半反射的空間

関数解析として知られる数学の分野において、半反射空間とは、局所的に凸な位相 ベクトル空間(TVS) Xであり、 Xからその双対 ( Xの強双対) への標準評価写像が全単射であるような空間である。この写像が TVS の同型でもある場合、それは反射的であると呼ばれる。

半反射空間は、局所凸TVSの一般理論において重要な役割を果たします。規範可能なTVS が半反射的であるためには、それが反射的である必要があります。そのため、半反射性の概念は主に規範可能でない TVS で使用されます。

X が体（実数または複素数）上の位相ベクトル空間（TVS）であり、その連続双対空間 がX上の点を分離すると仮定する（つまり、任意の体に対してとなるようなものが存在する）。と の両方がXの強双対を表すものとする。これは、 Xの有界部分集合上の一様収束の位相を備えたX上の連続線型関数のベクトル空間である。この位相は強双対位相とも呼ばれ、連続双対空間に配置される「デフォルト」の位相である（別の位相が指定されない限り）。X がノルム空間である場合、 Xの強双対は、通常のノルム位相を持つ連続双対空間である。で表されるXの双対は、の強双対である。つまり、空間 である。^[1]${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X_{\beta}^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime \prime}}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

任意の に対して がで定義され、はxにおける評価写像と呼ばれる。は必然的に連続なので、 が成り立つ。 はX上の点を分離するので、で定義される写像は単射であり、この写像は評価写像または標準写像と呼ばれる。 この写像は1927 年にハンス・ハーンによって導入された。^[2]${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle J(x):=J_{x}}$

が全単射（または同値で全射）であるとき、X は半反射的であるといい、加えて がTVS の同型であるとき、 X は反射的であるといいます。 ^[1] X がノルム空間であれ ば、 J はその値域へのTVS 埋め込みであると同時に等長写像でもあります。さらに、ゴールドスタインの定理（1938 年に証明）によれば、 Jの値域は双双対 の稠密な部分集合です。^[2]ノルム可能 空間が反射的であるための必要十分条件は、半反射的である場合です。バナッハ空間が反射的であるための必要十分条件は、その閉じた単位球が -コンパクトである場合です。^[2]${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$

X を数体(実数または複素数)上の位相ベクトル空間とします。その強双対空間について考えます。これはすべての連続線型関数から成り、強位相、つまりX内の有界部分集合上の一様収束の位相を備えています。空間は位相ベクトル空間 (より正確には、局所凸空間) なので、その強双対空間 を考えることができます。これはXに対する強双対空間と呼ばれます。これはすべての連続線型関数から成り、強位相 を備えています。各ベクトルは、次の式によってマップを生成します。 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

これは 上の連続線型関数、つまり です。評価マップまたは標準射影と呼ばれるマップが得られます。 ${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

これは線型写像である。Xが局所的に凸である場合、ハーン・バナッハの定理から、J は単射かつ開写像である（つまり、Xの零近傍ごとに、となる零近傍Vが存在する）。しかし、J は非全射かつ/または不連続である可能性がある。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

局所凸空間は、評価写像が全射（したがって全単射）である場合に 半反射的と呼ばれます。評価写像が全射かつ連続である場合に 反射的と呼ばれます。この場合、 J はTVS の同型になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

X がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。

1. X は半反射的です。
2. X上の弱位相はハイン・ボレル性質を持つ（つまり、弱位相に対して、 のすべての閉有界部分集合は弱コンパクトである）。^[1]${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X_{\sigma}}$
3. 連続な線型形式が強双対位相を持つ場合、その線型形式は弱位相を持つ場合も連続である。 ^[3]${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime}}$
4. ${\displaystyle X_{\タウ }^{\プライム }}$は樽型で、 は上のマッキー位相を示す。^[3]${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X^{\prime}}$
5. Xが弱い場合、弱い位相は準完全である。^[3]${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

すべての半モンテル空間は半反射的であり、すべてのモンテル空間は反射的である。

がハウスドルフ局所凸空間である場合、からその双対への標準的な射影は、がアンダーバレルである場合に限り位相的埋め込みとなる。^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

半反射空間の強い双対は樽型である。すべての半反射空間は準完全である。^[3] すべての半反射ノルム空間は反射バナッハ空間である。^[6] 半反射空間の強い双対は樽型である。^[7]

X がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。

1. Xは再帰的です。
2. X は半反射的で樽型です。
3. Xは樽型であり、 X上の弱い位相はハイン・ボレル性質を持つ（つまり、弱い位相に対して、のすべての閉じた有界部分集合は弱コンパクトである）。^[1]${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X_{\sigma}}$
4. Xは半反射的かつ準バレル型である。^[8]

X がノルム空間である場合、以下は同値です。

1. Xは再帰的です。
2. Xが弱位相を持つとき、閉じた単位球はコンパクトである。^[9]${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$
3. Xはバナッハ空間であり反射的である。^[10]${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

全ての非反射的無限次元バナッハ空間は半反射的ではない特別な空間である。 ^[11]が反射的バナッハ空間の稠密な真ベクトル部分空間である 場合、 は半反射的ではないノルム空間であるが、その強双対空間は反射的バナッハ空間である。^[11]樽状ではない半反射的可算樽状空間 が存在する。^[11]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• グロタンディーク空間- 反射空間のいくつかの特性を持ち、実用上重要な多くの空間を含む一般化。
• 再帰的作用素代数
• 反射的な空間

• エドワーズ、ロバート E. (1995)。関数解析: 理論と応用。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• エドワーズ、RE（1965）。関数解析。理論と応用。ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン。ISBN 0030505356。
• John B. Conway、『関数解析コース』、Springer、1985年。
• ジェームズ、ロバート C. (1972)、「ノルム線形空間の自己双対特性」、無限次元位相幾何学に関するシンポジウム (ルイジアナ州立大学、ルイジアナ州バトンルージュ、1967 年)、数学研究年報、第 69 巻、プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局、pp. 159–175。
• Khaleelulla , SM (1982)。位相ベクトル空間における反例。数学講義ノート。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
• Kolmogorov, AN; Fomin, SV (1957).関数理論と関数解析の要素、第1巻: 距離空間とノルム空間。ロチェスター: Graylock Press。
• メギンソン、ロバート E. (1998)、「バナッハ空間理論入門」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 183、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+596、ISBN 0-387-98431-3。
• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.