三角数

三角数または三角数は、正三角形に配置されたオブジェクトを数えます。三角数は図形数の一種で、他の例としては平方数や立方数があります。n番目の三角数は、各辺にn個の点がある三角形の配置の点の数であり、1 からnまでのn 個の自然数の合計に等しくなります。0番目の三角数から始まる三角数のシーケンスは次のとおりです。

（OEISの配列A000217）

三角数は、次の明示的な式によって与えられます。

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\dotsb +n\\&={\frac {n^{2}+n{\vphantom {(n+1)}}}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\\&={n+1 \choose 2}\end{aligned}}}$

ここで、は二項係数の表記です。これは、 n + 1 個のオブジェクトから選択できる異なるペアの数を表し、「 nプラス 1 2 を選択」 と読み上げられます。${\displaystyle \textstyle {n+1 \choose 2}}$

番目の三角数が に等しいという事実は、視覚的な証明を使って説明することができます。^[1]すべての三角数 について、下の図のように、三角数に対応するオブジェクトの「半長方形」配置を想像してください。この配置をコピーして回転させて長方形の図形を作成すると、オブジェクトの数が 2 倍になり、寸法 の長方形が生成されます。これは、長方形内のオブジェクトの数でもあります。明らかに、三角数自体は、常にそのような図形内のオブジェクトの数のちょうど半分、つまり です。次に例を示します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n+1)/2}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n\times (n+1)}$${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}}$${\displaystyle T_{4}}$

${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1)=20}$(緑 + 黄色) は(緑) を意味します。    ${\displaystyle T_{4}={\frac {4(4+1)}{2}}=10}$

この式は数学的帰納法を使って正式に証明することができる。^[2]これは明らかに次の場合に当てはまる。 ${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle T_{1}=\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}={\frac {2}{2}}=1.}$$

ここで、ある自然数 に対して であると仮定します。これに を 加えると、${\displaystyle m}$${\displaystyle T_{m}=\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$${\displaystyle m+1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{m}k+(m+1)&={\frac {m(m+1)}{2}}+m+1\\&={\frac {m(m+1)+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+m+2m+2}{2}}\\&={\frac {m^{2}+3m+2}{2}}\\&={\frac {(m+1)(m+2)}{2}},\end{aligned}}}$$

したがって、式が に対して真であれば、 に対しても真です。 に対して真であることは明らかなので、帰納法により、、そして最終的にはすべての自然数に対しても真となります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle m+1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle n}$

ドイツの数学者で科学者のカール・フリードリヒ・ガウスは、若い頃にこの関係式を次のように発見したと言われています。ん/2⁠合計に含まれる数のペアを、各ペアの値n + 1で割る。 ^[3]しかし、この話の真偽にかかわらず、ガウスがこの公式を発見した最初の人物というわけではなく、その起源は紀元前 5 世紀のピタゴラス学派にまで遡る可能性が高いと考える人もいます。 ^[4]この 2 つの公式は、816 年頃にアイルランドの修道士ディクイルが著書Computusで説明しました。 ^[5]ディクイルの記述の英語訳が利用可能です。 ^[6]

三角数T _{n は}、 n + 1人の人がいる部屋で各人が各人と 1 回ずつ握手した場合に、握手の回数を数える握手問題を解決します。言い換えると、 n人の握手問題の解はT _{n −1}です。^[7]関数Tは、 1 から nまでの整数の積である階乗関数の加法的な類似物です。

この同じ関数はドナルド・クヌースの『The Art of Computer Programming 』で「Termial function」^[8]として考案され、n?（階乗表記n!の類似） と表記されました。

たとえば、10 ターミナルは次のようになります。

$${\displaystyle 10?=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55}$$

もちろん、これは10番目の三角数に対応します。

三角形内の最も近い点のペア間の線分の数は、点の数または再帰関係 で表すことができます。 $${\displaystyle L_{n}=3T_{n-1}=3{n \choose 2};~~~L_{n}=L_{n-1}+3(n-1),~L_{1}=0.}$$

極限では、2つの数値、点、線分の比は $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{L_{n}}}={\frac {1}{3}}.}$$

三角数は他の図形数とさまざまな関係を持っています。

最も簡単に言えば、連続する2つの三角数の和は平方数である。^{[9] [10]}

${\displaystyle T_{n-1}+T_{n}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n(n-1)+{\frac {1}{2}}\,n(n+1)}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,n{\Bigl (}(n-1)+(n+1){\Bigr )}}$

