$

イデレ群は局所コンパクトであるため、その上にハール測度が存在する。これは正規化することができ、 ${\displaystyle d^{\times }x}$

${\displaystyle \int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d^{\times }x=1.}$

これは有限位に使用される正規化です。この式では、有限イデール群、つまり有限アデール環の単位群です。無限位には、乗法ルベーグ測度を使用します。${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {dx}{|x|}}.}$

補題。 を有限拡張と します。すると、次のようになります。${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.}$

制限対象製品が${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}^{\times }.}$

補題。の標準埋め込みが存在する。${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{L}.}$

証明。に対する性質を持つ写像を に写像する。したがって、は のサブグループとみなすことができる。元がこのサブグループに属するのは、その成分が以下の性質を満たす場合のみである。に対して、 に対して、に対して、に対しての同じ場所${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in I_{K}}$${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}}$${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }}$${\displaystyle w|v.}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{L}.}$${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in I_{L}}$${\displaystyle a_{w}\in K_{v}^{\times }}$${\displaystyle w|v}$${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$${\displaystyle w|v}$${\displaystyle w'|v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K.}$

^[15]

を 上の有限次元代数とする。は一般に部分集合位相を持つ位相群ではないので、に上記と同様の位相を付与し、イデレ群と呼ぶ。 イデレ群の元は のイデレと呼ばれる。${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle A.}$

命題。を の有限部分集合とし、 を上の基底として含むものとする。の各有限場所に対して、を でによって生成される - 加群とする。を含む場所の有限集合が存在し、に対してすべて はのコンパクト部分環となる。さらに、はを含む。各 に対して はの開部分集合であり、写像はで連続である。結果として、におけるその像に同相写像する。各 に対して、 はにおける上記の関数による写像の元である。したがって、は の開コンパクト部分群である^[16]。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle \alpha _{v}}$${\displaystyle O_{v}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{v}.}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{\infty }}$${\displaystyle v\notin P_{0},}$${\displaystyle \alpha _{v}}$${\displaystyle A_{v}.}$${\displaystyle \alpha _{v}}$${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$${\displaystyle v,A_{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}}$${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$${\displaystyle A_{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}\times A_{v}.}$${\displaystyle v\notin P_{0},}$${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}^{\times },}$${\displaystyle \alpha _{v}\times \alpha _{v}}$${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$

命題。 を場所の有限集合と する。すると${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }}$

はの開部分群であり、はすべての和集合である^[17]${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times },}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.}$

系。場所の有限集合の特別な場合において、${\displaystyle A=K}$${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }}$

はの開部分群であり、さらに、すべての和集合である。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.}$

トレースとノルムはアデール環からイデール群へ移すべきである。トレースはそう簡単には移せないことが分かる。しかし、ノルムはアデール環からイデール群へ移すことは可能である。とすると、したがって、注入群準同型において、 ${\displaystyle \alpha \in I_{K}.}$${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.}$

これは可逆なので、も可逆です。したがって、結果として、ノルム関数の制限により連続関数が導入されます。 ${\displaystyle \alpha \in I_{L},}$${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$${\displaystyle (N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).}$${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.}$

${\displaystyle N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.}$

補題 対角写像によって与えられるへのの自然な埋め込みが存在する:${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K,S}}$${\displaystyle a\mapsto (a,a,a,\ldots ).}$

証明。はすべてののサブセットなので、埋め込みは明確に定義され、単射です。 ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle K_{v}^{\times }}$${\displaystyle v,}$

系。は 離散的な部分群である。${\displaystyle A^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }.}$

定義。イデアル類群と同様に、 の元はの主イデアルと呼ばれます。商群は のイデアル類群と呼ばれます。この群はイデアル類群と関連しており、類体理論における中心的な対象です。 ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}.}$${\displaystyle C_{K}:=I_{K}/K^{\times }}$${\displaystyle K.}$

注: は閉じているので、局所コンパクト位相群とハウスドルフ空間になります。 ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K},}$${\displaystyle C_{K}}$

補題^{[18] を}有限拡大とする。埋め込みにより、入射写像が誘導される。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle I_{K}\to I_{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}C_{K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}}$

