2次元空間

2次元空間は2次元の数学的空間であり、点には2つの自由度があることを意味します。つまり、点の位置は2つの座標で局所的に記述することも、2つの独立した方向に移動することもできます。一般的な2次元空間は、平面、またはより一般的には表面と呼ばれることがよくあります。これらには、平面などの物理的空間の類似物や、球、円柱、円錐などの曲面（無限または有限）が含まれます。アフィン平面や複素平面などの一部の2次元の数学的空間は、物理的な位置を表すために使用されません。

最も基本的な例は、平らなユークリッド平面です。これは、紙や黒板などの物理空間の平らな表面を理想化したものです。ユークリッド平面では、任意の 2 点を 1 つの直線で結ぶことができ、その直線に沿って距離を測定できます。空間が平らなのは、2 本の線と、その線の両方に垂直な3 本目の線が交差する任意の 2 本の線が平行であるためです。つまり、それらの線が交差することはなく、互いに一定の距離を保つことを意味します。

2 次元空間も曲がることがあります。たとえば、球面や双曲面は、十分に小さい部分は平面のように見えますが、局所的に平行な直線は互いに等距離にならず、最終的にはそれぞれ収束または発散します。距離の概念が局所的にユークリッドであるが、曲率が一様でない可能性のある 2 次元空間は、リーマン面と呼ばれます。(リーマン面と混同しないでください。) 一部の面は、3 次元ユークリッド空間またはその他の周囲空間に埋め込まれ、そこから構造を継承します。たとえば、円筒や円錐などの線織面には、各点を通る直線が含まれており、極小面は、石鹸膜によって物理的に行われるように、局所的に面積を最小化します。

ローレンツ面は、局所的には、1 つの空間次元と 1 つの時間次元を持つ相対論的 時空の 2 次元スライスのように見えます。一定曲率の例としては、平坦なローレンツ平面 (ミンコフスキー空間の 2 次元部分空間) と、曲がったド・ジッター平面および反ド・ジッター平面があります。

他の種類の数学的な平面や曲面は、ユークリッド平面を定義する構造を変更または排除します。たとえば、アフィン平面には平行線の概念がありますが、距離の概念はありません。ただし、より一般的なシンプレクティック面の場合と同様に、符号付き領域を意味のある形で比較できます。射影平面では、距離と平行性の両方が排除されます。2 次元計量空間には距離の概念がありますが、ユークリッドのバージョンと一致する必要はありません。位相面は、その本質的な特性を変えずに、引き伸ばしたり、ねじったり、曲げたりすることができます。代数面は、多項式方程式系の2 次元の解の集合です。

一部の数学的空間には、点に関連付けられた追加の算術構造があります。ベクトル平面は、ベクトルと呼ばれる点が特別に指定された原点またはゼロベクトルを含むアフィン平面です。ベクトルは、加算したり、数値で拡大縮小したりすることができ、オプションでユークリッド、ローレンツ、またはガリレオの距離の概念を持つことができます。複素平面、双曲数平面、および双曲数平面には、それぞれ数とみなされる点があり、加算および乗算できます。リーマン面またはローレンツ面は、それぞれ複素平面または双曲数平面のように見えます。

数学的空間は、幾何学的公理ではなく数値を使用して定義または表現されることが多い。最も基本的な 2 次元空間の 1 つは、 実数座標のペアで構成されると示される実座標空間である。この空間は、数学モデルのパラメーター空間や物理システムの 構成空間のように、幾何学的位置ではなく任意の量を表すこともある。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

より一般的には、他の種類の数値を座標として使用できます。複素平面は、実数座標から形成されると考えられる場合は 2 次元ですが、複素数座標では1 次元です。2 次元複素空間 (2 次元複素座標空間、複素射影平面、複素面など) には 2 つの複素次元があり、4 つの実次元を使用して表現することもできます。2次元格子は、整数座標を使用して表現できる点の無限グリッドです。有限平面などの一部の 2 次元空間には、有限の要素セットしかありません。

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