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数学において、抽象多面体とは、頂点の位置などの純粋に幾何学的な性質を指定することなく、従来の多面体の組み合わせ的な性質を捉える代数的な半順序集合である。 [ 1 ]
幾何学的多面体は、抽象的多面体を実数n次元空間（典型的にはユークリッド空間）で実現したものとされています。この抽象的な定義は、従来の多面体の定義よりも一般的な組み合わせ構造を可能にし、従来の理論には対応するものがない新しい対象を可能にします。
ユークリッド幾何学では、相似ではない2つの図形が共通の構造を持つことがあります。例えば、正方形と台形はどちらも4つの頂点と4つの辺が交互に連なった構造をしており、四角形です。これらは同型、あるいは「構造保存型」であると言われます。
この共通構造は、基底となる抽象多面体、すなわち様々な構造要素間の接続（または関連性）のパターンを捉える純粋に代数的な半順序集合で表現できる。角度、辺の長さ、歪度、直線性、凸性といった従来の多面体の測定可能な特性は、抽象多面体においては意味を持たない。
伝統的な多面体（古典的多面体または幾何学的多面体とも呼ばれる）に当てはまることが、抽象的な多面体には当てはまらない場合があり、その逆もまた然りです。たとえば、伝統的な多面体は、すべての面と頂点図形が正則であれば正則ですが、これは必ずしも抽象的な多面体には当てはまりません。[ 2 ]
伝統的な多面体は、対応する抽象的な多面体の実現であると言われます。実現とは、抽象的な対象を実空間（典型的にはユークリッド空間）に写像または挿入することで、伝統的な多面体を実幾何学的図形として構成することです。
図示された6つの四角形はすべて、抽象的な四角形の異なる実現例であり、それぞれ異なる幾何学的性質を持っています。これらのうちいくつかは、四角形の伝統的な定義に合致せず、不忠実な実現例と呼ばれます。従来の多面体は、忠実な実現例です。
抽象多面体では、各構造要素（頂点、辺、セルなど）は、対応する集合の要素と関連付けられています。「面」という用語は、多角形の2面だけでなく、頂点（0面）、辺（1面）、一般的なk面など、そのような要素すべてを指すために使用されます。
面は、対応する実次元に基づいてランク付けされます。頂点はランク0、辺はランク1、といった具合です。
異なるランクの隣接面、例えば辺Gの頂点Fは、F < Gという関係によって順序付けられます。FはGの部分面であると言われます。
F と G は、F = G または F < G または G < F のいずれかである場合に、接続していると言われます。この「接続」の用法は有限幾何学でも見られますが、伝統的な幾何学や他の数学の分野とは異なります。これは、多面体の幾何学的図ではなく、多面体のハッセ図のグラフのノードと頂点の観点から理解されます。たとえば、正方形ABCDでは、上記のハッセ図に見られるように、辺ABとBC は抽象的には接続していません (ただし、幾何学的図では、両方とも頂点 B と幾何学的な意味で接続しています)。
多面体は、順序関係<を持つ面の集合Pとして定義されます。形式的には、P ( <を持つ) は (厳密な)半順序集合、またはposet となります。
数学においてゼロが必要であるのと同様に、すべての集合には空集合∅ が部分集合として存在します。抽象多面体では、慣例として ∅ は最小面またはヌル面として識別され、他のすべての面の部分面となります。最小面は頂点または 0 面より 1 レベル下であるため、そのランクは −1 であり、 F −1と表記できます。したがって、F −1 ≡ ∅ であり、抽象多面体には空集合も要素として含まれています。[ 3 ]通常は実現されませんが、実現されないことは、点を含まない集合、つまり空集合として実現されていると解釈できます。
また、他のすべての面がその部分面となるような面が1つだけ存在する。これを最大面と呼ぶ。n次元多面体において、最大面のランクはnであり、 F nと表記されることがある。これは、幾何学的図形の内部として実現される場合もある。
これらの最小および最大の顔は、不適切な顔と呼ばれることがあり、その他はすべて適切な顔である。[ 4 ]
抽象的な四角形または正方形の各面を以下の表に示します。
関係 < はペアの集合で構成され、ここでは以下が含まれます
順序関係は推移的である。つまり、F < G かつ G < H ならば F < H となる。したがって、面の階層構造を指定するには、F < H となるすべてのケースを指定する必要はなく、一方が他方の後継者 となるペア、つまりF < H であり、かつ F < G < H を満たす G が存在しないペアのみを指定すればよい。