定義。について定義します。 はイデアルなので、この積は有限であり、したがって明確に定義されます。 ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}}$${\displaystyle \textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.}$${\displaystyle \alpha }$

注意：定義は無限積を許容することでまで拡張できる。しかし、これらの無限積は消えてしまうので、 は 上の関数と上の関数の両方を表すために使用される。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.}$ ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

定理は 連続群準同型です。${\displaystyle |\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}}$

証明。${\displaystyle \alpha ,\beta \in I_{K}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}}$

ここで、すべての積は有限であることが使われています。マップは連続しており、これはシーケンスを扱う議論を使って見ることができます。これは、が上で連続しているかどうかという問題に帰着します。しかし、逆三角不等式により、これは明らかです。 ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle K_{v}.}$

定義。 -idele の集合は次のように定義できます。 ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).}$

${\displaystyle I_{K}^{1}}$は の部分群である。は の閉部分集合であるので、最終的に上の -位相は上のの部分集合位相に等しい^{[19] [20]}${\displaystyle I_{K}.}$${\displaystyle I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

アルティンの積算式 。${\displaystyle |k|=1}$${\displaystyle k\in K^{\times }.}$

証明。^[21]数体に対する公式の証明は、大域関数体の場合も同様に証明できる。を数体とし、次のことを示さなければならない。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle a\in K^{\times }.}$

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1.}$

対応する素イデアルがを割り切れない有限の場所 に対して、 したがってこれはほとんどすべて に対して有効です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$${\displaystyle (a)}$${\displaystyle v(a)=0}$${\displaystyle |a|_{v}=1.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}}$

1 行目から 2 行目に進むと、が の場所で、が の上にある場所で、恒等式が使用されています。2 行目から 3 行目に進むと、ノルムの特性が使用されています。ノルムは にあるので、一般性を失うことなく、 であると仮定できます。すると、 は一意の整数因数分解を持ちます。 ${\displaystyle |a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle w}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},}$

ここで、はほとんどすべて に対して成り立ちます。オストロフスキーの定理により、上のすべての絶対値は、実絶対値または-進絶対値と等しくなります。したがって、 ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty }|a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty }p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}}$

補題^[22]のみに依存する定数が存在し、任意のを満たすものに対して、任意のを満たすものが存在する。${\displaystyle C,}$${\displaystyle K,}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,}$${\displaystyle \beta \in K^{\times }}$${\displaystyle |\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}}$${\displaystyle v.}$

系。を の場所とし、をほぼすべての に対して という性質を持つものとして与えると、すべての に対してが存在する。${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \delta _{v}>0}$${\displaystyle v\neq v_{0}}$${\displaystyle \delta _{v}=1}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$${\displaystyle |\beta |\leq \delta _{v}}$${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

証明。補題から定数をとします。をの均一化元とします。アデールを最小値で定義すると、すべてに対してとなります。次に、ほぼすべてに対してとなります。で定義すると、すべてに対してとなるため、これは機能します。補題により、すべてに対してとなるが存在する。${\displaystyle C}$${\displaystyle \pi _{v}}$${\displaystyle O_{v}.}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}}$${\displaystyle \alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}}$${\displaystyle k_{v}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$${\displaystyle v\neq v_{0}.}$${\displaystyle k_{v}=0}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}}$${\displaystyle k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$${\displaystyle k_{v}=0}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$${\displaystyle |\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

定理は 離散的かつココンパクトである${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

証明。^[23]は で離散的であるため、も で離散的である。のコンパクト性を証明するために、を補題の定数とし、を満たすが与えられているとする。定義: ${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}.}$${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C}$

${\displaystyle W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ for all }}v\right\}.}$

明らかに はコンパクトです。自然な射影は射影的であると主張できます。を任意のものとすれば、次のようになります。 ${\displaystyle W_{\alpha }}$${\displaystyle W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{\times }}$${\displaystyle \beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}}$

${\displaystyle |\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.}$

すると、

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$

補題により、すべてのに対してが存在するので、自然射影の射影性が証明されます。また、連続であるため、コンパクト性が続きます。 ${\displaystyle \eta \in K^{\times }}$${\displaystyle |\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle \eta \beta \in W_{\alpha }}$

