権力構造の分断

数学、特に可換代数において、分割冪構造は、類似の性質を持つ項目を次の形式の式として導入する方法である。${\displaystyle x^{n}/n!}$実際に割り切れない場合でも、${\displaystyle n!}$。

Iをイデアルとする可換環Aを考える。I上の分割冪構造(またはフランス語のpuissances diviséesにちなんでPD 構造)は写像の集合である。${\displaystyle \gamma _{n}:I\to A}$n = 0, 1, 2, ...に対して、次の条件を満たす。

1. ${\displaystyle \gamma _{0}(x)=1}$そして${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$のために${\displaystyle x\in I}$、 その間${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in I}$n > 0 の場合。
2. ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{i}(y)}$のために${\displaystyle x,y\in I}$。
3. ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$のために${\displaystyle \lambda \in A,x\in I}$。
4. ${\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)}$のために${\displaystyle x\in I}$、 どこ${\displaystyle ((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}}$は整数です。
5. ${\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)}$のために${\displaystyle x\in I}$そして${\displaystyle m>0}$、 どこ${\displaystyle C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$整数です。

表記の便宜上、${\displaystyle \gamma _{n}(x)}$しばしば次のように書かれる${\displaystyle x^{[n]}}$権力分立構造が何を意味するのかが明確な場合。

分割冪イデアルとは、特定の分割冪構造を持つイデアルを指し、分割冪環とは、特定の分割冪構造を持つイデアルを含む環を指す。

分割冪代数の準同型写像とは、その始点と終点において分割冪構造を尊重する環準同型写像のことである。

• 自由分割べき乗代数${\displaystyle \mathbb {Z} }$発電機1台の場合：

${\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle$ :=\mathbb {Z} \left[x,{\tfrac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\tfrac {x^{n}}{n!}},\ldots \right]\subset \mathbb {Q} [x].}

• Aが体上の代数である場合${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$そして、すべての理想Iには、独自の分割された権力構造があり、${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\tfrac {1}{n!}}\cdot x^{n}.}$^{[ 1 ]}実際、これがそもそも定義を促す例です。
• MがA加群である場合、${\displaystyle S^{\bullet }M}$MのA上の対称代数を とします。すると、その双対は${\displaystyle (S^{\bullet }M)^{\vee }={\text{Hom}}_{A}(S^{\bullet }M,A)}$分割冪環の正準構造を持つ。実際、それは自然な完成と正準的に同型である。${\displaystyle \Gamma _{A}({\check {M}})}$（下記参照）Mが有限ランクの場合。

Aが任意の環である場合、分割冪環が存在する。

${\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

変数の分割べき乗多項式から構成される

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$

それは、次の形式の分割されたべき乗単項式の和です。

${\displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$

と${\displaystyle c\in A}$ここで、分割冪イデアルとは、定数係数が 0 である分割冪多項式の集合のことである。

より一般的には、MがA加群である場合、普遍A代数が存在し、

${\displaystyle \Gamma _{A}(M),}$

PD理想的

${\displaystyle \Gamma _{+}(M)}$

そしてA線マップ

${\displaystyle M\to \Gamma _{+}(M).}$

（分割冪多項式の場合とは、Mが有限階数のA上の自由加群である特殊なケースである。）

I が環Aの任意のイデアルである場合、 Iの要素の分割冪を用いてA を拡張し、 AにおけるIの分割冪包を得る普遍的な構成が存在する。

分割パワーエンベロープは、 PD微分作用素の理論と結晶コホモロジーにおける基本的なツールであり、正の特性で発生する技術的な困難を克服するために使用されます。

分割冪関数は、コシューア関数の構成に用いられる。

• 結晶コホモロジー

• Berthelot, Pierre ; Ogus, Arthur (1978). Notes on Crystalline Cohomology . Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press . Zbl 0383.14010 . 
• ハゼウィンケル、ミヒール（1978）。形式群とその応用。純粋および応用数学、モノグラフおよび教科書シリーズ。第 78巻。エルゼビア 。507ページ。ISBN 0123351502. Zbl 0454.14020 . 
• p進導出ド・ラームコホモロジー- PD多項式環とPD包絡線に関する優れた内容が含まれています
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