下層路盤

数学の位相において、位相空間( X , τ )の位相τのサブベース(またはサブベース、プレベース、プレベース)は、サブコレクションです。${\displaystyle B}$の$\displaystyle \tau }$生成する${\displaystyle \tau ,}$そういう意味で${\displaystyle \tau }$最小のトポロジーで、${\displaystyle B}$開集合として定義される。一部の著者は若干異なる定義を使用しており、他にも有用な同義の定式化が存在する。これらについては後述する。

サブベースは、トポロジーにおけるベースという概念よりも弱い概念である。

させて${\displaystyle X}$位相空間であり、位相を持つ${\displaystyle \tau .}$サブベース​${\displaystyle \tau }$通常はサブコレクションとして定義される${\displaystyle B}$の${\displaystyle \tau }$以下の3つの同等の条件のうちいずれか1つを満たすこと：

1. ${\displaystyle \tau }$最小のトポロジーで、${\displaystyle B}$: 任意のトポロジー${\displaystyle \tau ^{\prime }}$の上${\displaystyle X}$含む${\displaystyle B}$必ず${\displaystyle \tau .}$
2. ${\displaystyle \tau }$は、すべてのトポロジの交差です。${\displaystyle X}$含む${\displaystyle B.}$
3. 開集合のコレクション${\displaystyle X}$要素のすべての有限な交差${\displaystyle B}$基礎を形成する${\displaystyle \tau .}$^{[ 1 ] [注 1 ]}これは、すべての真の開集合が${\displaystyle \tau }$は、要素の有限な交差の和集合として記述できます。${\displaystyle B.}$具体的には、ある点が与えられた場合${\displaystyle x}$オープンセットで${\displaystyle U\subsetneq X,}$集合の数は有限である${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$の${\displaystyle B,}$これらの集合の共通部分に${\displaystyle x}$そして、${\displaystyle U.}$

さらに、${\displaystyle B}$カバー${\displaystyle X}$または、ヌル項交差規約を使用する場合は、含める必要はありません。${\displaystyle X}$3番目の定義において。

もし${\displaystyle B}$はサブベースです${\displaystyle \tau }$私たちはこう言います${\displaystyle B}$トポロジーを生成する${\displaystyle \tau .}$この用語は、${\displaystyle \tau }$から${\displaystyle B}$上記の2番目または3番目の定義を使用します。

部分基底の要素は部分基底（開）集合と呼ばれます。部分基底集合から構成される被覆は部分基底（開）被覆と呼ばれます。

任意のサブコレクションについて${\displaystyle S}$冪集合の${\displaystyle \wp (X),}$独自のトポロジーが存在する${\displaystyle S}$サブベースとして、すべてのトポロジーの交差です。${\displaystyle X}$含む${\displaystyle S}$しかし一般に、その逆は真ではなく、与えられた位相に対して一意な部分基底は存在しない。

したがって、固定されたトポロジーから始めてそのトポロジーのサブベースを見つけることができ、また、冪集合の任意のサブコレクションから始めることもできます。${\displaystyle \wp (X)}$そして、その部分集合によって生成されるトポロジーを形成します。上記のいずれの定義も自由に使用できます。実際、多くの場合、3つの条件のうちの1つが他の条件よりも有用です。

任意の部分集合によって生成されるトポロジー${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}$（空集合によるものを含む）${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }$) は自明な位相に等しい${\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}$

もし${\displaystyle \tau }$はトポロジーである${\displaystyle X}$そして${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は基礎となる${\displaystyle \tau }$次に、によって生成されたトポロジー${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は${\displaystyle \tau .}$したがって、いかなる根拠も${\displaystyle {\mathcal {B}}}$トポロジーの場合${\displaystyle \tau }$また、サブベースでもある${\displaystyle \tau .}$ もし${\displaystyle {\mathcal {S}}}$は、の任意の部分集合です。${\displaystyle \tau }$次に、によって生成されたトポロジー${\displaystyle {\mathcal {S}}}$サブセットになります${\displaystyle \tau .}$