定理^[24]標準同型が存在するさらに、はの代表集合であり、はの代表集合である${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}}$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.}$

証明。地図を考えてみましょう

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}}$

この写像は明確に定義されています。なぜなら、すべての に対してであり、したがって は明らかに連続群準同型です。ここで と仮定するとが存在することになります。無限の場所を考慮すると が単射性を証明することがわかります。全射性を示すには とします。この要素の絶対値は であり、したがって ${\displaystyle |a_{p}|_{p}=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.}$${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ^{\times }}$${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }.}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .}$

したがって、次のようになります。 ${\displaystyle \beta _{\infty }\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.}$

以来

${\displaystyle \forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,}$

は射影的であると結論付けられました。 ${\displaystyle \phi }$

定理^[24]絶対値関数は位相群の次の同型を誘導する：

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}}$

証明同型性は次のように与えられる:

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text{fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases}}}$

定理。整数環、分数イデアル群、イデアル類群を持つ数体とする。次の同型がある。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle O,}$${\displaystyle J_{K},}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }K^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}}$

が定義されています。${\displaystyle C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }}$

証明。を の有限な場所とし、を同値類の代表とする。定義 ${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{v}}$${\displaystyle v.}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.}$

は の素イデアルである。写像は の有限な場所と の非ゼロ素イデアルとの間の一対一写像である。逆写像は次のように与えられる。素イデアルはによって与えられる 値に写像される。${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^{k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}}$

次のマップは明確に定義されています。

${\displaystyle {\begin{cases}(\cdot ):I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}}$

この写像は明らかに射影準同型であり、最初の同型は準同型の基本定理から導かれる。ここで両辺は で割られる。これは、 ${\displaystyle (\cdot )}$${\displaystyle \ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.}$${\displaystyle K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ for all }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}}$

表記法の乱用に注意してください。この方程式の連鎖の 1 行目の左側では、上で定義したマップを表します。その後、の への埋め込みが使用されます。2 行目では、マップの定義が使用されます。最後に、 はデデキント領域であり、したがって各イデアルは素イデアルの積として記述できる を使用します。言い換えると、マップは-同変群準同型です。結果として、上記のマップは射影準同型を誘導します。 ${\displaystyle (\cdot )}$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle (\cdot )}$${\displaystyle K^{\times }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\to \operatorname {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}}$

2 番目の同型性を証明するには、以下を示さなければなりません。 を考えます。 このとき、すべて に対してとなるからです。 一方、となることを考えます。 これにより、 と書くことができます。 結果として、次となる代表が存在します。 したがって、したがって定理の 2 番目の同型性が証明されました。 ${\displaystyle \ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$${\displaystyle \xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.}$${\displaystyle \textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=K^{\times },}$${\displaystyle v(\xi _{v})=0}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle \xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle \phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.}$${\displaystyle \xi '\in {\widehat {O}}^{\times }}$${\displaystyle \xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$

最後の同型については、射影群準同型を誘導することに注意してください。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _{K}}$

${\displaystyle \ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

注意。イデアル位相と離散位相を考えてみましょう。それぞれが連続であるため、は開いています。つまり、開いているので、${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$${\displaystyle J_{K},}$${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in J_{K},(\cdot )}$${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\times }}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

定理。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M:\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ discrete and }}M\cong \mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\M\subset I_{K}{\text{ closed and }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{K}^{1}/K^{\times }\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\N=\mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}}$

証明。 の各位置に対して、すべてに対してとなるものはによって生成されるの部分群に属します。したがって、各 に対してはによって生成されるの部分群に含まれます。したがって、準同型の像はによって生成されるの離散部分群です。この群は自明ではないため、いくつかの に対して によって生成されます。 となるものを選択します。すると はの直積であり、 によって生成される部分群です。この部分群は離散的で と同型です。${\displaystyle \operatorname {char} (K)=p>0.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K,\operatorname {char} (K_{v})=p,}$${\displaystyle x\in K_{v}^{\times },}$ ${\displaystyle |x|_{v}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle z\in I_{K},}$ ${\displaystyle |z|}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle Q=p^{m}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} .}$${\displaystyle z_{1}\in I_{K},}$${\displaystyle |z_{1}|=Q,}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}}$${\displaystyle z_{1}.}$${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0.}$定義: ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v}={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}}$