${\displaystyle =n^{2}}$

合計は 2 つの差の 2 乗になります (したがって、2 つの差は合計の平方根になります)。 $${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1{\vphantom {\left(n-1\right)^{2}}}}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$$

この性質は、俗にスミルナのテオンの定理^[11]として知られており、次の数字の合計で視覚的に示されています。 ${\displaystyle T_{4}+T_{5}=5^{2}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}&4&3&2&1&\\+&1&2&3&4&5\\\hline &5&5&5&5&5\end{array}}}$

この事実は、三角形を反対方向に配置して正方形を作成することによって、グラフィックで実証することもできます。

6 + 10 = 16         10 + 15 = 25    

上記のセクション § 公式 の視覚的な証明にあるように、三角数の 2 倍はプロニック数と呼ばれます。

三角数でありながら平方数でもある数は無数に存在する。例えば、1、36、1225などである。それらのいくつかは、単純な再帰式で生成することができる 。$${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right)}$$${\displaystyle S_{1}=1.}$

すべての 平方三角数は、次の再帰から求められます 。$${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2}$$${\displaystyle S_{0}=0}$${\displaystyle S_{1}=1.}$

また、n次の三角数の2乗は1からnまでの整数の3乗の合計と同じである。これは次のようにも表せる。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}.}$$

最初のn 個の三角数の合計はn番目の四面体数です。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}.}$$

より一般的には、 n番目のm角数とn番目の( m + 1)角数の差は( n − 1)番目の三角数です。たとえば、6 番目の七角数(81) から 6 番目の六角数(66) を引くと、5 番目の三角数 15 になります。他のすべての三角数は六角数です。三角数がわかれば、任意の中心多角数を計算できます。n番目の中心k角数は、次の式で得られます。 $${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1}$$

ここで、T は三角数です。

2 つの三角数の正の差は台形数です。

三角数と二項係数を使用する四面体数に見られるパターンは一般化することができ、次の式が得られる: ^[12]${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3}},}$ $${\displaystyle \sum _{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum _{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\dots \sum _{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{k}+k-1}{k}}}$$

三角数はファウルハーバーの公式の一次の場合に対応します。

交互の三角数 (1、6、15、28、...) も六角数です。

すべての偶数の完全数は三角形（および六角形）であり、式 M _pがメルセンヌ素数で ある場合に与えられます。奇数の完全数は知られていないため、既知の完全数はすべて三角形です。 $${\displaystyle M_{p}2^{p-1}={\frac {M_{p}(M_{p}+1)}{2}}=T_{M_{p}}}$$

たとえば、3番目の三角数は (3 × 2 =) 6、7番目は (7 × 4 =) 28、31番目は (31 × 16 =) 496、127番目は (127 × 64 =) 8128 です。

三角数の最後の桁は 0、1、3、5、6、または 8 であり、したがって、そのような数字は 2、4、7、または 9 で終わることはありません。最後の 3 の前には 0 または 5 がなければなりません。最後の 8 の前には 2 または 7 がなければなりません。

10 進数では、非ゼロの三角数のデジタル根は常に 1、3、6、または 9 です。したがって、すべての三角数は 3 で割り切れるか、9 で割った余りが 1 になります。

上図に示すように、9 つの項ごとに繰り返される三角数のデジタルルート パターンは、「1、3、6、1、6、3、1、9、9」です。

ただし、上記の記述の逆は必ずしも真ではありません。たとえば、三角数ではない 12 のデジタル根は 3 であり、3 で割り切れます。

xが三角数の場合、 aが奇数の平方でb = ⁠であれば、 ax + bも三角数になります。1 − 1 です/8⁠ 。bは常に三角数になることに注意してください。 なぜなら、 8 T _n + 1 = (2 n + 1) ²であり、すべての奇数の平方は三角数に 8 を掛けて 1 を加えることによって明らかになり、 a が奇数の平方である場合のbの処理は、この操作の逆になります。この形式の最初のいくつかのペア ( 1 x + 0は数えない) は、 9 x + 1、 25 x + 3、 49 x + 6、 81 x + 10、 121 x + 15、 169 x + 21、... などです。xがT _nに等しい、これらの式はT _{3 n + 1}、 T _{5 n + 2}、 T _{7 n + 3}、 T _{9 n + 4}などになります。

