キラル多面体

抽象多面体の研究において、キラル多面体とは、鏡映対称ではないが可能な限り対称な多面体であり、多面体の対称群の旗への作用の観点から形式化されます。

キラル多面体のより技術的な定義は、対称性群の下に2つの旗の軌道を持ち、隣接する旗が異なる軌道にある多面体です。これは、各頂点、辺、または面が両方の軌道で旗によって表される必要があるため、頂点推移、辺推移、および面推移でなければならないことを意味します。ただし、多面体の鏡映対称性はすべて隣接する旗のペアを交換するため、鏡映対称にすることはできません。^[1]

この定義の目的上、多面体の対称群は、2つの異なる方法のいずれかで定義される。多面体の対称性を幾何学的オブジェクトとして参照する場合（この場合、多面体は幾何学的にキラルと呼ばれる）、または多面体の対称性を組合せ構造として参照する場合（抽象的な多面体の自己同型）である。キラリティーはどちらのタイプの対称性にも意味があるが、2つの定義は異なる多面体をキラルまたは非キラルとして分類する。^[2]

幾何学的にキラルな多面体は、より一般的な正多面体と比較すると比較的珍しいものです。幾何学的にキラルな多面体が凸になることは不可能であり、^[3]注目すべき多くの幾何学的にキラルな多面体は歪んでいます。

3次元では、幾何学的にキラルな多面体が有限個の有限面を持つことはできません。たとえば、スナブキューブは頂点推移的ですが、その旗は2つ以上の軌道を持ち、辺推移的でも面推移的でもないため、キラリティーの正式な定義を満たすほど対称的ではありません。準正多面体とその双対である立方八面体や菱形十二面体は、別の興味深いタイプのニアミスを提供します。それらは旗の軌道を2つ持っていますが、鏡映対称であり、隣接する旗のペアがすべて異なる軌道に属しているわけではありません。ただし、有限のキラル3次元多面体が存在しないにもかかわらず、タイプ{4,6}、{6,4}、および{6,6}の無限の3次元キラルスキュー多面体が存在しています。 ^[2]

4次元には幾何学的にキラルな有限多面体が存在する。一例として、4次元立方体の骨格上の歪んだ多面体であるロリの立方体が挙げられる。^{[4] [5]}

• モンソン、バリー;ピサンスキ、トマシュ; シュルテ、エゴン; ワイス、アジア・イヴィッチ (2007)、「ポリトープからの半対称グラフ」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A、114 (3): 421–435、arXiv : math/0606469、doi :10.1016/j.jcta.2006.06.007、MR  2310743、S2CID  10203794。
• ヒューバード、イザベル; ワイス、アジア・イヴィッチ (2005)、「キラル多面体の自己双対性」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A、111 (1): 128–136、doi : 10.1016/j.jcta.2004.11.012、MR  2144859。
• コンダー、マーストン; ヒューバード、イザベル;ピサンスキ、トマシュ(2008)、「カイラル多面体の構成」、ロンドン数学会誌、第 2 シリーズ、77 (1): 115–129、doi :10.1112/jlms/jdm093、MR  2389920、S2CID  14658184。
• モンソン、バリー; イヴィッチ・ワイス、アジア (2008)、「ケイリーグラフと対称 4 次元多面体」、Ars Mathematica Contemporanea、1 (2): 185–205、doi : 10.26493/1855-3974.79.919、MR  2466196。