辺W、X、Y、Zは、それぞれab、ad、bc、cdと表記されることもあるが、そのような表記が常に適切とは限らない。
4つの辺はすべて構造的に類似しており、頂点についても同様である。したがって、この図形は正方形の対称性を持ち、通常は正方形と呼ばれる。
より小さな半順序集合、特に多面体は、図に示すようにハッセ図で視覚化するのが最適です。慣例として、同じランクの面は同じ垂直レベルに配置されます。面FとGの間の各「線」は、図においてFがGの下にあるような順序関係<を示し、F < Gとなります。
ハッセ図は一意の半順序集合を定義するため、多面体の構造を完全に捉えることができます。同型な多面体は同型なハッセ図を生み出し、その逆もまた然りです。しかし、多面体のグラフ表現については、一般的に同じことは当てはまりません。
面 F のランクは ( m − 2 ) と定義され、mは F ' < F " < ... < F を満たす任意の連鎖(F', F", ... , F)内の面の最大数です。F' は常に最小の面、F −1です。
抽象多面体Pのランクは、任意の面のランクnの最大値です。これは常に最大の面 F nのランクになります。
面や多面体のランクは、通常、伝統的な理論における対応する面や多面体の次元に対応する。
一部の階級については、顔のタイプが以下の表に示されています。
† 伝統的に「面」とは、ランク2の面、または2面を意味してきた。抽象理論では、「面」という用語は、任意のランクの面を指す。
幾何学において、旗とは面の極大連鎖、すなわち、各面が次の面のサブ面（存在する場合）であり、かつΨがより大きな連鎖のサブセットではないような、（完全に）順序付けられた面の集合Ψのことである。旗内の任意の2つの異なる面F、Gが与えられた場合、F < GまたはF > Gのいずれかが成り立つ。
例えば、{ ø , a , ab , abc } は三角形abcのフラグです。
与えられた多面体において、すべてのフラグは同じ数の面を含む。一般に、他の半順序集合はこの条件を満たさない。
半順序集合 P の任意の部分集合 P' は半順序集合である（同じ関係 < を持ち、P' に限定される）。
抽象多面体Pにおいて、F ≤ Hを満たす任意の2つの面F、Hが与えられたとき、集合{ G | F ≤ G ≤ H }はPの断面と呼ばれ、H / Fと表記される。（順序理論では、断面は半順序集合の閉区間と呼ばれ、[ F , H ]と表記される。）
例えば、プリズム abcxyz（図を参照）において、断面xyz / ø（緑色で強調表示）は三角形である。
kセクションとは、ランクkのセクションのことです。
したがって、Pはそれ自身の一部である。
この断面の概念は、伝統的な幾何学における断面の概念とは異なる意味を持つ。
与えられたj面Fのファセットは( j − 1 ) 断面 F /∅ であり、F jは最大の面です。
例えば、三角形abcにおいて、 abの面はab / ∅ = { ∅, a, b, ab }であり、これは線分です。
FとF /∅の区別は通常重要ではなく、両者はしばしば同一視される。
与えられた頂点Vにおける頂点図形は ( n − 1) 断面F n / Vであり、F n は最大の面である。
例えば、三角形abcにおいて、頂点bの頂点図形はabc / b = { b, ab, bc, abc }であり、これは線分です。立方体の頂点図形は三角形です。
半順序集合 P は、P のランクが 1 以下である場合、または任意の 2 つの適切な面 F と G に対して、適切な面の列が存在する場合に連結である。
F = H 1、G = H kであり、各 H i (i < k) は後続の H i と接続している。
上記の条件により、互いに素な2つの三角形abcとxyzは（単一の）多面体ではないことが保証されます。
半順序集合Pは、Pのすべての部分（P自体を含む）が連結である場合に、強連結である。
この追加要件により、頂点を一つだけ共有する二つのピラミッドも除外されます。しかし、例えば二つの正四角錐は、それぞれの正方形の面を「接着」することで正八面体を作ることができます。この場合、「共通面」は正八面体の面ではありません。
抽象多面体は、要素を面と呼ぶ部分順序集合であり、次の 4 つの公理を満たします。[ 1 ]
ランク-1と0にはそれぞれ1つの半順序集合しか存在しない。これらはそれぞれ、ヌル面と点である。これらは必ずしも有効な抽象多面体とはみなされない。
ランク1の多面体は線分のみである。線分には最小の面、2つの0面、そして最大の面があり、例えば{ø, a, b, ab }となる。したがって、頂点aとbのランクは0であり、最大の面ab、ひいては半順序集合のランクはどちらも1である。
