鉱石拡張

数学、特に環論として知られる代数学の分野において、オイステイン・オーレにちなんで名付けられたオーレ拡大は、その特性が比較的よく理解されている特殊なタイプの環拡大です。オーレ拡大の元はオーレ多項式と呼ばれます。

鉱石拡張は、歪曲多項式環、微分多項式環、多環式群の群代数、可解リー代数の普遍包絡代数、量子群の座標環など、いくつかの自然なコンテキストに現れます。

R が（必ずしも可換ではない）環であり、が環準同型であり、 がRのσ微分であるとする。これは、 が次を満たす アーベル群の準同型であることを意味する。${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$${\displaystyle \delta \colon R\to R}$ ${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle \delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1})\delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}}$。

すると、Ore拡大は、 歪多項式環とも呼ばれ、多項式環に新たな乗法を与えることで得られる非可換環であり、恒等式に従う。 ${\displaystyle R[x;\sigma ,\delta ]}$ ${\displaystyle R[x]}$

${\displaystyle xr=\sigma (r)x+\delta (r)}$。

δ = 0 (つまり、ゼロ写像)の場合、Ore拡大はR [ x ;  σ ]と表記されます。σ = 1 (つまり、恒等写像)の場合、Ore拡大はR [  x ,  δ ]と表記され、微分多項式環 と呼ばれます。

ワイル代数は Ore 拡大であり、Rは任意の可換多項式環、σ は恒等環自己準同型、δ は多項式微分です。Ore 代数は、グレブナー基底の理論の非可換拡大を展開することを可能にする適切な制約の下での反復 Ore 拡大のクラスです。

• ドメインの Ore 拡張はドメインです。
• 歪体の Ore 拡大は非可換主イデアル領域です。
• σ が自己同型でR が左ノイザン環である場合、 Ore 拡大R [  λ ;  σ ,  δ  ] も左ノイザン環になります。

環Rの要素fは

• R·f = f·Rの場合、両側^[1] （または不変^[2]）であり、
• Rのすべてのgに対してg·f = f·gであれば、中心的となります。

• Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (2004)、「非可換ノイザン環入門、第2版」、ロンドン数学会学生テキスト、第61巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-54537-4、MR  2080008
• McConnell, JC; Robson, JC (2001)、「非可換ノイザン環」、Graduate Studies in Mathematics、第30巻、プロビデンス、RI：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2169-5、MR  1811901
• Azeddine Ouarit (1992) Extensions de ore d'anneaux noetheriens á ip、Comm.代数、20 No 6、1819-1837。 https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• Azeddine Ouarit (1994) PI Ore エクステンションの Jacobson 特性に関するコメント。 (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extensions de Ore a IP) (フランス語) Zbl 0819.16024。アーチ。数学。 63、No.2、136-139 (1994)。 https://zbmath.org/?q=an:00687054
• ローウェン、ルイス H. (1988)、リング理論、第 I 巻、第 II 巻、純粋および応用数学、第 127 巻、128 巻、ボストン、マサチューセッツ州:アカデミック プレス、ISBN 0-12-599841-4、MR  0940245