波長

定常波とは、一定の場所にとどまる波動運動のことです。正弦波状の定常波には、節と呼ばれる静止した点があり、波長は節間の距離の2倍です。

上の図は、箱の中にある3つの定常波を示しています。箱の壁は、波が壁面に節を持つことを要求する境界条件（境界条件の一例）であると考えられ、それによって許容される波長が決定されます。例えば、電磁波の場合、箱の壁が理想的な導電性である場合、壁面における節の条件は、導電性の壁が接線方向の電場を支えられないため、波が壁面で振幅ゼロになることによって生じます。

定常波は、逆方向の速度を持つ2つの進行正弦波の和として考えることができる。^{[ 8 ]}その結果、波長、周期、波の速度は、進行波の場合と同様に関係している。例えば、理想的な真空を含む金属箱内の定常波を観測することで、光速を決定することができる。

進行する正弦波は、速度v（x方向）、周波数f、波長λを用いて、数学的に次のように表されることが多い。 $${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-ft\right)\right)=A\cos \left({\frac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)\right)}$$ ここで、yは任意の位置xおよび時刻tにおける波の値であり、Aは波の振幅である。これらはまた、波数k（波長の逆数の2π倍）と角周波数ω（周波数の2π倍）を用いて次のように表されるのが一般的である。 $${\displaystyle y(x,\ t)=A\cos \left(kx-\omega t\right)=A\cos \left(k(x-vt)\right)}$$ ここで、波長と波数と速度および周波数の関係は次のようになる。 $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{v}}={\frac {\omega }{v}},}$$ または $${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v}{\omega }}={\frac {v}{f}}.}$$

上記の2番目の形式では、位相( kx − ωt )は、波数kを、位置ベクトルrでパラメータ化された3次元空間における平面波の方向と波数を指定する波数ベクトルに置き換えることにより、(k ⋅ r − ωt )に一般化されることが多い。この場合、波数k 、すなわちkの大きさは、上記で示した波長との関係に依然としてあり、vは波数ベクトルの方向におけるスカラー速度として解釈される。位相に逆波長を用いる最初の形式は、任意の方向の波に容易に一般化できない。

他の位相の正弦波や複素指数関数への一般化も一般的です。平面波を参照してください。波を記述する際に正弦位相の代わりに余弦位相を使用する一般的な慣習は、波の複素指数関数の実部が余弦であるという事実に基づいています。 $${\displaystyle Ae^{i\left(kx-\omega t\right)}.}$$

波の速度は、波が伝播する媒質によって決まります。特に、媒質中の光速は真空中よりも遅いため、同じ周波数であっても、媒質中では真空中よりも波長が短くなります。これは右図に示されています。

媒体に入るときの速度の変化は屈折を引き起こし、角度をつけて媒体間の境界面に遭遇する波の方向が変わります。^{[ 9 ]}電磁波の場合、この伝搬角度の変化はスネルの法則によって支配されます。

波の速度は、媒質によって異なるだけでなく、波長によっても変化する。そのため、波が異なる媒質に入った際の進行方向の変化は、波の波長によって変化する。

電磁波の場合、媒質中の速度は屈折率によって決まります。 $${\displaystyle v={\frac {c}{n(\lambda _{0})}},}$$ ここで、cは真空中の光速、 n ( λ _{0 ) は波長 λ 0}における媒質の屈折率であり、後者は媒質中ではなく真空中で測定される。媒質中の対応する波長は $${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{0}}{n(\lambda _{0})}}.}$$

電磁波の波長が示される場合、特に他の媒質中の波長として明記されていない限り、通常は真空中の波長を指します。音響学では、波の存在に媒質が不可欠なため、波長の値は特定の媒質における値で示されます。

光の速度が波長によって変化する現象は分散と呼ばれ、プリズムによって光が構成色に分離されるというよく知られた現象の原因でもあります。分離は、プリズム内部の屈折率が波長によって変化するため、異なる波長の光がプリズム内部を異なる速度で伝播し、異なる角度で屈折することによって起こります。媒質中の光の速度が波長によってどのように変化するかを記述する数学的な関係は、分散関係と呼ばれます。

