3 21 多面体

7次元幾何学において、3 ₂₁多面体は、 E ₇群の対称性の範囲内で構築された均一な 7 次元多面体です。これはソロルド・ゴセットによって発見され、1900 年の論文で発表されました。彼はこれを7 次元半正則図形と呼びました。^[1]

コクセター記号は3 ₂₁で、 3 つのノードのシーケンスの 1 つの端に単一のリングを持つ、 分岐コクセター-ディンキン図を表します。

平行化された 3 ₂₁は、 3 ₂₁の中央辺の点によって構成されます。二重平行化された 3 _{21 は}、 3 ₂₁の三角形の面の中心の点によって構成されます。三重平行化された 3 _{21 は}、 3 ₂₁の四面体の中心の点によって構成され、平行化された 1 ₃₂と同じになります。

これらの多面体は、7 次元の127 (2 ⁷ -1)個の凸一様多面体の族の一部であり、一様 6 次元多面体の面と頂点図形で構成され、このCoxeter-Dynkin 図の環のすべての順列によって定義されます。。

7 次元幾何学では、3 ₂₁多面体は一様多面体です。56 個の頂点と 702 個の面 (126 個の3 ₁₁と 576 個の6 単体)があります。

視覚化のために、この 7 次元多面体は、その 56 頂点が 18 角形の正多角形 (ペトリー多角形と呼ばれる) 内に収まる特殊な歪んだ正投影方向で表示されることがよくあります。その 756 の辺は、18 頂点の 3 つのリングと中央の 2 つの頂点の間に描かれます。特定の高次の要素 (面、セルなど) を抽出して、この投影上に描画することもできます。

3 ₂₁多面体の1 次元の骨格はゴセットグラフです。

この多面体は、 7 単体とともに、3 ₃₁とコクセター・ディンキン図で表される 7 次元空間をタイル張りすることができます。。

• これを最初に発見したエドマンド・ヘスにちなんで、ヘス多面体とも呼ばれます。
• これは1900年の論文でソロルド・ゴセットによって列挙された。彼はこれを7-ic半正則図形と呼んだ。^[1]
• ELエルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV _{56 （56頂点）と名付けた。} ^[2]
• HSM コクセターは、長さ 3、2、1 の 3 つの枝を持ち、3 番目の枝の最終ノードに単一のリングを持つ、分岐コクセター-ディンキン図から、これを3 _{21と呼びました。}
• ヘカトニコスヘキサ-ペンタコスヘプタコンティヘキサエクソン（略称Naq） - 126-576ファセットポリエクソン（ジョナサン・バワーズ）^[3]

56 個の頂点は、座標とその逆の 28 通りの順列によって得られる 8 次元空間で最も簡単に表現できます。

± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

その構成はE7グループに基づいています。Coxeterは、 3 ノード シーケンスの最後に 1 つのリングを持つ 分岐Coxeter-Dynkin 図から、これを3 ₂₁と名付けました。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると、 6単体が残ります。。

2長枝の末端の節点を除去すると、6-オルソプレックスは交互形態となる：3 ₁₁、。

すべての単体面は 6 つのオルソプレックス面と接しますが、オルソプレックスの交互面は単体または別のオルソプレックスと接します。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、2 ₂₁多面体が作成されます。。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導出できる。^[4]

3 _21は、半正多面体の次元シリーズの 5 番目です。各進行一様多面体は、前の多面体の頂点図形として構築されます。1900年にThorold Gosset は、このシリーズがすべての正多面体の面、すべての単体と正多面体を含むものであると特定しました。

これは、コクセターによって3 _k1級数として表現される、均一な多面体とハニカムの次元級数です。(縮退した 4 次元のケースは、3 球のタイリング、四面体細面体として存在します。)

• 整流された126-576ファセットポリエクソン（頭字語ranq）としての整流されたヘカトニコスヘキサ-ペンタコスヘプタコンティヘキサエクソン（Jonathan Bowers）^[5]

その構成はE7グループに基づいています。Coxeterは、 3 ノード シーケンスの最後に 1 つのノードを 持つ分岐Coxeter-Dynkin 図から、これを3 ₂₁と名付けました。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると、 6単体が残ります。。

2長枝の末端の節点を除去すると、整流された6-オルソプレックスは交互形式となる：t ₁ 3 ₁₁、。

3長枝の端のノードを削除すると、2 ₂₁が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、5次元立方体プリズムが作成されます。。

• 126-576面体ポリエクソン（頭字語：branq）としての二重整列ヘカトニコスヘキサ-ペンタコスヘプタコンティヘキサエクソン（Jonathan Bowers）^[6]

その構成はE7グループに基づいています。Coxeterは、 3 ノード シーケンスの最後に 1 つのノードを 持つ分岐Coxeter-Dynkin 図から、これを3 ₂₁と名付けました。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

短い枝のノードを削除すると、6次元の双対単体が残ります。。

2長枝の末端の節点を除去すると、6-オルソプレックスの交互形態であるt ₂ (3 ₁₁ )が残る。。

3長枝の端のノードを除去すると、修正された2 ₂₁多面体は交代形式t ₁ (2 ₂₁ )、。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、修正された5セル三角形のデュオプリズムが作成されます。。

• E7多面体のリスト

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• Elte, EL (1912)、「超空間の半正則多面体」、フローニンゲン：フローニンゲン大学
• HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] p342 (図3.7c) Peter mcMullen著参照: (3 ₂₁の18角形ノードエッジグラフ)
• Klitzing、Richard。「7D 均一多面体 (ポリエクサ)」。o3o3o3o *c3o3o3x - naq、o3o3o3o *c3o3x3o - ranq、o3o3o3o *c3x3o3o - branq

• vZome のゴセット多面体