ソリテスのパラドックス

ソリテスのパラドックス（/ s oʊ ˈ r aɪ t iː z /）^[1]は、山のパラドックスとも呼ばれ、あいまいな述語から生じるパラドックスです。^[2]典型的な定式化では、砂の山から砂粒が1つずつ取り除かれます。砂粒を1つ取り除いても、その山​​が山ではなくなることはないという仮定のもと、このプロセスが十分な回数繰り返され、砂粒が1つだけ残った場合に何が起こるか、そしてそれがまだ山であるかどうかを検討するというパラドックスです。そうでない場合、いつ山から山でなくなったのかという疑問が生じます。^[3]

ソリテス（ギリシャ語：σωρείτης ）という言葉は、ギリシャ語で山を意味する言葉（ギリシャ語：σωρός）に由来しています。^{[4]このパラドックスは、}ミレトスのエウブリデスに帰せられるその独自の特徴づけからこのように名付けられました。^[5]パラドックスは以下のとおりです。砂の山から砂粒を一つ一つ取り除いていくことを考えてみましょう。前提を用いて、議論を以下のように構築することができます。^[3]

1,000,000粒の砂は砂山である(前提 1)

砂の山から一粒を減じても、それは砂の山のままである。 (前提 2)

前提 2 を繰り返し適用すると(毎回 1 粒少ない砂から始める)、最終的には、砂の山は 1 粒の砂で構成されている可能性があるという結論を受け入れることになります。 ^[6] Read (1995) は、「議論自体が、モーダス・ポネンスのステップの山、またはソリテスである」と述べています。^[7]

1,000,000粒は山ほどあります。

もし1,000,000粒は山ほどある999,999粒は山ほどあります。

それで999,999粒は山ほどあります。

もし999,999粒は山ほどある999,998粒は山ほどあります。

それで999,998粒は山ほどあります。

もし ...

... それで1粒は山盛りです。

小さな変化と大きな結果の間の緊張は、ソリテスのパラドックスを生み出します...多くのバリエーションがあり...[そのうちのいくつかは]存在...（事実の問題）と見かけ...（認識の問題）の違いを考慮することを可能にします。^[2]

別の定式化は、明らかに砂の山ではない一粒の砂から始めて、砂の山ではないものに一粒の砂を加えてもそれが砂の山になることはないと仮定するものである。帰納的に、このプロセスは、砂の山を一度も作ることなく、好きなだけ繰り返すことができる。^{[2] [3]}この変形のより自然な定式化は、隣接する2つのチップの色の違いが人間の視力では区別できないほど小さい、色のチップのセットが存在すると仮定するものである。すると、この前提に基づく帰納法では、人間はどの色も区別できないことになる。^[2]

海から一滴の水を除去しても、それが「海ではなくなる」わけではありません (それでも海です)。しかし、海の水の量は有限なので、十分な量の水を除去した後、最終的に残った 1 リットルの水でも、それは依然として海です。

このパラドックスは、例えば「背が高い」、「金持ち」、「年老いた」、「青い」、「はげ頭」など、さまざまな述語で再現できます。バートランド・ラッセルは、自然言語のすべて、論理接続詞でさえ曖昧であり、さらに命題の表現も曖昧であると主張しました。^[8]

連続体誤謬（ひげの誤謬[ ^{9] [10] 、} 線引きの誤謬、決定点の誤謬^[11]とも呼ばれる）は、ソリテスのパラドックスに関連する非形式的な誤謬である。どちらの誤謬も、漠然とした主張が思ったほど正確ではないという理由だけで、誤ってそれを拒否する原因となる。漠然としているだけでは必ずしも無効を意味するわけではない。この誤謬は、2つの状態または条件の間に状態の連続体が存在するため、それらの状態または条件は別個とは見なせない（または まったく存在しない）という主張である。

厳密に言えば、ソリテスのパラドックスは、多くの離散状態（典型的には砂粒が 1 個から 1,000,000 個まで、したがって 1,000,000 個の可能な状態）が存在する状況を指しますが、連続体の誤謬は、温度などの状態が 連続している（または連続しているように見える）状況を指します。

連続体の誤謬の目的のために、連続体が実際に存在すると仮定しますが、これは一般的には小さな違いです。一般的に、ソリテスのパラドックスに反対する議論は連続体の誤謬にも使用できます。誤謬に対する議論の 1 つは、単純な反例に基づいています。つまり、ハゲの人もハゲでない人もいます。別の議論は、状態の変化の度合いごとに、状態の度合いがわずかに変化し、これらのわずかな変化が積み重なって状態が 1 つのカテゴリから別のカテゴリに移行するというものです。たとえば、米粒を 1 粒追加すると、米のグループ全体が「わずかに」山になり、十分なわずかな変化がグループの山の状態を証明する可能性があります (ファジー ロジックを参照) 。