この写像は、 およびの閉部分群におけるの同型写像である。同型写像は乗算によって与えられる。 ${\displaystyle \lambda \mapsto z(\lambda )}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle I_{K}}$${\displaystyle I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :M\times I_{K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}\end{cases}}}$

明らかに、は準同型です。これが単射であることを示すには、 とします。に対してであるため、 に対して であることが成り立ちます。 さらに、 に対して が存在するため、 したがって、 に対して であることが成り立ちます。さらに、はの無限の場所の数であることを意味します。結果として、したがって は単射です。全射であることを示すには、と定義され、さらに、に対して、に対して であることが成り立ちます。定義であることが成り立ちます。したがって、は単射です。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.}$${\displaystyle \alpha _{v}=1}$${\displaystyle v<\infty ,}$${\displaystyle \beta _{v}=1}$${\displaystyle v<\infty .}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+},}$${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$${\displaystyle v|\infty .}$${\displaystyle \beta _{v}=\lambda ^{-1}}$${\displaystyle v|\infty .}$${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$${\displaystyle \lambda ^{n}=1,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.}$${\displaystyle \lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \alpha _{v}=1}$${\displaystyle v<\infty }$${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$${\displaystyle v|\infty .}$${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.}$${\displaystyle \textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}}}=1.}$${\displaystyle \phi }$

他の方程式も同様になります。

定理^{[25] を}数体とする。次のような有限個の場所の集合が存在する。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle S,}$

${\displaystyle I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }=\left(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

証明。数体の類数は有限なので、 を の類を表すイデアルとします。これらのイデアルは、有限個の素イデアルによって生成されます。を を含む場所の有限集合とし、 に対応する有限の場所とします。同型性を考えます。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h}}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P_{\infty }}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$

${\displaystyle I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},}$

誘発される

${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

無限の場所ではこの文は直接的であるため、有限の場所ではこの文は証明されている。包含 ″ ″ は明らかである。対応するイデアルはクラスに属し、主イデアルを意味する。イデアルは写像の下のイデアルに写像される。つまり、の素イデアルはにあるため、すべてに対してが成り立つ。したがって、${\displaystyle \supset }$${\displaystyle \alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.}$${\displaystyle \textstyle (\alpha )=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}K^{\times },}$${\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)}$${\displaystyle (a).}$${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.}$${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})}.}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle v(\alpha '_{v})=0}$${\displaystyle v\notin S,}$${\displaystyle \alpha '_{v}\in O_{v}^{\times }}$${\displaystyle v\notin S.}$${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},}$${\displaystyle \alpha \in I_{K,S}K^{\times }.}$

前のセクションでは、数体の類数が有限であるという事実が使用されました。ここでこのステートメントが証明されます。

定理（数体の類数の有限性）。 を数体とする。すると${\displaystyle K}$${\displaystyle |\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .}$

証拠。地図

${\displaystyle {\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}}$

は射影的であるため、コンパクト集合の連続像です。したがって、はコンパクトです。さらに、離散的であるため有限です。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }.}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$

注：大域関数体の場合にも同様の結果が得られる。この場合、いわゆる因子群が定義される。すべての次数の因子の集合を主因子の集合で割った商は有限群であることが示される。^[26]${\displaystyle 0}$

を場所の有限集合と します。定義${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P)\end{aligned}}}$

すると、は のすべての要素を含む の部分群であり、 はすべて を満たす。は の離散部分群であり、 は同じ引数を持つため、 はで離散的である。${\displaystyle E(P)}$${\displaystyle K^{\times },}$${\displaystyle \xi \in K^{\times }}$${\displaystyle v(\xi )=0}$${\displaystyle v\notin P.}$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K},}$ ${\displaystyle E(P)}$${\displaystyle \Omega (P)}$${\displaystyle E(P)}$${\displaystyle \Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.}$

別の定義は次のようになる。ここで はによって定義される の部分環である。${\displaystyle E(P)=K(P)^{\times },}$${\displaystyle K(P)}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).}$

