ゴセット・エルテ図

幾何学において、ゴセット・エルテ図形は、ソロルド・ゴセットとエルテにちなんでコクセターによって名付けられた、非正規の一様な多面体のグループであり、すべて2次および3次の二面角で関連付けられたミラーを持つウィトフ構成によって生成される。これらは、片端が環になったコクセター・ディンキン図として見ることができる。

これらの図形のCoxeter記号はk _{i,j という}形式で、各文字は Coxeter–Dynkin 図上の 3 次枝の長さを表し、k長の枝列の終端ノードに単一の環がある。k _i,jの頂点図形は( k − 1) _i,jであり、その各面は 0 以外の添え字の 1 つから 1 を引くことによって表される。つまり、k _i_{− 1,}_jおよびk _i_,_j_{− 1 である}。^[1]

修正単体は、 k =0の極限ケースとしてリストに含まれています。同様に、0 _{i,j,k は、}中央のノードがリング状になっている分岐グラフを表します。

歴史

コクセターはこれらの数字を略してk _i,j（またはk _ij）と名付け、その発見者をゴセットとエルテに帰した。^[2]

ソロルド・ゴセットは1900年に初めてn次元空間の正多面体と半正多面体のリスト^{[3]を発表し、1つ以上の}正多面体面を持つ多面体を列挙した。これには、4次元空間の修正5セル0 _21、5次元空間のデミペンタクト1 _21、6次元空間の2 _21、7 次元空間の3 21、8次元空間の4 ₂₁、および8次元空間の5 ₂₁ _無限タイル張りが含まれていた。
ELエルテは1912年の著書『超空間の半正則多面体』の中で、独自に別の半正則リストを列挙した。^[4]彼はそれらを第一種の半正則多面体と呼び、探索を1つまたは2つのタイプの正則または半正則k面に限定した。

エルテの列挙には、3 種類の 6 面を持つ 1 ₄₂を除くすべてのk _{ij多面体が含まれていました。}

この図形の集合は、それぞれ 6、7、8 次元ユークリッド空間の (2,2,2)、(3,3,1)、(5,4,1) 族のハニカムに拡張されます。ゴセットのリストには、彼の定義で唯一の半正則なハニカムとして5 ₂₁ハニカムが含まれていました。

意味

このファミリーの多面体とハニカムは、ADE 分類内で確認できます。

有限多面体k _ijが存在する場合

{\frac {1}{i+1}}+{\frac {1}{j+1}}+{\frac {1}{k+1}}>1

またはユークリッドハニカムの場合は等しく、双曲ハニカムの場合はそれより小さくなります。

Coxeter群 [3 ^i,j,k ]は、1つの端点が環状になっているCoxeter-Dynkin図を持つ、最大3つの一意の均一なGosset-Elte図形を生成できます。Coxeterの表記法では、各図形はk _ijで表され、kの長さのシーケンスの端点が環状になっていることを意味します。

単体族は、 k = 0の極限ケースと、すべての修正された（単環）コクセター・ディンキン図として見ることができます。

Aファミリー[3^ん] （修正済み単体）

n単体の族には、n単体 ( i + j = n − 1) のすべての修正形式として、0 ij_の形のゴセット-エルテ図形が含まれます。

これらは、コクセター・ディンキン図とともに以下にリストされており、各次元ファミリーは、正単体のペトリー多角形の平面にグラフィック直交投影として描かれています。

Dファミリー[3^{ｎ −３,１,１}] デミハイパーキューブ

各 D _nグループには、1 _k1のn -半超立方体と、交互の単体面で構成される n - 正多面体の交互形式 k 11 の 2 つのゴセ・エルテ図形があります。平行n -半超立方体₍二重平行n立方体の対称性の低い形式) は、 0 _k11として表すこともできます。

え_ん家族 [3^{ｎ −４,２,１}]

4 から 8 までの各 E _{nグループには、 2 つまたは 3 つのゴセ・エルテ図形があり、}k ₂₁、1 _k2、2 _k1などのリング状の端点の 1 つで表されます。修正された1 _k2系列は、 0 _k21として表すこともできます。

ユークリッドハニカムと双曲ハニカム

6次元、7次元、8次元には3つのユークリッド（アフィン）コクセター群がある： ^[5]

7、8、9 次元には 3 つの双曲型 (パラコンパクト)コクセター群があります。

一般化として、この記号でより多くの3次枝も表現できる。4次元アフィンコクセター群、[3 ^1,1,1,1 ]は4つの3次枝を持ち、1つのハニカム1 ₁₁₁、 ${\tilde {Q}}_{4}$ は16セルハニカムの低対称形を表し、0 ₁₁₁₁はは、16セルのハニカム構造に対して定義される。5次元双曲型コクセター群, , [3 ^{1,1,1,1,1 ] は、5つの3次枝を持ち、1つのハニカム構造}1 ₁₁₁₁ ,を表現することができる。 ${\bar {L}}_{4}$ そしてその修正値は0 ₁₁₁₁₁となり、。