有界集合（位相ベクトル空間）

関数解析や数学の関連分野では、位相ベクトル空間内の集合は、零ベクトルのすべての近傍を膨張させてその集合を含めることができる場合、有界集合またはフォン・ノイマン有界集合と呼ばれます。有界でない集合は、非有界集合と呼ばれます。

有界集合は、双対のベクトル空間上の局所 凸極位相を定義する自然な方法です。有界集合の極集合は絶対凸かつ吸収集合であるためです。この概念は、 1935 年にジョン・フォン・ノイマンとアンドレイ・コルモゴロフによって初めて導入されました。

体上の位相ベクトル空間（TVS）を仮定する${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

のサブセットは、次の同等の条件のいずれかが満たされる場合、 フォン ノイマン有界または単に有界であると呼ばれます。${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. 定義:原点の任意の近傍に対して、^{[注 1]}を満たすすべてのスカラーに対して、実数が存在する。^[1]${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B\subseteq sV}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\geq r.}$
   • これは1935年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された定義である。^[1]
2. ${\displaystyle B}$起源のあらゆる近隣に吸収される。^[2]
3. 原点のあらゆる近傍に対して、次のようなスカラーが存在する。${\displaystyle V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B\subseteq sV.}$
4. 原点のあらゆる近傍に対して、任意のスカラーが^[1]を満たすような実数が存在する。${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle sB\subseteq V}$${\displaystyle s}$${\displaystyle |s|\leq r.}$
5. 原点の任意の近傍に対して、任意の実数^[3]に対してとなる実数が存在する。${\displaystyle V}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle tB\subseteq V}$${\displaystyle 0<t\leq r.}$
6. 上記(1)から(5)までの文のうち、「近隣」という語を以下のいずれかに置き換えたもの：「バランスのとれた近隣」、「開放的でバランスのとれた近隣」、「閉鎖的でバランスのとれた近隣」、「開放的な近隣」、「閉鎖的な近隣」。
   • 例えば、ステートメント(2)は次のように書き換えられる:が有界となるのは、原点のあらゆる均衡近傍によって吸収される場合のみである。 ^[1]${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$
   • が局所的に凸である場合、形容詞「凸」もこれら 5 つの置換のいずれかに追加される可能性があります。${\displaystyle X}$
7. に収束するスカラー列のすべてと、その列内のすべての列が^[1]に収束する。${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$${\displaystyle B,}$${\displaystyle s_{1}b_{1},s_{2}b_{2},s_{3}b_{3},\ldots }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$
   • これは、アンドレイ・コルモゴロフが1934年に使用した「有界」の定義であり、1933年にスタニスワフ・マズールとヴワディスワフ・オルリッチが距離化可能なTVSに対して導入した定義と同じである。コルモゴロフはこの定義を使用して、TVSが原点の有界凸近傍を持つ場合にのみ半ノルム可能であることを証明した。^[1]
8. シーケンス内の各シーケンスは^[4]に収束する。${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$${\displaystyle B,}$${\textstyle \left({\tfrac {1}{i}}b_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X.}$
9. のすべての可算部分集合は有界である（この定義条件以外の定義条件に従って）。^[1]${\displaystyle B}$

が原点における近傍基数である場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性 があります。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

10. 上記(1)から(5)のいずれかの記述。ただし、地域は以下に属する地域に限定される。${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
    • 例えば、ステートメント（3）は次のように書ける。任意のスカラーに対して、${\displaystyle V\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B\subseteq sV.}$

が局所凸空間であり、その位相が連続半ノルムの族によって定義される場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

11. ${\displaystyle p(B)}$^{はすべての[1]}に対して有界である。${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}.}$
12. ゼロでないスカラーのシーケンスが存在し、シーケンス内のすべてのシーケンスが（この定義条件以外の任意の定義条件に従って）制限される。 ^[1]${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots }$${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots }$${\displaystyle B,}$${\displaystyle b_{1}s_{1},b_{2}s_{2},b_{3}s_{3},\ldots }$${\displaystyle X}$
13. すべては（これ以外の定義条件に従って）半ノルム空間内で有界である。${\displaystyle p\in {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p).}$
14. Bは弱有界である、すなわち、すべての連続線型関数はB上で有界である^[5]

がノルムを持つノルム空間である場合（またはより一般的には、 が半ノルム空間であり、 が単なる半ノルムである場合）、^{[注 2]}このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

