有限幾何学

アフィン平面幾何学とは、空でない集合X（その要素は「点」と呼ばれる）と、Xの部分集合の空でない集合L（その要素は「線」と呼ばれる）からなるもので、以下の条件を満たす。

1. 異なる2つの点に対して、両方の点を含む直線は必ず1本存在する。
2. プレイフェアの公理：線が与えられた場合${\displaystyle \ell }$そしてポイント${\displaystyle p}$オンではない${\displaystyle \ell }$ちょうど1行だけ存在する${\displaystyle \ell '}$含む${\displaystyle p}$そのため${\displaystyle \ell \cap \ell '=\varnothing .}$
3. 4つの点の集合が存在し、そのうち3つは同じ直線上にない。

最後の公理は、幾何学が自明ではないこと（空であるか、あるいは興味を引くには単純すぎる、例えば任意の数の点を持つ一本の線など）を保証するものであり、最初の2つの公理は幾何学の性質を規定するものである。

最も単純なアフィン平面は4つの点のみを含み、これを2次のアフィン平面と呼びます。（アフィン平面の次数とは、任意の直線上にある点の数のことです。詳細は後述します。）どの3点も同一直線上にはないので、任意の2点から一意の直線が決定され、この平面には6本の直線が含まれます。これは、交差しない辺が「平行」とみなされる正四面体、または対角線だけでなく対角線も「平行」とみなされる正方形に対応します。

3次のアフィン平面はヘッセ配置として知られています。

より一般的に言えば、 n次の有限アフィン平面はn²^個の点とn² + n本^の線を持ち、各線はn個の点を含み、各点はn +1本の線上に存在する。

射影平面幾何学とは、空でない集合X（その要素は「点」と呼ばれる）と、Xの部分集合の空でない集合L（その要素は「直線」と呼ばれる）からなるもので、以下の条件を満たす。

1. 異なる2つの点に対して、両方の点を含む直線は必ず1本存在する。
2. 異なる2つの直線の交点には、必ず1つの点が含まれる。
3. 4つの点の集合が存在し、そのうち3つは同じ直線上にない。

最初の2つの公理を調べると、点と線の役割が入れ替わっている点を除けば、ほぼ同一であることがわかります。これは、射影平面幾何学における双対性の原理を示唆しています。つまり、これらの幾何学すべてにおいて真である命題は、点を線に、線を点に置き換えても真であり続けるということです。3つの公理すべてを満たす最小の幾何学は7つの点を含みます。この最も単純な射影平面には7つの線も存在します。各点は3つの線上にあり、各線は3つの点を含んでいます。

この特定の射影平面は、ファノ平面と呼ばれることもあります。平面からいずれかの直線と、その直線上の点を取り除くと、結果として得られる幾何学は、次数2のアフィン平面になります。ファノ平面は、同型を除いて一意であるため、次数2の射影平面と 呼ばれます。一般に、次数nの射影平面は^、n² + n + 1個の点と、同じ数の直線を持ちます。各直線にはn + 1個の点が含まれ、各点はn + 1本の直線上にあります。        

ファノ平面の 7 つの点の置換で、共線点(同じ線上の点) を共線点に写像するものを平面の共線化と呼びます。完全な共線化群の位数は 168 であり、群 PSL(2,7) ≈ PSL(3,2) と同型です。この特殊な場合、PSL(2,7) ≈ PSL(3,2) は一般線形群GL(3,2) ≈ PGL(3,2)とも同型です。

n次 有限平面とは、各直線がn個の点を持つ平面（アフィン平面の場合）または各直線がn + 1 個の点を持つ平面（射影平面の場合）のことである。有限幾何学における主要な未解決問題の一つは次のとおりである。

有限平面の位数は常に素数のべき乗になるのか？

これは真実であると推測されている。

nの位数のアフィン平面と射影平面は、n が素数のべき乗(素数を正の整数指数で累乗したもの)であるとき、 n = p ^k個の要素を持つ有限体上のアフィン平面と射影平面を用いることで存在します。有限体から導出されない平面も存在します (例:${\displaystyle n=9}$）しかし、既知の例はすべて素数のべき乗の位数を持つ。^{[ 1 ]}

現在までの最良の一般的な結果は、 1949年のブルック＝ライザーの定理であり、それは次のように述べている。

nが4k +1または4k +2の形の正の整数であり、nが2つの整数の平方の和に等しくない場合、nは有限平面の位数として現れません。

素数のべき乗ではなく、かつブルック＝ライザーの定理の対象とならない最小の整数は 10 です。10 は4 k + 2の形をしていますが、 1 ² + 3 ²の平方和に等しくなります。位数 10 の有限平面が存在しないことは、1989 年に完了したコンピュータ支援による証明で証明されました。詳細は( Lam 1991 )を参照してください。