その結果、すべての要件を満たすすべての要素が含まれています${\displaystyle K(P)}$${\displaystyle \xi \in K,}$${\displaystyle v(\xi )\geq 0}$${\displaystyle v\notin P.}$

補題 1.次の集合は有限である とする:${\displaystyle 0<c\leq C<\infty .}$

${\displaystyle \left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

証明。定義

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

${\displaystyle W}$はコンパクトであり、上記の集合はの離散部分群との共通部分であり、したがって有限である。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle K^{\times }}$${\displaystyle I_{K}}$

補題 2.すべてに対してとなる集合を とします。するとのすべての単位根の群は、特に有限かつ巡回的です。${\displaystyle E}$${\displaystyle \xi \in K}$${\displaystyle |\xi |_{v}=1}$${\displaystyle v.}$${\displaystyle E=\mu (K),}$${\displaystyle K.}$

証明。のすべての単位根は絶対値を持つので、逆に、補題1と任意のは有限であることに注意してください。さらに、場所の有限集合ごとに、最後にの単位根ではない が存在すると仮定します。すると、すべての に対して は、 の有限性と矛盾します。${\displaystyle K}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mu (K)\subset E.}$${\displaystyle c=C=1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\subset E(P)}$${\displaystyle P\supset P_{\infty }.}$${\displaystyle \xi \in E,}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \xi ^{n}\neq 1}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle E.}$

単位定理は、 の直積であり、に同型な群であり、かつ、の場合^[27]${\displaystyle E(P)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{s},}$${\displaystyle s=0,}$${\displaystyle P=\emptyset }$${\displaystyle s=|P|-1,}$${\displaystyle P\neq \emptyset .}$

ディリクレの単位定理。 を数体とする。はの単位根のすべての有限巡回群であり、 は の実埋め込みの数であり、は の複素埋め込みの共役ペアの数である。つまり、${\displaystyle K}$${\displaystyle O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}$${\displaystyle \mu (K)}$${\displaystyle K,r}$${\displaystyle K}$${\displaystyle s}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r+2s.}$

注意：単位定理はディリクレの単位定理を一般化したものである。これを確かめるために、数体を仮定する。集合が既知であり、注意すべき点がある。${\displaystyle K}$${\displaystyle E=\mu (K),}$${\displaystyle P=P_{\infty }}$${\displaystyle |P_{\infty }|=r+s.}$

それから:

${\displaystyle {\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}}$

弱近似定理。^{[28] を の}同値でない付値とする を に関する の完備化とする を に対角的に埋め込むすると はにおいて至る所で稠密である言い換えれば、 各 に対して が存在し、 各 に対して が存在する: ${\displaystyle |\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{n}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N},}$${\displaystyle \xi \in K,}$

${\displaystyle \forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .}$

強近似定理。^[29]を とする。定義 する${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle K.}$

${\displaystyle V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.}$

それから密集している${\displaystyle K}$${\displaystyle V.}$

注意：大域場はアデール環において離散的である。強近似定理によれば、1つ（またはそれ以上）の場所を省略すると、の離散性の性質はの稠密性に変わる。${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$

ハッセ・ミンコフスキーの定理。上の二次形式がゼロであるのは、二次形式が各完備化においてゼロである場合に限ります。${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{v}.}$

注:これは2次形式に対するハッセ原理です。2次以上の多項式では、ハッセ原理は一般には有効ではありません。ハッセ原理(局所-大域原理とも呼ばれる)の考え方は、与えられた数体の問題を、その完備化で解いてから、${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle K.}$

定義。を局所コンパクトアーベル群とします。 の指標群はのすべての指標の集合であり、 で表されます。は、からまでのすべての連続群準同型写像の集合と同値です。 のコンパクト部分集合上の一様収束の位相を備えます。 も局所コンパクトアーベル群であることを示すことができます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}.}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

定理。アデール環は自己双対である。${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.}$

証明。局所座標への還元により、それぞれが自己双対であることを示すだけで十分です。これは、の固定された特性を使用して行うことができます。この考え方は、が自己双対であることを示すことによって説明されています。定義: ${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle K_{v}.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}}$