不均一媒体

波長は、波が空間的に周期的でない場合でも有用な概念となり得る。例えば、図に示すように、海岸に近づく海洋波では、入射波は、波高に対する海底の深さに部分的に依存する、変化する局所波長でうねる。波の解析は、局所波長と局所水深の比較に基づいて行うことができる。^{[ 10 ]}

時間的に正弦波状であっても、その性質が位置によって変化する媒質（不均質媒質）を伝播する波は、位置によって伝播速度が変化する可能性があり、その結果、空間的に正弦波状にならないことがあります。右の図はその一例を示しています。波の速度が遅くなると、波長は短くなり、振幅は大きくなります。最大応答点を過ぎると、短い波長は大きな損失と関連付けられ、波は消滅します。

このようなシステムの微分方程式の解析は、 WKB法（リウヴィル・グリーン法とも呼ばれる）を用いて近似的に行われることが多い。この方法は、局所波数を用いて空間を通して位相を積分する。局所波数は、時間と空間の関数として解の「局所波長」を示すものと解釈できる。^{[ 11 ] [ 12 ]} この方法は、システムを局所的に局所特性を持つ均一なものとして扱う。特に、周波数に関連付けられた局所波速度は、対応する局所波数または波長を推定するために必要な唯一のものである。さらに、この方法は、波のエネルギー保存など、方程式または物理システムの他の制約を満たすために、ゆっくりと変化する振幅を計算する。

結晶

結晶固体中の波は、規則的な格子状に配置された離散的な粒子の振動で構成されているため、連続的ではありません。このため、図に示すように、同じ振動がさまざまな異なる波長を持つと考えられるため、エイリアシングが発生します。 ^{[ 13 ]}これらの波長のうち複数を使用して記述することは冗長であり、現象に適合する最長の波長を選択するのが一般的です。結晶媒体中のすべての可能な波を記述するのに十分な波長の範囲は、ブリルアンゾーンに閉じ込められた波数ベクトルに対応します。^{[ 14 ]}

固体における波長の不確定性は、エネルギーバンドや格子振動といった波動現象の解析において重要である。これは、離散的な間隔でサンプリングされた信号のエイリアシングと数学的に同等である。

局所的な波束、つまり各波束が単位として伝わる波動の「バースト」は、物理学の多くの分野で応用されています。波束には、波の全体的な振幅を表す包絡線があります。包絡線内では、隣接するピークまたはトラフ間の距離は、局所波長と呼ばれることがあります。^{[ 21 ] [ 22 ]}図に例を示します。一般に、波束の包絡線は、構成波とは異なる速度で移動します。^{[ 23 ]}

フーリエ解析を用いると、波束は異なる波数または波長の正弦波の無限和（または積分）に解析することができる。^{[ 24 ]}

ルイ・ド・ブロイは、特定の運動量pを持つすべての粒子は波長λ = h / pを持つと仮定しました。ここでhはプランク定数です。この仮説は量子力学の基礎となりました。現在では、この波長はド・ブロイ波長と呼ばれています。例えば、CRTディスプレイ内の電子のド・ブロイ波長は約 λ です。10 ⁻¹³  m 。このような粒子の波動関数が空間全体に広がるのを防ぐため、ド・ブロイは空間に局在する粒子を表すために波束を使用することを提案した。 ^{[ 25 ]}波束の空間的な広がり、および波束を構成する正弦波の波数分布は、粒子の位置と運動量の不確定性に対応し、その積はハイゼンベルクの不確定性原理によって制限される。^{[ 24 ]}

正弦波を重ね合わせると、相対位相に応じて互いに強め合ったり（建設的干渉）、打ち消し合ったり（破壊的干渉）することがあります。この現象は干渉計で利用されています。簡単な例として、ヤングによる、光を2つのスリットに通す実験があります。^{[ 26 ]} 図に示すように、光は2つのスリットを通過してスクリーンに当たります。スクリーン上の位置までの光の経路は2つのスリットで異なり、経路がスクリーンとなす角度θに依存します。スクリーンがスリットから十分に離れている（つまり、sがスリット間隔dに比べて大きい）と仮定すると、経路はほぼ平行になり、経路差は単純にd sin θになります。したがって、建設的干渉の条件は次のようになります。^{[ 27 ]}$${\displaystyle d\sin \theta =m\lambda \ ,}$$ ここでmは整数であり、破壊的干渉の場合は次のようになる。 $${\displaystyle d\sin \theta =(m+1/2)\lambda \ .}$$