14. ${\displaystyle B}$はノルム有界部分集合である。定義により、これはすべての^[1]に対して、${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \|b\|\leq r}$${\displaystyle b\in B.}$
15. ${\displaystyle \sup _{b\in B}\|b\|<\infty .}$
    • したがって、が2つのノルム空間（または半ノルム空間）間の線型写像であり、が原点を中心とする閉じた（または開いた）単位球である場合、は有界線型作用素（その作用素ノルムが有限であることを意味することを思い出してください）であり、その場合のみ、この球の像はのノルム有界部分集合です。${\displaystyle L:(X,\|\cdot \|)\to (Y,\|\cdot \|)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \|L\|:=\sup _{b\in B}\|L(b)\|<\infty }$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (Y,\|\cdot \|).}$
16. ${\displaystyle B}$何らかの（開いたまたは閉じた）球の部分集合である。^{[注 3]}
    • このボールは原点を中心とする必要はありませんが、その半径は（通常どおり）正で有限である必要があります。

がTVS のベクトル部分空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

17. ${\displaystyle B}$^[1]の閉鎖に含まれる${\displaystyle \{0\}.}$
    • 言い換えれば、のベクトル部分空間が有界となるのは、それが（ベクトル空間）の部分集合である場合のみである。${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$
    • がハウスドルフ空間であるのは、が閉じている場合に限るということを思い出してください。したがって、ハウスドルフTVSの唯一の有界ベクトル部分空間は${\displaystyle X}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \{0\}.}$

境界のないサブセットは、非境界サブセットと呼ばれます。

位相ベクトル空間上のすべての有界集合の集合は、フォン・ノイマンのボルノロジーまたは（標準的な）ボルノロジーと呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

の有界集合の基本または基本システムは、の有界部分集合の集合であり、 のすべての有界部分集合は、何らかのの部分集合である^[1] のすべての有界部分集合の集合は、の有界集合の基本システムを自明に形成します。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

任意の局所凸TVSにおいて、閉じた有界円板の集合は有界集合の基底となる。^[1]

特に明記しない限り、位相ベクトル空間(TVS)はハウスドルフまたは局所凸である必要はありません。

• 有限集合は有界である。^[1]
• TVSの完全に有界な部分集合はすべて有界である。 ^[1]
• 位相ベクトル空間内の相対的にコンパクトな集合はすべて有界です。空間に弱い位相が備わっている場合は、逆も当てはまります。
• コーシー列の点の集合は有界ですが、コーシー ネットの点の集合は有界である必要はありません。
• 原点の閉包（集合 の閉包を指す）は常に有界閉ベクトル部分空間である。この集合は、 の唯一の最大の（集合包含に関して）有界ベクトル部分空間である。特に、が の有界部分集合である場合、も有界である。${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\{0\}}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B+\operatorname {cl} _{X}\{0\}.}$

無限集合

有界でない集合は、非有界であると言われます。

の閉包に含まれないTVSのベクトル部分空間は非有界である。 ${\displaystyle \{0\}}$

有界部分集合と稠密ベクトル部分空間を持つフレシェ空間 が存在し、その空間は^[6]の任意の有界部分集合の閉包（ ）に含まれない。${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle M}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M.}$

• 任意のTVSでは、有限和、有限ミンコフスキー和、スカラー倍、変換、部分集合、閉包、内部、有界集合のバランス包は再び有界になります。^[1]
• 任意の局所凸TVSでは、有界集合の凸包（凸包とも呼ばれる）は再び有界になります。 ^[7]しかし、空間が局所凸でない場合は、これは誤りである可能性があります。なぜなら、の（非局所凸）Lp空間 には非自明な開凸部分集合がないためです。 ^[7]${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 0<p<1}$
• 連続線型写像による有界集合の像は、共役領域の有界部分集合である。^[1]
• TVS の任意の(直交) 積のサブセットが有界となるのは、すべての座標投影の下でのそのイメージが有界となる場合のみです。
• およびがの位相ベクトル部分空間である場合、 は で有界であり、 が で有界である場合に限ります^[1]${\displaystyle S\subseteq X\subseteq Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y.}$
  • 言い換えれば、部分集合が有界であるのは、それが任意の（または同等に、いくつかの）位相ベクトル超空間で有界である場合に限ります。${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

