一様8次元多面体

8 次元 幾何学において、8 次元多面体または8 次元多面体は、7 次元多面体面によって含まれる多面体です。各6 次元多面体の 稜線は、正確に 2 つの7 次元多面体 面によって共有されます。

一様 8 次元多面体は、頂点推移的であり、一様 7 次元多面体の面から構築されます。

正規の 8 次元多面体は、各ピークの周囲にv 個の { p,q,r,s,t,u,v}の 7 次元多面体ファセットを持つSchläfli 記号{p,q,r ,s,t,u}で表すことができます。

このような凸正則8次元多面体は正確に3つ存在します。

1. {3,3,3,3,3,3,3,3} - 8単体
2. {4,3,3,3,3,3,3,3} - 8 キューブ
3. {3,3,3,3,3,3,4} - 8-オルソプレックス

非凸正規 8 次元多面体は存在しません。

任意の8次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。^[1]

多面体を特徴付けるために使用されるオイラー特性の値は、高次元に一般化できず、その基礎となる位相が何であれ、すべての8次元多面体に対してゼロになります。高次元で異なる位相を確実に区別するためのオイラー特性のこの不十分さは、より洗練されたベッティ数の発見につながりました。^[1]

同様に、多面体の配向可能性の概念は、トーラス多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^[1]

反射対称性を持つ一様8次元多面体は、コクセター-ディンキン図の環の順列で表される次の4つのコクセター群によって生成できます。

各ファミリーから選択された正則かつ均一な 8 次元多面体には次のものが含まれます。

1. 単純型ファミリー: A ₈ [3 ⁷ ] -
   • 群図の環の順列として 135 個の一様な 8 次元多面体があり、そのうち 1 つは正則多面体です。
     1. {3 ⁷ } - 8-単体またはエニア-9-トープまたはエニアゼットン -
2. ハイパーキューブ/オルソプレックスファミリー: B ₈ [4,3 ⁶ ] -
   • 群図の環の順列として 255 個の均一な 8 次元多面体があり、そのうち 2 つは正則多面体です。
     1. {4,3 ⁶ } - 8 キューブまたはオクテラクト-
     2. {3 ⁶ ,4} - 8-オルソプレックスまたはオクタクロス-
3. 半超立方体D ₈族: [3 ^5,1,1 ] -
   • 群図の環の順列として、191 個の均一な 8 次元多面体があり、これには以下が含まれます。
     1. {3,3 ^5,1 } - 8-デミキューブまたはデミオクタラクト、1 ₅₁ -; h{4,3 ⁶ }とも呼ばれる。
     2. {3,3,3,3,3,3 ^1,1 } - 8-オルソプレックス、5 ₁₁ -
4. E多面体族E ₈族: [3 ^4,1,1 ] -
   • 群図の環の順列として、255 個の均一な 8 次元多面体があり、これには以下が含まれます。
     1. {3,3,3,3,3 ^2,1 } -ソロルド・ゴセットのセミレギュラー4 ₂₁、
     2. {3,3 ^4,2 } - 均一な1 ₄₂、、
     3. {3,3,3 ^4,1 } - 均一な2 ₄₁、

次のような均一な プリズマティックファミリが多数あります。

A ₈ファミリーは 362880 次 (9 の階乗) の対称性を持ちます。

1 つ以上の環を持つCoxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 135 あります(128+8-1 ケース)。これらはすべて以下に列挙されています。Bowers スタイルの頭字語名は相互参照のために括弧内に表示されます。

これらの多面体の 対称コクセター平面グラフについては、8 単体多面体のリストも参照してください。

B ₈族は、10321920 次 (8 の階乗x 2 ⁸ ) の対称性を持ちます。1つ以上の環を持つ Coxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 255 あります。

これらの多面体の 対称コクセター平面グラフについては、 B8 多面体のリストも参照してください。

D ₈ファミリーは、5,160,960 次 (8 の階乗x 2 ⁷ ) の対称性を持ちます。

このファミリーには、 1 つ以上のリングを持つD ₈コクセター-ディンキン図の3x64-1順列から、191 個のウィソフ一様多面体があります。127 (2x64-1) は B ₈ファミリーから繰り返され、64 はこのファミリーに固有であり、すべて以下にリストされています。

これらの多面体の Coxeter 平面グラフについては、 D8 多面体のリストを参照してください。

E ₈ファミリーの対称順序は 696,729,600 です。

1 つ以上の環を持つCoxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく 255 の形式があります。以下に 8 つの形式を示します。4 つの単環、3 つの切断 (2 つの環)、および最終的な全切断を以下に示します。相互参照用に、Bowers スタイルの頭字語名が示されています。

このファミリーの Coxeter 平面グラフについては、 E8 多面体のリストも参照してください。

7 次元空間で規則的かつ均一なタイル分割を生成する 基本的なアフィンコクセター群は5 つあります。

Regular and uniform tessellations include:

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{7}}$ 29 uniquely ringed forms, including:
  • 7-simplex honeycomb: {3^[8]}
• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$ 135 uniquely ringed forms, including:
  • Regular 7-cube honeycomb: {4,3⁴,4} = {4,3⁴,3^1,1}, =
• ${\displaystyle {\tilde {B}}_{7}}$ 191 uniquely ringed forms, 127 shared with ${\displaystyle {\tilde {C}}_{7}}$, and 64 new, including:
  • 7-demicube honeycomb: h{4,3⁴,4} = {3^1,1,3⁴,4}, =
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{7}}$, [3^1,1,3³,3^1,1]: 77 unique ring permutations, and 10 are new, the first Coxeter called a quarter 7-cubic honeycomb.
  • , , , , , , , , ,
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$ 143 uniquely ringed forms, including:
  • 1₃₃ honeycomb: {3,3^3,3},
  • 3₃₁ honeycomb: {3,3,3,3^3,1},

There are no compact hyperbolic Coxeter groups of rank 8, groups that can generate honeycombs with all finite facets, and a finite vertex figure. However, there are 4 paracompact hyperbolic Coxeter groups of rank 8, each generating uniform honeycombs in 7-space as permutations of rings of the Coxeter diagrams.

• T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
• A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
• H.S.M. Coxeter:
  • H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Wiley::Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• Klitzing, Richard. "8D uniform polytopes (polyzetta)".

• Polytope names
• Polytopes of Various Dimensions
• Multi-dimensional Glossary