したがって、光の波長が分かっていれば、干渉縞からスリット間隔を決定することができ、またその逆も可能である。

複数のスリットの場合、パターンは^{[ 28 ]です。}$${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$$ ここで、 qはスリットの数、gは回折格子定数である。最初の因子I1_は単スリットの結果であり、スリットの数とその間隔に依存する、より急速に変化する2番目の因子を調整する。図では、I1_は1に設定されているが、これは非常に大まかな近似である。

干渉の効果は光を再分配することであり、光に含まれるエネルギーは変化せず、ただ光が現れる場所が変わるだけです。^{[ 29 ]}

二重スリット実験で用いた光路差と干渉（強め合いまたは弱め合い）の概念は、単一スリットからの光がスクリーンに映し出される場合にも同様に当てはまります。この干渉の主な結果は、狭いスリットからの光がスクリーン上に広がり、より広い像を形成することです。この波動エネルギーの分布を回折と呼びます。

回折は、光源とスクリーン間の距離に応じて2種類に分類される。大きな距離ではフラウンホーファー回折（遠視野回折）と呼ばれ、近い距離ではフレネル回折（近視野回折）と呼ばれる。

単スリットの解析では、スリットの幅がゼロでないことを考慮に入れ、開口部内の各点を光線への寄与（ホイヘンスの波動）の源として扱います。スクリーン上では、スリット内の各位置から到達する光は、たとえごくわずかであっても、異なる光路長を持ちます。その結果、干渉が生じます。

フラウンホーファー回折パターンでは、単一スリットから十分に離れた小角近似の範囲内で、強度広がりSは位置xと2乗sinc関数で関係付けられます。^{[ 30 ]}$${\displaystyle S(u)=\mathrm {sinc} ^{2}(u)=\left({\frac {\sin \pi u}{\pi u}}\right)^{2}\$$ ;} と $${\displaystyle u={\frac {xL}{\lambda R}}\ ,}$$ ここで、Lはスリット幅、Rはパターン（スクリーン上）からスリットまでの距離、λは使用する光の波長です。関数Sは、 uがゼロでない整数である場合にゼロを持ち、これらの値は波長に比例した間隔でxの値をとります。

回折は、望遠鏡（電波望遠鏡を含む）や顕微鏡などの光学機器の分解能の根本的な制限です。^{[ 31 ]} 円形開口部の場合、回折限界像スポットはエアリーディスクとして知られています。単スリット回折式の距離xは半径方向の距離rに置き換えられ、正弦は 2 J ₁に置き換えられます。ここで、J ₁は 1 次ベッセル関数です。^{[ 32 ]}

顕微鏡を通して観察される物体の分解可能な空間サイズは、レイリー基準、エアリーディスクの最初のヌルの半径、使用される光の波長に比例するサイズ、および開口数によって制限されます。^{[ 33 ]}$${\displaystyle r_{Airy}=1.22{\frac {\lambda }{2\,\mathrm {NA} }}\ ,}$$ ここで、開口数は次のように定義される。${\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta \;}$ここで、θは顕微鏡対物レンズが受け入れる光線の円錐の半角である。

円形開口部によって回折された画像の中央の明るい部分（エアリーディスクの最初のヌルまでの半径）の角度サイズは、望遠鏡やカメラで最も一般的に使用される尺度であり、次のとおりです。 ^{[ 34 ]}$${\displaystyle \delta =1.22{\frac {\lambda }{D}}\ ,}$$ ここで、 λはイメージングのために集束される波の波長、Dは同じ単位でイメージングシステムの入射瞳径、角度分解能δはラジアン単位である。

他の回折パターンと同様に、このパターンは波長に比例して拡大縮小するため、波長が短いほど解像度が高くなる。