局所凸位相ベクトル空間は、その位相が単一の半ノルムによって定義できる場合にのみ、ゼロの有界近傍を持ちます。

有界集合の極は絶対凸かつ吸収集合です。

以下に示す一様有界集合の定義を使用すると、Mackey の可算条件は次のように言い換えることができます。距離化可能な局所凸空間の有界部分集合である場合、一様有界である正の実数のシーケンスが存在します。つまり、距離化可能な局所凸空間内の有界集合の可算なファミリが与えられた場合、各集合をその正の実数でスケーリングして、一様有界にすることができます。 ${\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3},\ldots }$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\ldots }$${\displaystyle t_{1}B_{1},\,t_{2}B_{2},\,t_{3}B_{3},\ldots }$

位相ベクトル空間の部分集合の集合族は 次のように表現される。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$において一様有界で、 の有界部分集合が存在し 、その和集合が の有界部分集合である場合に限り成立するノルム（または半ノルム の場合、族が一様有界であるとは、その和集合がノルム有界である場合。つまり、に対してなる、または同値であるが、${\displaystyle Y,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle B\subseteq D\quad {\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}},}$$$${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}~:=~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}$${\displaystyle M\geq 0}$${\textstyle \|b\|\leq M}$${\displaystyle b\in \cup {\mathcal {B}},}$${\textstyle \sup _{\stackrel {b\in B}{B\in {\mathcal {B}}}}\|b\|<\infty .}$

からまでの地図の集合は、${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$与えられた集合上で一様有界である とは、定義によりのこと族が一様有界である場合、またはそれと同値としてが の有界部分集合であるつのノルム（または半ノルム）空間間の線型写像の 集合、非退化閉球）上で一様有界である場合に限ります。つまり、${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle H(C):=\{h(C):h\in H\}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h(C)\subseteq D{\text{ for all }}h\in H,}$${\textstyle \cup H(C):=\bigcup _{h\in H}h(C)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\textstyle \sup _{h\in H}\|h\|<\infty .}$

の任意の単一部分集合は有界部分集合でもあるので、が2つの位相ベクトル空間と（必ずしもハウスドルフまたは局所凸である必要はない）間の連続線型作用素の等連続集合である場合、任意の の軌道はの有界部分集合となる。${\displaystyle X}$${\displaystyle H\subseteq L(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ ${\textstyle H(x):=\{h(x):h\in H\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle Y.}$

有界集合の定義は位相加群に一般化できる。位相環上の位相加群の部分集合が有界であるとは、の任意の近傍に対しての近傍が存在し、${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0_{M}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle 0_{R}}$${\displaystyle wA\subseteq B.}$

• ボルノロジー空間 – 有界演算子が連続する空間
• 貪食集合 – 任意の有界部分集合を吸収できる集合
• 有界関数 – 値の集合が有界である数学関数
• 有界演算子 – 位相ベクトル空間間の線形変換
• 境界点 – ベクトル空間の部分集合に関連する数学的概念
• コンパクト空間 – 数学的空間の種類
• コルモゴロフの規範可能性基準 – 規範可能空間の特徴
• 局所的境界
• 完全に有界な空間 – コンパクト性の一般化

注記

• アダッシュ、ノルベルト、エルンスト、ブルーノ、ケイム、ディーター (1978)。位相ベクトル空間:凸性条件のない理論。数学講義ノート。第639巻。ベルリンニューヨーク:シュプリンガー出版社。ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
• ベルベリアン、スターリング K. (1974)。関数解析と演算子理論の講義。数学の大学院テキスト。第 15 巻。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
• コンウェイ、ジョン（1990）。関数解析コース。数学大学院テキスト。第96巻（第2版）。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• エドワーズ、ロバート E. (1995)。関数解析: 理論と応用。ニューヨーク: Dover Publications。ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• グロタンディーク、アレクサンダー(1973)。位相ベクトル空間。翻訳：チャルジュブ、オーランド。ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ。ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
• ヤルコウ、ハンス (1981)。局所的に凸状の空間。シュトゥットガルト：BG・トイブナー。ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
• ケーテ、ゴットフリート(1983) [1969]。位相ベクトル空間 I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 159. Garling、DJH ニューヨーク訳: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498. OCLC  840293704.
• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Robertson, AP; WJ Robertson (1964)。位相ベクトル空間。ケンブリッジ数学論文集。第53巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 44–46。
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• ロバートソン、アレックス P.; ロバートソン、ウェンディ J. (1980)。位相ベクトル空間。ケンブリッジ数学論文集。第 53 巻。ケンブリッジ、イギリス:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC  589250.
• シェーファー、HH (1970)。位相ベクトル空間。GTM 。第3巻。シュプリンガー出版。pp. 25–26。ISBN 0-387-05380-8。
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.