各pについて、3 ≤ p <、 p個の頂点とp個の辺を持つ従来の多角形、つまりp角形 (の抽象的な等価物) があります。p = 3、4、5、... の場合、三角形、正方形、五角形、... があります。
p = 2の場合、二角形となり、p =アペイロゴンを手に入れます。
二角形とは、辺が2つしかない多角形のことです。他の多角形とは異なり、2つの辺は同じ2つの頂点を持ちます。そのため、ユークリッド平面上では退化しています。
面は、三角形abcの場合、{ ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc }のように、「頂点表記」を用いて記述されることがあります。この方法の利点は、<関係を暗黙的に表せることです。
二角形ではこの頂点表記法は使用できません。面ごとに個別の記号を与え、部分面ペア F < G を指定する必要があります。
したがって、二角形は、関係<が次のように与えられる集合 { ø , a , b , E', E", G} として定義される。
ここで、E'とE"は2つの辺であり、Gは最大の面である。
多面体の各要素を固有の記号で識別する必要性は、他の多くの抽象多面体にも当てはまるため、一般的な慣行となっている。
多面体は、すべての面が一意の頂点集合に接している場合に限り、頂点表記を用いて完全に記述することができる。このような性質を持つ多面体は、原子的であると言われる。
従来のn次元多面体のj面 (−1 ≤ j ≤ n )の集合は、抽象的なn次元多面体を形成する。
抽象多面体の概念はより一般的であり、以下も含まれる。
二角形は、ホソヘドロンおよびより高次元のホソトープによって一般化され、これらはすべて球状多面体として実現することができ、球面を埋め尽くします。
非伝統的な抽象多面体の例として、半立方体（図示）、半八面体、半十二面体、半二十面体の4つが挙げられます。これらはプラトン立体の射影対応物であり、（全体的に）射影多面体として実現できます。つまり、実射影平面を敷き詰めることができます。
半立方体は、頂点表記法を用いて多面体を定義することができないもう一つの例である。すべての2面と3面は同じ頂点集合を持つ。
すべての幾何学的多面体には双対の双子が存在する。抽象的には、双対は元の多面体と同じだが、順序が逆になっている。ハッセ図は注釈が異なるだけである。n 多面体では、元のk面はそれぞれ双対の ( n − k − 1) 面に写像される。したがって、例えば、n面は (−1) 面に写像される。双対の双対は元の多面体と同型である。
多面体は、その双対多面体と同一である（すなわち同型である）場合、自己双対多面体である。したがって、自己双対多面体のハッセ図は、上面と下面の中間にある水平軸に関して対称でなければならない。上記の例の正四角錐は自己双対多面体である。
頂点Vにおける頂点図形は、双対多面体においてVが写像される面の双対である。
形式的には、抽象多面体は、その自己同型群が そのフラグの集合に推移的に作用する場合に「正則」であると定義されます。特に、 n次元多面体の任意の2 つのk面F、Gは「同一」であり、すなわち、FをGに写像する自己同型が存在します。抽象多面体が正則である場合、その自己同型群はコクセター群の商群と同型です。
ランクが2以下の多面体はすべて正多面体である。最も有名な正多面体は5つのプラトン立体である。半立方体（図示）も正多面体である。
非公式に言えば、各ランクkについて、これはk面を他の k 面と区別する方法がないことを意味します。つまり、面はすべて同一でなければならず、隣接する面も同一でなければなりません。例えば、立方体は正立です。なぜなら、すべての面が正方形であり、各正方形の頂点は 3 つの正方形に接続され、これらの正方形のそれぞれが他の面、辺、頂点の同一の配置に接続されているからです。
この条件だけで、任意の正則抽象多面体が同型な正則( n - 1)面と同型な正則頂点図形を持つことが保証されます。
これは、従来の多面体における正則性よりも弱い条件であり、（組み合わせ論的な）自己同型群を参照するもので、（幾何学的な）対称群を参照するものではありません。例えば、抽象的な多面体には角度、辺の長さ、辺の曲率、歪度などが存在しないため、あらゆる抽象的な多角形は正則です。
他にも、半正則、準正則、均一、キラル、アルキメデスなど、まだ完全に標準化されていない弱い概念がいくつかあり、これらは各階層において一部の面は同等であるが、すべての面が同等ではない多面体に適用される。
