ベイカーの定理

数学の一分野である超越数論において、ベイカーの定理は代数的数の対数の線形結合の絶対値の下限値を与える。約15年前、アレクサンダー・ゲルフォンドは整数係数のみの問題が「非常に大きな重要性を持つ」と考えていた。^[1]アラン・ベイカー（1966、1967a、1967b）によって証明されたこの結果は、超越数論における以前の多くの結果を包含するものである。ベイカーはこれを用いて多くの数の超越性を証明し、いくつかのディオファントス方程式 の解の有効境界を導き、類数1のすべての虚数二次体を見つける類数問題を解いた。

表記を簡略化するために、をe を底とする非零代数的数の対数の集合とします。つまり、 は 複素数の集合を表し、 は代数的数（有理数の代数的閉包）を表します。この表記法を使用すると、超越数論におけるいくつかの結果がはるかに簡単に記述できるようになります。たとえば、エルミート-リンデマンの定理は、 の任意の非零元は超越数であるという命題になります。 ${\displaystyle \mathbb {L} }$$${\displaystyle \mathbb {L} =\left\{\lambda \in \mathbb {C} :\ e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\},}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {L} }$

1934 年、アレクサンダー・ゲルフォンとテオドール・シュナイダーはそれぞれ独立にゲルフォン・シュナイダーの定理を証明しました。この結果は通常、次のように述べられます。 が代数的で 0 にも 1 にも等しくない場合、 が代数的で無理数である場合、 は超越数です。指数関数は複素指数に対して多価であり、これはそのすべての値に当てはまり、ほとんどの場合、無限の数を構成します。ただし、同様に、が有理数に対して線形独立である場合、 は代数数に対して線形独立であると述べています。したがって、と がゼロでない場合、商は有理数または超越数のいずれかです。 のような代数的無理数にはなり得ません。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a^{b}}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {L} }$${\displaystyle \lambda_{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda _{2}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

の2 つの要素について「有理線形独立性は代数線形独立性を意味する」という結果を証明することは、彼とシュナイダーの結果には十分でしたが、ゲルフォンドは、この結果を の任意の多くの要素に拡張することが重要だと感じました。実際、ゲルフォンド (1960、p. 177) は次のように述べています。 ${\displaystyle \mathbb {L} }$${\displaystyle \mathbb {L} .}$

...超越数理論における最も差し迫った問題は、代数的数の対数の有限集合の超越性の尺度の調査であると考えられる。

この問題は 14 年後にアラン ベイカーによって解決され、それ以来、超越理論だけでなく代数的整数論やディオファントス方程式の研究にも数多く応用されてきました。ベイカーは、この研究とディオファントス方程式への応用の両方で 1970 年に フィールズ賞を受賞しました。

上記の表記法を用いると、ベイカーの定理はゲルフォン・シュナイダーの定理の非同次一般化となります。具体的には、次のようになります。

ゲルフォン・シュナイダーの定理がa ^{b の}形の数の超越性に関する命題と同等であるのと同様に、ベイカーの定理もa b の形の数の超越性を示唆している。

${\displaystyle a_{1}^{b_{1}}\cdots a_{n}^{b_{n}},}$

ここで、b _{i は}すべて代数的かつ無理数であり、1、b ₁、...、b _{n は}有理数に対して線形独立であり、a _{i は}すべて代数的であり、0 または 1 ではありません。

ベイカー（1977）は、明示的な定数を使ったバージョンもいくつか示した。例えば、高さが最大で、すべての数値の高さが最大の場合、線形形式 ${\displaystyle \exp(\lambda _{j})=\alpha _{j}}$${\displaystyle A_{j}\geq 4}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle B\geq 4}$

${\displaystyle \Lambda =\beta _{0}+\beta _{1}\lambda _{1}+\cdots +\beta _{n}\lambda _{n}}$

0または満たす

${\displaystyle \log |\Lambda |>(16nd)^{200n}\Omega \left(\log \Omega -\log \log A_{n}\right)(\log B+\log \Omega )}$

どこ

${\displaystyle \Omega =\log A_{1}\log A_{2}\cdots \log A_{n}}$

そして有理数体上でと によって生成される体の次数は最大でdです。 β ₀ = 0 で がすべて有理数整数である特別な場合には、右端の項 log Ω を削除できます。 ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \beta _{j}}$

ベーカーとヴュストホルツによる整数係数の線形形式Λに対する 明示的な結果は、次の形式の下限値を与える。

${\displaystyle \log |\Lambda |>-Ch(\alpha _{1})h(\alpha _{2})\cdots h(\alpha _{n})\log \left(\max \left\{|\beta _{1}|,\ldots ,|\beta _{n}|\right\}\right),}$

どこ

${\displaystyle C=18(n+1)!n^{n+1}(32d)^{n+2}\log(2nd),}$

dは、​​${\displaystyle \alpha _{i}.}$

ベイカーの定理の証明は、ゲルフォンド (1960、第 3 章、第 4 節) の議論の拡張です。証明の主なアイデアは、セール (1971) によって記述されたベイカー (1966) の定理の次の定性的バージョンの証明によって説明されます。