次の写像は位相を尊重する同型写像です。

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t):=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}}$

定理（アデール環の代数的および連続的双対）。^[30]がの非自明な指標で、が 上で自明であるとする。 が上の有限次元ベクトル空間であるとする。および が および の代数的双対であるとする。の位相的双対をによって表し、および上の自然な双線型対を表すために およびを使用する。すると、すべての に対する公式はへの同型性を決定する。ここで、および さらに、すべての に対して が満たされる場合、${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle E^{\star }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}'}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$${\displaystyle \langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])}$${\displaystyle e\in \mathbb {A} _{E}}$${\displaystyle e^{\star }\mapsto e'}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$${\displaystyle \mathbb {A} _{E}',}$${\displaystyle e'\in \mathbb {A} _{E}'}$${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }}$${\displaystyle \chi ([e,e^{\star }])=1}$${\displaystyle e\in E,}$${\displaystyle e^{\star }\in E^{\star }.}$

フーリエ解析の指標の助けを借りて、アデール環上で解析を行うことができます。^[31]ジョン・テイトは、論文「数体とヘッケゼータ関数におけるフーリエ解析」^[6]で、アデール環とイデール群のフーリエ解析を使用してディリクレL関数に関する結果を証明しました。したがって、アデール環とイデール群は、リーマンゼータ関数やより一般的なゼータ関数とL関数の研究に適用されています。これらの関数のアデール形式は、対応するハール測度に関して、アデール環またはイデール群上の積分として定義および表すことができます。これらの関数の関数方程式と有理型接続を示すことができます。たとえば、${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \Re (s)>1,}$

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),}$

ここで、は正規化された唯一のハール測度であり、体積が1で有限アデーレ環にゼロ拡張される。結果として、リーマンゼータ関数はアデーレ環（の部分集合）上の積分として表すことができる。^[32]${\displaystyle d^{\times }x}$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$

保型形式の理論は、イデール群を類似の高次元群に置き換えることによって、テイトの論文を一般化したものである。このメモを見るには:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

これらの識別に基づいて、自然な一般化は、イデールグループと 1-イデールを次のように置き換えることです。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

そして最後に

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}\cong (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }),}$

の中心はであり、 の元として保型形式を定義する。言い換えれば、保型形式とは、特定の代数的条件と解析的条件を満たす関数である。保型形式を研究するには、群の表現を知ることが重要である。また、 の積分として記述できる保型L関数を研究することもできる^[33]${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).}$${\displaystyle L^{2}((\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })).}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$

数体と任意の簡約代数群に 置き換えることで、さらに一般化することが可能になります。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \operatorname {GL} (2)}$

アルティンの相互法則の一般化により、 の表現と のガロア表現(ラングランズ プログラム)の関係が導かれます。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})}$${\displaystyle K}$

イデール類群は類体理論の重要な対象であり、体のアーベル拡大を記述する。局所類体理論における局所相互写像の積は、イデール群から大域体の最大アーベル拡大のガロア群への準同型を与える。ガウスの二次相互法則を広範囲に一般化したアルティン相互法則は、数体の乗法群上で積が消えることを述べている。したがって、イデール類群から体の絶対ガロア群のアーベル部分への大域相互写像が得られる。

有限体上の曲線の関数体のアデール環の自己双対性は、曲線に対する リーマン・ロッホの定理と双対性理論を容易に示唆します。

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• ノイキルヒ、ユルゲン(2007)。Algebraische Zahlentheorie、unveränd。 nachdruck der 1. aufl。エドン（ドイツ語）。 Vol. XIII.ベルリン：シュプリンガー。ISBN 9783540375470。595ページ。
• ヴェイユ、アンドレ(1967)。基礎数論。第 XVIII 巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 978-3-662-00048-9。294ページ。
• デイトマー、アントン (2010)。Automorphe Formen (ドイツ語)。 Vol. Ⅷ.ベルリン;ハイデルベルク (ua): スプリンガー。ISBN 978-3-642-12389-4。250ページ。
• ラング、セルジュ（1994）。代数的数論、大学院数学テキスト110（第2版）。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-94225-4。

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