実数上の通常の位相${\displaystyle \mathbb {R} }$半無限開区間からなる部分基底を持ち、その形式は${\displaystyle (-\infty ,a)}$または${\displaystyle (b,\infty ),}$どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$これらは実数です。これらを合わせると、通常のトポロジーが生成されます。なぜなら、交差部分${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$のために${\displaystyle a\leq b}$通常のトポロジーを生成する。2番目のサブベースは、サブファミリーを取って形成される。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は有理数である。 2 番目のサブベースも通常のトポロジーを生成する。なぜなら、開区間は${\displaystyle (a,b)}$と${\displaystyle a,}$${\displaystyle b}$有理数は、通常のユークリッド位相の基礎となる。

半無限開区間のすべてからなるサブベースは次の形式である。${\displaystyle (-\infty ,a)}$一人で、${\displaystyle a}$は実数であり、通常の位相は生成されません。結果として得られる位相は、T ₁分離公理を満たしません。なぜなら、${\displaystyle a<b}$すべての開集合${\displaystyle b}$また、${\displaystyle a.}$

初期トポロジー​${\displaystyle X}$関数のファミリーによって定義される${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$それぞれ${\displaystyle Y_{i}}$トポロジーを持ち、最も粗いトポロジーです${\displaystyle X}$それぞれ${\displaystyle f_{i}}$は連続である。連続性は開集合の逆像によって定義できるため、これは、上の初期位相が${\displaystyle X}$すべてを取ることで与えられます${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$ どこ${\displaystyle U}$すべての開部分集合の範囲${\displaystyle Y_{i},}$副次的な基盤として。

初期位相の重要な特殊ケースとして、積位相（関数の族は積から各因子への射影の集合）と部分空間位相（関数の族は包含写像という1つの関数のみで構成される）がある。

連続関数の空間上のコンパクト開位相${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$サブベースには関数のセットがあります $${\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}$$ どこ${\displaystyle K\subseteq X}$コンパクトで​${\displaystyle U}$は、の開部分集合である。${\displaystyle Y.}$

仮に${\displaystyle (X,\tau )}$はハウスドルフ位相空間であり、${\displaystyle X}$2 つ以上の要素を含む (例:${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ユークリッド位相を持つ）。${\displaystyle Y\in \tau }$の空でない開部分集合とする${\displaystyle (X,\tau )}$（例えば、${\displaystyle Y}$は空でない有界開区間である可能性がある${\displaystyle \mathbb {R} }$）そして${\displaystyle \nu }$上の部分空間の位相を表す${\displaystyle Y}$それ${\displaystyle Y}$から継承する${\displaystyle (X,\tau )}$（それで${\displaystyle \nu \subseteq \tau }$) 次に、によって生成されたトポロジー${\displaystyle \nu }$の上${\displaystyle X}$は和集合に等しい${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$（説明については脚注を参照） [^{注2 ]}${\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }$（以来${\displaystyle (X,\tau )}$ハウスドルフの場合、等号が成立するのは、${\displaystyle Y=X}$)注意して${\displaystyle Y}$は、の真部分集合である。${\displaystyle X,}$それから${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$は最小のトポロジーです${\displaystyle X}$含む${\displaystyle \nu }$まだ${\displaystyle \nu }$対象外${\displaystyle X}$（つまり、組合）${\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}$は、の真部分集合である。${\displaystyle X}$)

部分基底に関する良い事実の 1 つは、関数の連続性は範囲の部分基底でのみチェックすればよいということです。つまり、${\displaystyle f:X\to Y}$は位相空間間の写像であり、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$はサブベースです${\displaystyle Y,}$それから${\displaystyle f:X\to Y}$連続であるのは、${\displaystyle f^{-1}(B)}$オープンしています${\displaystyle X}$すべての${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$ ネット（またはシーケンス）${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$一点に収束する${\displaystyle x}$すべてのサブ基本近傍が${\displaystyle x}$すべてを含む${\displaystyle x_{i}}$十分に大きい${\displaystyle i\in I.}$

• 基底（トポロジー）– トポロジーを定義するために使用される開集合の集合 

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章[ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。土井: 10.1007/978-3-642-61701-0。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 . 
• デュグンジ、ジェームズ（ 1966）。トポロジー。ボストン：アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 . 
• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2 版）.アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール社. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260。​ （視覚障害のある利用者も利用可能）
• ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。​ 
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7OCLC 115240。​