密なセット

位相幾何学および関連する数学の分野では、位相空間Xの部分集合 AがXにおいて稠密であるとは、 Xのすべての点がAに属するか、 Aの要素に任意に「近い」かのいずれかであるときを言う— たとえば、有理数は実数の稠密な部分集合である。なぜなら、すべての実数は有理数であるか、それに任意に近い有理数を持つからである (ディオファントス近似を参照)。正式には、の最小の閉部分集合がそれ自身である場合に、 はにおいて稠密である。^[1] ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

の位相空間の密度は、密な部分集合の最小濃度${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

位相空間の部分集合は、${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$次の同等の条件のいずれかが満たされる場合 の稠密な部分集合:

1. を含む最小の閉部分集合はそれ自身です。${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$
2. の閉包は次式に等しい。すなわち、${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A=X.}$
3. の補集合の内部は空である。つまり、${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .}$
4. のいずれかの点は、のいずれかに属するか、またはのいずれかの極限点である。${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$
5. つまり、交差点のあらゆる近傍において、${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A;}$${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing .}$
6. ${\displaystyle A}$の空でない開集合と交差する${\displaystyle X.}$

そして が上の位相に対する開集合の基底である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

7. 交差点のあらゆる基本近傍について${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$
8. ${\displaystyle A}$空でないすべてのものと交差する${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$

距離空間の場合の稠密集合の別の定義は次のようになる。の位相が距離によって与えられるとき、におけるの閉包はの和集合とにおける要素の列のすべての極限の集合（その極限点）である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ すべての }}n\in \mathbb {N} \right\}} に対して$$

すると、if は密になります${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\overline {A}}=X.}$$

が完備距離空間内の稠密な開集合の列である場合、 もにおいて稠密です。この事実は、ベールのカテゴリ定理 の同値な形式の 1 つです。 ${\displaystyle \left\{U_{n}\right\}}$${\displaystyle X,}$${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$${\displaystyle X.}$

通常の位相を持つ実数では、有理数は可算な稠密部分集合であり、これは位相空間の稠密部分集合の濃度が空間自体の濃度よりも厳密に小さい場合があることを示しています。無理数は別の稠密部分集合であり、位相空間には複数の互いに素な稠密部分集合がある場合があり (特に、2 つの稠密部分集合が互いの補集合になる場合がある)、それらの濃度が同じである必要すらないことを示しています。おそらくさらに驚くべきことに、有理数と無理数はどちらも空の内部を持ち、稠密集合に空でない開集合が含まれる必要がないことを示しています。位相空間の 2 つの稠密開集合の共通集合も、稠密かつ開集合です。^{[証明 1]} 空集合は、それ自身の稠密部分集合です。しかし、空でない空間のすべての稠密部分集合も空でなければなりません。

ワイエルシュトラスの近似定理によれば、閉区間上で定義された任意の複素数値 連続関数は、多項式関数によって望みどおりに均一に近似できます。言い換えると、多項式関数は、上限ノルムを備えた区間上の連続複素数値関数の空間で稠密です。 ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle C[a,b]}$${\displaystyle [a,b],}$

すべての距離空間は、その完備化において稠密です。

すべての位相空間は、それ自身の稠密な部分集合です。離散位相を備えた集合の場合、空間全体が唯一の稠密な部分集合です。自明位相を備えた集合のすべての空でない部分集合は稠密であり、すべての空でない部分集合が稠密であるすべての位相は自明でなければなりません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

稠密性は推移的である:が で稠密であり で稠密であるような位相空間の3つの部分集合 と が与えられると(それぞれの部分空間位相において) はでも稠密である。${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C.}$

射影連続関数による稠密部分集合の像もまた稠密である。位相空間の稠密さ（その稠密部分集合の濃度の最小値）は位相不変量である。

連結した稠密な部分集合を持つ位相空間は、必然的にそれ自体も連結している。

ハウスドルフ空間への連続関数は、その稠密な部分集合上の値によって決定される。ハウスドルフ空間への2つの連続関数がの稠密な部分集合上で一致する場合、それらは のすべて上で一致する。${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

距離空間には、与えられた密度のすべての空間を埋め込むことができる普遍空間が存在する。密度の距離空間は、単位区間のコピーの積上の実連続関数の空間の部分空間に等長である。^[2]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$${\displaystyle \alpha }$

位相空間の部分集合の点は、 のすべての近傍にそれ自身以外の の点も含まれ、そうでない場合はの孤立点が含まれる場合、 ( における)の極限点と呼ばれます。孤立点のない部分集合は、それ自体に稠密であると言われます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

位相空間の部分集合は、 における近傍で稠密なものが存在しないとき、どこにも稠密ではない( において)と呼ばれます。同様に、位相空間の部分集合がどこにも稠密ではないのは、その閉包の内部が空である場合に限ります。どこにも稠密ではない集合の補集合の内部は常に稠密です。閉じたどこにも稠密ではない集合の補集合は稠密な開集合です。位相空間が与えられたとき、 の可算個数のどこにも稠密ではない部分集合の和集合として表される の部分集合は、貧弱と呼ばれます。有理数は、実数では稠密ですが、実数の部分集合としては貧弱です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

可算な稠密部分集合を持つ位相空間は、分離可能と呼ばれます。位相空間がベール空間となるのは、可算な数の稠密開集合の共通部分が常に稠密である場合に限ります。位相空間は、 2 つの互いに素な稠密部分集合の和集合である場合に、可解と呼ばれます。より一般的には、位相空間が κ個の互いに素な対稠密集合を含む場合、その位相空間は κ 基数に対して κ 可解と呼ばれます。

位相空間をコンパクト空間の稠密な部分集合として埋め込むことをコンパクト化という。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

位相ベクトル空間と間の線型作用素は、その定義域が の稠密な部分集合であり、その値域がに含まれる場合、稠密に定義されていると言われます。連続線型拡張も参照してください。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

位相空間が超連結である場合、かつその場合、すべての空でない開集合は稠密である。位相空間が準最大である場合、かつその場合、すべての稠密な部分集合は開である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

が距離空間である場合、空でない部分集合が-稠密であるとは次の条件を満たすとき言われる。 ${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle \forall x\in X,\;\exists y\in Y{\text{ such that }}d_{X}(x,y)\leq \varepsilon .}$$

が稠密であることは、任意のに対してε稠密であることと同値であることを示すことができる。${\displaystyle D}$${\displaystyle \left(X,d_{X}\right)}$${\displaystyle \varepsilon >0.}$

• ブルームバーグ定理 – R 上の任意の実関数は、R の稠密な部分集合に対して連続的な制限を許容する
• 密な順序 – 比較可能な 2 つの異なる要素の間に別の要素が存在する半順序
• 高密度（格子理論）

証明