抽象多面体Pの頂点集合からの全射を備え、Pの自己同型がVの等長置換を誘導するユークリッド空間内の点集合V を、抽象多面体の実現と呼ぶ。 [ 6 ] [ 7 ] 2 つの実現は、それらの頂点集合間の自然な全単射が、それらの周囲のユークリッド空間の等長変換によって誘導される場合、合同であると呼ばれる。 [ 8 ] [ 9 ]
抽象的なn次元多面体がn次元空間で実現され、その幾何学的配置が従来の多面体の規則（曲面やゼロサイズの稜線など）に違反しない場合、その実現は忠実であると言われる。一般に、任意のn次元空間において忠実に実現できるのは、ランクnの抽象的な多面体の限られた集合のみである。この効果の特徴づけは、未解決の問題である。
正則な抽象多面体の場合、その抽象多面体の組み合わせ的自己同型が幾何学的対称性によって実現されるならば、その幾何学的図形は正則な多面体となる。
抽象多面体Pの実現Vの対称群Gは、2 つの鏡映によって生成され、その積はPの各頂点を次の頂点に平行移動します。[ 10 ] [ 11 ] 2 つの鏡映の積は、ゼロでない平行移動、有限個の回転、および場合によっては自明な鏡映の積として分解できます。[ 12 ] [ 11 ]
一般に、抽象多面体の実現のモジュライ空間は無限次元の凸錐である。 [ 13 ] [ 14 ]抽象多面体の実現錐は非可算無限代数次元を持ち、ユークリッド位相では閉じることができない。[ 12 ] [ 15 ]
抽象多面体の理論における重要な問題の一つは、融合問題である。これは、次のような一連の質問である。
例えば、Kが正方形でLが三角形の場合、これらの質問に対する答えは次のようになります。
最初の質問に対する答えが、ある正則多面体KとLに対して「はい」である場合、面がKで頂点図形が L である一意の多面体が存在し、これをこれらの面と頂点図形を持つ普遍多面体と呼び、他のすべてのそのような多面体を包含することが知られています。つまり、P が面Kと頂点図形Lを持つ普遍多面体であるとします。すると、これらの面と頂点図形を持つ他の任意の多面体Q は、 Q = P / Nと書くことができ、ここで
Q = P / NはPの商と呼ばれ、P はQを覆うと言います。
この事実を踏まえると、特定の面と頂点図形を持つ多面体の探索は通常、次のように進められる。
これら二つの問題は、一般的に言って非常に難しい。
上記の例に戻ると、Kが正方形、Lが三角形の場合、普遍多面体 { K , L } は立方体 ({4,3} とも表記) です。半立方体は {4,3}/ N の商であり、Nは立方体の対称性 (自己同型写像) のグループで、要素は単位元と、各頂点 (または辺または面) をその反対側に写像する対称性の 2 つだけです。
Lも正方形である場合、普遍多面体 { K , L } (すなわち {4,4}) は、ユークリッド平面を正方形で敷き詰めたものです。この敷き詰めには、頂点ごとに 4 つの正方形面を持つ商空間が無限に存在し、その中には正多面体と非正多面体があります。普遍多面体自体を除いて、これらはすべて、トーラスまたは無限に長い円柱を正方形で敷き詰めるさまざまな方法に対応しています。
HSM CoxeterとBranko Grünbaumによって独立に発見された11セルは、抽象的な4次元多面体である。その面は半二十面体である。面は位相的に球面ではなく射影平面であるため、11セルは通常の意味での多様体のテセレーションではない。その代わりに、11セルは局所的に射影的な多面体である。自己双対かつ普遍的であり、半二十面体の面と半十二面体の頂点図形を持つ唯一の多面体である。
57 胞体も自己双対であり、半十二面体面を持つ。これは 11 胞体の発見直後に HSM コクセターによって発見された。11 胞体と同様に、半十二面体面と半二十面体頂点図形を持つ唯一の多面体であるため、普遍的でもある。一方、半十二面体面と Schläfli 型 {5,3,5} を持つ多面体は他にも多数存在する。半十二面体面と二十面体 (半二十面体ではない) 頂点図形を持つ普遍的多面体は有限であるが、非常に大きく、10006920 個の面と半分の数の頂点を持つ。
歴史的に、融合問題は局所トポロジーに従って研究されてきた。つまり、KとLを特定の多面体に限定するのではなく、与えられたトポロジーを持つ任意の多面体、つまり与えられた多様体を敷き詰める任意の多面体とすることができる。KとLが球面（つまり、位相球の敷き詰め）である場合、Pは局所的に球面と呼ばれ、ある多様体の敷き詰めに対応する。たとえば、KとLが両方とも正方形（したがって位相的に円と同じ）である場合、Pは平面、トーラス、またはクラインの壺を正方形で敷き詰めたものになる。n次元多様体の敷き詰めは、実際にはランクn + 1の多面体である。これは、プラトン立体は球の2次元表面の敷き詰めと見なすことができるにもかかわらず、3次元であるという一般的な直観と一致する。