すべての非ゼロ三角数の 逆数の和は$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$$

これは、伸縮級数の基本和を使用して示すことができます。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$$

三角数に関する他の 2 つの公式は 、 と です 。どちらも、ドット パターン (上記を参照) を確認するか、簡単な代数計算によって簡単に確立できます。 $${\displaystyle T_{a+b}=T_{a}+T_{b}+ab}$$$${\displaystyle T_{ab}=T_{a}T_{b}+T_{a-1}T_{b-1},}$$

1796 年、ガウスはすべての正の整数が 3 つの三角数 (おそらくT ₀ = 0 を含む) の和として表せることを発見し、日記に有名な言葉「ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ 」を記しました。この定理は、三角数が異なること (20 = 10 + 10 + 0 の場合のように) や、正確に 3 つの非ゼロの三角数を持つ解が存在することを意味するものではありません。これは、フェルマーの多角数定理の特殊なケースです。

2 ^k − 1 の形の最大の三角数は4095です（ラマヌジャン-ナゲル方程式を参照）。

ヴァツワフ・フランシスチェク・シェピンスキは、等比数列に4つの異なる三角数が存在するかどうかという問題を提起した。これはポーランドの数学者カジミエシュ・シミチェクによって不可能であると推測され、後にファンとチェンによって2007年に証明された。^{[13] [14]}

整数を三角数の和として表す公式はシータ関数、特にラマヌジャンシータ関数と関連している。^{[15] [16]}

n 台のコンピューティング デバイスが完全に接続されたネットワークには、 T _{n − 1 本}のケーブルまたはその他の接続が必要です。これは、前述のハンドシェイクの問題に相当します。

総当たり戦のグループステージを使用するトーナメント形式では、 nチーム間で行われる必要のある試合数は三角数T _{n − 1}に等しくなります。たとえば、4 チームのグループステージでは 6 試合、8 チームのグループステージでは 28 試合が必要です。これは、ハンドシェイク問題や完全接続ネットワーク問題とも同等です。

資産の減価償却を計算する方法の1つは、年数和法です。これは、 T _{n を}求めるもので、n は資産の耐用年数です。毎年、資産は( b − s ) × ⁠を失います。y − y の整数倍/Tn_​⁠、ここで、 bはアイテムの開始価値（通貨単位）、 sは最終的な残存価値、 nはアイテムが使用可能な総年数、 y は減価償却スケジュールの現在の年です。この方法では、使用可能期間がn = 4 年のアイテムは、 ⁠4/10⁠初年度の「損失可能な」価値の⁠3/10⁠ 2番目に、⁠2/10⁠ 3番目、そして⁠1/10⁠ 4番目では、合計減価償却費が⁠10/10⁠ (損失額全体)。

ボードゲームデザイナーのジェフリー・エンゲルスタインとアイザック・シャレフは、三角数は「ゲームデザイナーの間ではほぼマントラや公案のような地位を獲得した」と述べ、「非常に直感的」であり、「膨大な数のゲームに登場し、他のすべての戦略を排除して特化を過度に奨励することなく、より大きなセットで報酬を増大させるという信じられないほどの汎用性を発揮する」と表現しています。^[17]

xの平方根と同様に、 xの（正の）三角根はT _n = xとなる数nとして定義できる。^[18] $${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}}$$

これは二次方程式の公式から直ちに導かれる。したがって、整数xが三角数となるのは、 8x + 1が平方数となる場合のみである。同様に、 xの正の三角根nが整数であれば、xはn番目の三角数である。^[18]

前述のように、ドナルド・クヌースが階乗に類似して提案した別の名前は「ターミナル」であり、n番目の三角数はn ?と表記されます。 ^[19]ただし、他のいくつかの情報源ではこの名前と表記が使用されていますが、^[20]広く使用されているわけではありません。

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 二重三角数、三角数の列の中での位置も三角数である三角数
• テトラクティス、三角形の10の点の配置、ピタゴラス学派で重要

ウィキメディア・コモンズには、三角数に関連するメディアがあります。

• 「算術級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 結び目を切るときの三角数
• 結び目を切ると正方形になる三角数も存在する
• Weisstein、Eric W.「三角数」。MathWorld。
• ロブ・ハバードによる超四面体多面体根。三角立方根への一般化、いくつかの高次元、およびいくつかの近似式を含む。