数が有理数に対して線形独立である場合、非ゼロの代数数は代数数に対して線形独立です。${\displaystyle 2\pi i,\log a_{1},\ldots ,\log a_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$

ベイカーの理論の正確な定量的バージョンは、証明全体を通して、物事がゼロであるという条件を物事が十分に小さいという条件に置き換えることによって証明できます。

ベイカーの証明の主な考え方は、形式の多くの点で高次の値まで消える複数の変数の補助関数 を構築し、この形式のさらに多くの点で低次の値まで消えることを何度も示すことです。最後に、この形式の十分な点でそれが消える (1 次まで) という事実は、ヴァンデルモンド行列式を使用して、数a _iの間に乗法関係があることを意味します。 ${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})}$${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$

関係があると仮定する

${\displaystyle \beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

代数的数α ₁ , ..., α _n , β ₁ , ..., β _{n −1}の場合。関数 Φ は次の形式になります。

${\displaystyle \Phi (z_{1},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

整数係数p は、すべてゼロではなく、 Φ とその最大で定数Mの次数の導関数が、ある定数hに対して整数 に対して でゼロになるように選択されます。これが可能なのは、これらの条件が係数pにおける同次線形方程式であり、未知の変数pの数が方程式の数より大きい場合に非ゼロの解を持つためです。α の対数間の線形関係は、満たすべき線形方程式の数を減らすために必要です。さらに、シーゲルの補題を使用すると、係数pのサイズが大きすぎないように選択できます。定数L、h、およびM は、証明の次の部分が機能するように注意深く調整する必要があり、おおよそ次のようないくつかの制約を受けます。 ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l,}$${\displaystyle l}$${\displaystyle 0\leq l\leq h}$

• 以下の余分なゼロについての議論が成り立つためには、L はMよりいくらか小さくなければなりません。
• 証明の最終ステップが機能するには、hの小さな累乗がLより大きくなければなりません。
• 係数pを解くためには、L ^{n が}M ^{n −1} hより大きくなければなりません。

制約は、h を十分に大きくし、M をhの一定のべき乗、L をhのわずかに小さいべき乗とすることで満たすことができます。 Baker は、M を約h ²、L を約h ^{2−1/2 n}としました。

α の対数間の線形関係はL をわずかに小さくするために使用されます。大まかに言えば、この関係がなければ、条件L ^{n は}M ^{n −1} hより大きくなければならないという条件は、 L ^{n は}M ⁿ hより大きくなければならないという条件になり、これはLがMよりいくらか小さいという条件と矛盾します。

次のステップは、 Φ が整数lの形のより多くの点でわずかに小さい次数まで消失することを示すことです。このアイデアは Baker の重要な革新でした。この問題に関する以前の研究では、点の数を固定したまま、消失する導関数の数を増やすことを試みましたが、多変数の場合はうまくいかないようです。これは、2 つのアイデアを組み合わせることで行われます。最初のアイデアは、 Φ の多くの導関数が多くの近傍の点で消失するという事実を利用して、これらの点での導関数が非常に小さいことを示します。次に、この点での Φ の導関数は代数的整数と既知の定数の積で与えられることを示します。代数的整数のすべての共役が既知の定数で制限される場合、非ゼロの代数的整数のすべての共役の積の絶対値は少なくとも 1 であるため、代数的整数はゼロでない限り小さすぎることはありません。これら 2 つのアイデアを組み合わせると、 Φ はより多くの点でわずかに小さい次数まで消失することになります。議論のこの部分では、 Φ が急速に増加しないことが求められます。 Φ の成長はLのサイズに依存するため、 Lのサイズに上限が必要となり、おおよそL はMよりいくらか小さくなければならないことがわかります。より正確には、 Baker は、 Φ がh個の連続する整数でMの位まで消えるので、h ^{1+1/8 n 個}の連続する整数 1、2、3、…でM /2 の位まで消えることを示しました。この議論をJ回繰り返すと、 hが十分に大きく、L がM / 2 ^Jよりいくらか小さいという条件で、Φ がh ^{1+ J /8 n}個の点でM /2 ^Jの位まで消えることがわかります。 ${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l}$${\displaystyle z_{1}=\cdots =z_{n-1}=l.}$

このとき、J は次のように十分大きくなります。

${\displaystyle h^{1+{\frac {J}{8n}}}>(L+1)^{n}.}$

（h ² > Lの場合、 J は約 16 nより大きくなります）したがって、

${\displaystyle \forall l\in \left\{1,2,\ldots ,(L+1)^{n}\right\}:\qquad \Phi (l,\ldots ,l)=0.}$

定義により次のように記述できます。 ${\displaystyle \Phi (l,\ldots ,l)=0}$

${\displaystyle \sum _{\lambda _{1}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\alpha _{1}^{\lambda _{1}l}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}l}=0.}$