次に検討すべき最小の数は12ですが、これについては肯定的な結果も否定的な結果も証明されていません。

個々の例としては、トーマス・ペニントン・カークマンの著作（1847年）や、フォン・シュタウトによる有限射影幾何学の体系的な展開（1856年）などが挙げられる。

有限射影幾何学の最初の公理的扱いは、イタリアの数学者ジーノ・ファノによって開発されました。彼が開発した射影n空間の公理の集合の独立性を証明する研究^{[ 2 ]では、彼は 15 個の点、35 本の線、15 個の平面を持つ有限の 3 次元空間 (図を参照)}を考察し、各線上には 3 つの点のみが存在するとしまし^{た。[ 4 ]}

1906年にオズワルド・ヴェブレンとWH・バッシーは、ガロア体GF( q )のエントリを持つ同次座標を使用して射影幾何学を記述した。n + 1個の座標が使用される場合、 n次元有限幾何学はPG( n,q )と表記される。[ 5 ^]これは合成幾何学に現れ、関連する変換群を持つ。

射影空間S は、以下の公理を満たす集合P (点の集合) と、Pの部分集合の集合L (直線の集合)として公理的に定義できます。^{[ 6 ]} 

• Each two distinct points p and q are in exactly one line.
• Veblen's axiom:^[7] If a, b, c, d are distinct points and the lines through ab and cd meet, then so do the lines through ac and bd.
• Any line has at least 3 points on it.

The last axiom eliminates reducible cases that can be written as a disjoint union of projective spaces together with 2-point lines joining any two points in distinct projective spaces. More abstractly, it can be defined as an incidence structure(P, L, I) consisting of a set P of points, a set L of lines, and an incidence relationI stating which points lie on which lines.

Obtaining a finite projective space requires one more axiom:

• The set of points P is a finite set.

In any finite projective space, each line contains the same number of points and the order of the space is defined as one less than this common number.

A subspace of the projective space is a subset X, such that any line containing two points of X is a subset of X (that is, completely contained in X). The full space and the empty space are always subspaces.

The geometric dimension of the space is said to be n if that is the largest number for which there is a strictly ascending chain of subspaces of this form:

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.}$

システムの標準的な代数的構成はこれらの公理を満たします。可除環Dに対して、 D上の( n + 1)次元ベクトル空間を構成します(ベクトル空間の次元は基底の要素の数です)。このベクトル空間の1 次元 (単一の生成元) 部分空間をP 、 2 次元 (2 つの独立した生成元) 部分空間 (ベクトル加算に関して閉じている)をLとします。接続は包含関係です。Dが有限であれば、ウェダーバーンの小定理によりすべての有限可除環は体であるため、D は有限体GF( q )でなければなりません。この場合、この構成により有限射影空間が生成されます。さらに、射影空間の幾何学的次元が 3 以上であれば、この方法で空間を構成できる可除環が存在します。したがって、幾何学的次元が 3 以上であるすべての有限射影空間は有限体上で定義されます。このような有限体上で定義された有限射影空間は直線上にq + 1個の点を持つため、2 つの順序の概念は一致します。このような有限射影空間はPG( n , q )と表記され、PGは射影幾何学、nは幾何学の幾何学的次元、qは幾何学を構成するために使用される有限体のサイズ（位数）を表します。

一般に、 PG( n , q )のk次元部分空間の数は、次の積で与えられる。^{[ 8 ]}

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},}$

これはガウス二項係数であり、二項係数のq類似物です。

• 次元0（線なし）：空間は一点であり、非常に退化しているため、通常は無視されます。
• 次元 1 (ちょうど 1 つの線): すべての点が射影線と呼ばれる唯一の線上にあります。
• 次元 2: 少なくとも 2 つの直線があり、任意の 2 つの直線が交わります。n = 2 の射影空間は射影平面です。これらは、すべてがPG( d , q )と同型ではないため、分類がはるかに困難です。デザルグ平面( PG(2, q )と同型であるもの) はデザルグの定理を満たし、有限体上の射影平面ですが、デザルグ平面ではないものもたくさんあります。
• 次元が少なくとも 3 の場合: 交差しない 2 つの直線が存在する。ヴェブレン-ヤングの定理は、有限の場合において、幾何学的次元n ≥ 3のすべての射影空間は、ある有限体 GF( q )上のn次元射影空間PG( n , q )と同型であると述べている。

最小の 3 次元射影空間は体GF(2)上にあり、 PG(3,2)と表記されます。この空間は 15 個の点、35 本の線、15 枚の平面を持ちます。各平面には 7 個の点と 7 本の線が含まれます。各線には 3 個の点が含まれます。幾何学的には、これらの平面はファノ平面と同型です。

すべての点は7本の直線に含まれる。異なる点のペアは必ず1本の直線に含まれ、異なる平面のペアは必ず1本の直線で交わる。

1892年、ジーノ・ファノはそのような有限幾何学を初めて考察した人物である。