一般に、抽象多面体は、その面と頂点図形が位相的に球またはXのいずれかであるが、両方が球ではない場合に、局所的に Xと呼ばれる。11胞体と57 胞体は、その面と頂点図形が実射影平面のテセレーションであるため、ランク 4 (つまり 4 次元) の局所射影多面体の例である。しかし、この用語には弱点がある。たとえば、面がトーラスで頂点図形が射影平面である多面体を簡単に記述する方法がない。さらに悪いことに、異なる面が異なる位相を持つ場合、または明確な位相がまったくない場合。しかし、局所的にトーラス状の正則多面体の完全な分類については、多くの進歩があった[ 16 ] 。
Ψ を抽象n多面体のフラグとし、−1 < i < nとする。抽象多面体の定義から、Ψとはランクiの要素だけ異なるフラグが一意に存在し、それ以外は同じであることが証明できる。このフラグをΨ ( i )と呼ぶと、多面体のフラグの集合、例えばφ iが定義される。これらのマップは、フラグのペアを交換するので、交換マップと呼ばれる。( Ψφ i ) φ i = Ψは常に成り立つ。交換マップのその他の性質は以下のとおりである。
交換マップ、特にフラグアクションを用いることで、任意の抽象多面体が何らかの正則多面体の商空間であることを証明できる。
多面体は、その接続関係を表にまとめることによっても表現できる。
以下の接続行列は三角形の接続行列です。
この表は、ある面が別の面のサブ面である場合、またはその逆の場合（つまり、この表は対角線に関して対称である場合）に1を表示します。つまり、この表には冗長な情報が含まれています。行面が列面以下である場合に1を表示するだけで十分です。
本体と空集合はどちらも他のすべての要素と関連しているため、最初の行と列、および最後の行と列は自明であり、省略しても問題ない。
各出現回数を数えることで、さらに詳しい情報が得られます。この数値的な使用法により、正四角錐のハッセ図のように、対称的なグループ化が可能になります。頂点 B、C、D、E が抽象多面体内で対称的に等価であるとみなされる場合、辺 f、g、h、j がグループ化され、辺 k、l、m、n もグループ化されます。さらに、三角形P、Q、R、Sもグループ化されます。したがって、この抽象多面体の対応する接続行列は次のように表すことができます。
この累積発生率行列表現では、対角要素は各要素タイプの合計カウントを表します。
同じランクの異なるタイプの要素は明らかに決して関連しないため、値は常に0になります。ただし、そのような関係を区別するために、0の代わりにアスタリスク(*)が使用されます。
各行のサブ対角要素は、関連するサブ要素の出現回数を表し、スーパー対角要素は、頂点、辺、またはその他の図形のそれぞれの要素数を表します。
この単純な正四角錐だけでも、対称性を蓄積した接続行列がもはや対称ではないことがわかります。しかし、このような接続行列であればどれでもそうであるように、単純な要素間の関係は依然として存在します（各行の対角要素、各行の副対角要素、各行の対角上要素に対する一般化されたオイラー公式とは別に、少なくとも穴や星形などが考慮されていない場合は）。保持する:
1960年代、ブランコ・グリュンバウムは幾何学界に対し、正多面体の概念を一般化したものをポリストロマタと呼ぶことを提唱した。彼はポリストロマタの理論を発展させ、 11胞体などの新しい対象の例を示した。
11セルは、面が正二十面体ではなく「半正二十面体」である自己双対4多面体である。つまり、正二十面体の対向する面を実際には同じ面とみなした場合に得られる形状である（Grünbaum、1977）。Grünbaumが11セルを発見してから数年後、HSM Coxeterは類似の多面体である57セルを発見し（Coxeter 1982、1984）、その後、独立して11セルを再発見した。
ブランコ・グリュンバウム、HSM・コクセター、ジャック・ティッツによる先行研究が基礎を築いた後、現在抽象多面体として知られる組み合わせ構造の基本理論は、エゴン・シュルテが1980年の博士論文で初めて記述した。その中で彼は「正則接続複体」と「正則接続多面体」を定義した。その後、彼とピーター・マクマレンは一連の研究論文でこの理論の基礎を発展させ、それらは後に書籍にまとめられた。その後、数多くの研究者が独自の貢献をしており、初期の先駆者たち（グリュンバウムを含む）もシュルテの定義を「正しい」ものとして受け入れている。
それ以来、抽象多面体の理論における研究は、主に正則多面体、すなわち自己同型群が 多面体のフラグの集合に推移的に作用する多面体に焦点を当ててきた。