したがって、 l が変化すると、( L + 1) ⁿ個の未知数を持つ ( L + 1) ⁿ個の同次線形方程式のシステムが得られ、仮定により、この方程式は非ゼロの解を持ち、係数行列の行列式がゼロになる必要があることを意味します。ただし、この行列はヴァンデルモンド行列であり、このような行列の行列式の式は、2 つの値の間に等式を強制します。

${\displaystyle \alpha _{1}^{\lambda _{1}}\cdots \alpha _{n}^{\lambda _{n}}}$

したがって、乗法的に依存します。対数を取ると、有理数に対して線形に依存していることがわかります。 ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle 2\pi i,\log \alpha _{1},\ldots ,\log \alpha _{n}}$

ベイカー (1966) は実際にこの定理の定量的バージョンを提示し、対数における線形形式の有効な下限を与えました。これは同様の議論によって行われますが、ゼロであるというステートメントが、それに対する小さな上限を与えるステートメントに置き換えられるなどです。

Baker (1967a) は、定理の2π iについての仮定を排除する方法を示しました。これには、証明の最終ステップの修正が必要です。上記と同様の議論により、関数の多くの導関数がz = 0で消えることを示します。しかし、最初の ( L +1) ⁿ導関数のこれらの方程式は、係数pについて再び同次線型方程式のセットを与えるため、行列式はゼロになり、今度は数λ ₁ log α ₁ + ⋯ + λ _n log α _nに対して再びヴァンデルモンド行列式になります。したがって、これらの式のうち 2 つは同じでなければならず、これは log α ₁、...、log α _{n が}有理数に対して線形従属であることを示しています。 ${\displaystyle \phi (z)=\Phi (z,\ldots ,z)}$

ベイカー（1967b）は、定理の非同次バージョンを示し、

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n}\log \alpha _{n}}$

は非零代数数β ₀ , ..., β _n , α ₁ , ..., α _nに対して非零であり、さらにそれに対する有効な下限を与える。証明は同次数の場合と同様であり、次のように仮定できる。

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}\log \alpha _{1}+\cdots +\beta _{n-1}\log \alpha _{n-1}=\log \alpha _{n}}$

そして、次のようにΦに 追加の変数z _{0を挿入します。}

${\displaystyle \Phi (z_{0},\ldots ,z_{n-1})=\sum _{\lambda _{0}=0}^{L}\cdots \sum _{\lambda _{n}=0}^{L}p(\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{n})z_{0}^{\lambda _{0}}e^{\lambda _{n}\beta _{0}z_{0}}\alpha _{1}^{(\lambda _{1}+\lambda _{n}\beta _{1})z_{1}}\cdots \alpha _{n-1}^{(\lambda _{n-1}+\lambda _{n}\beta _{n-1})z_{n-1}}}$

上で述べたように、この定理には、エルミート・リンデマン定理やゲルフォン・シュナイダー定理など、指数関数に関する以前の超越的結果が数多く含まれています。これは、まだ証明されていないシャヌエルの予想ほど包括的ではなく、 6 指数定理や、明らかに未解決の4 指数定理を意味するものではありません。

ゲルフォンが結果の拡張を望んだ主な理由は、単に新しい超越数が大量に得られる ためだけではなかった。1935年に彼はゲルフォン・シュナイダー定理を証明するために開発したツールを使って、

${\displaystyle |\beta _{1}\lambda _{1}+\beta _{2}\lambda _{2}|}$

ここで、β ₁とβ _{2 は}代数的であり、λ ₁とλ ₂は である。^{[2]ベイカーの証明は、上記のような量に対して任意の数の項を含む下限を与えており、彼はこれらの下限を使用してディオファントス方程式に取り組む効果的な方法を開発し、ガウスの}類数問題を解くことができた。 ${\displaystyle \mathbb {L} }$

ベイカーの定理は、代数的数の対数の代数的数上での線型独立性を認める。これは、それらの代数的独立性を証明することよりも弱い。今のところ、この問題については全く進展がない。λ 1 、...、λ n が有理数上で線型独立な の要素である場合、それらは代数的にも独立であると予想されている[ 3 ] _。これは_Schanuel^の予想の特殊なケースだが、これまでのところ、対数が代数的に独立である 2 つの代数的数が存在することすら証明されていない。実際、ベイカーの定理は、自明な理由がない限り、代数的数の対数間の線型関係を排除している。次に単純なケース、すなわち同次二次関係を排除するケースは、まだ未解決の4 指数関数予想である。 ${\displaystyle \mathbb {L} }$

同様に、結果をp 進設定で代数的独立性に拡張し、p進対数関数を使用することは、未解決の問題のままです。代数的p進数の線形独立なp進対数の代数的独立性を証明すれば、数体の単位のp進階数に関するレオポルドの予想を証明できることが知られています。

• 解析的部分群定理