最初の前提に対して、100万個の砂粒が山を作ります。しかし1,000,000は単なる任意の大きな数であり、この議論はそのような数であればどれでも適用されます。したがって、ヒープのようなものが存在することを完全に否定する必要があります。ピーター・アンガーはこの解決策を擁護しています。^[12]しかし、AJ エイヤーはアンガーからこの解決策を提示されたときにこれを否定しました。「すべてのものが原子で構成されていると考え、アンガーが細胞ではなく細胞を構成する原子で構成されていると考えると、デイビッド・ウィギンズが私に指摘したように、同様の議論を使用して、アンガーが存在しないどころか、存在するすべてのものと同一であることを証明できます。アンガーの体から 1 つの原子を減じても彼の存在に何の違いもないという前提を、1 つの原子を追加しても何の違いもないという前提に置き換えるだけで済みます。」^[13]

このパラドックスに対する一般的な最初の反応は、一定数以上の粒子を含む粒子の集合をヒープと呼ぶことである。「固定境界」を10,000グレイン未満であれば、10,000、それは山ではありません。10,000以上であれば、それは山積みです。^[14]

コリンズは、そのような解決策は不十分であると主張している。なぜなら、9,999粒と10,000グレイン。境界は、どこに設定されても恣意的なものであり、その正確さは誤解を招く恐れがあります。哲学的および言語的観点から、前者はその恣意性のため、後者はそれが自然言語の使用方法ではないという理由で、異議を唱えられます。^[15]

ティモシー・ウィリアムソン^{[16] [17] [18]}とロイ・ソレンセン^[19]は、境界は固定されているが、それは必ずしも知ることができないと主張している。

超評価主義は、非参照単数名詞と曖昧さを扱う方法である。これにより、定義されていない真理値を扱う場合でも、通常のトートロジー法則を保持することができる。 ^{[20] [21] [22] [23]} 非参照単数名詞に関する命題の例は、「ペガサスはリコリスが好き」という文である。「ペガサス」という名前はを参照していないため、この文に真理値を割り当てることはできない。神話には、そのような割り当てを正当化するものは何もない。しかし、「ペガサスはリコリスが好き、またはペガサスはリコリスが好きではない」など、ペガサスについてのいくつかの文は、それでもなお明確な真理値を持っている。この文は、トートロジー「 」、すなわち有効なスキーマ「またはそうでない」の例である。超評価主義によれば、その構成要素が真理値を持つかどうかに関係なく、この文は真であるはずである。 ${\displaystyle p\vee\neg p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

定義された真理値を持たない文を認めることで、超評価主義は、 n粒の砂は砂の山であるが、n  − 1粒はそうではないといった隣接ケースを回避します。たとえば、「1,000粒の砂は山である」は、真理値が定義されていない境界例と考えられるかもしれない。しかし、超評価主義は次のような文を扱うことができる。「1,000粒の砂は山または「1,000粒の砂は山ではない」をトートロジーとして、つまりtrue の値を割り当てる。 ^[要出典]

を言語 のすべての原子文に対して定義される古典的な評価とし、を における異なる原子文の数とします。このとき、すべての文 に対して、最大で 個の異なる古典的な評価が存在できます。超評価とは、文 から真理値への関数であり、すべての古典的な評価 に対してである場合に限り、文が超真 (つまり ) であることを意味します。超偽の場合も同様です。 それ以外の場合、は定義されません。つまり、および となる2 つの古典的な評価およびが存在するときだけです。${\displaystyle v}$${\displaystyle L}$${\displaystyle At(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2^{At(x)}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V(x)={\text{真}}}$${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$${\displaystyle v'(x)={\text{False}}}$

たとえば、 を「ペガサスはリコリスが好き」の正式な翻訳とします。このとき、 にはと の2つの古典的な値付けが存在します。つまり、です。したがって、 は超真でも超偽でもありません。ただし、このトートロジーはすべての古典的な値付けによってと評価されるため、超真です。同様に、上記のヒープ命題の形式化は、超真でも超偽でもありませんが、超真です。 ${\displaystyle L\;p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle L\;p}$${\displaystyle v(L\;p)={\text{True}}}$${\displaystyle v'(L\;p)={\text{False}}}$${\displaystyle L\;p}$${\displaystyle L\;p\lor \lnot L\;p}$${\displaystyle {\text{True}}}$${\displaystyle H\;1000}$${\displaystyle H\;1000\lor \lnot H\;1000}$

もう一つの方法は、多値論理を使うことである。この場合、問題は二価性の原理である。砂は山か山でないかのどちらかであり、グレーの濃淡はない。山と山でないという2つの論理状態の代わりに、山、不確定、山でないという3値システムを使用することができる。この提案された解決策に対する回答は、山と不確定の間、また不確定と山でないの間にも境界線があるため、3値システムではパラドックスを真に解決できないというものである。3番目の真理値は、真理値ギャップとしても、真理値過剰としても理解できる。^[24]

あるいは、ファジー論理は、実数 [0,1] の単位区間で表される論理状態の連続スペクトルを提供します。これは、無限の真理値を持つ多値論理であり、したがって砂は「確実に山」から「確実に山ではない」へと徐々に遷移し、中間領域では色合いが変化します。ファジーヘッジは、連続体を、確実に山、ほとんど山、部分的に山、わずかに山、山ではないなどのクラスに対応する領域に分割するために使用されます。^{[25] [26]ただし、これらの境界がどこで発生するかという問題が残ります。たとえば、何粒の砂が}確実に山 になり始めるかなどです。

ラフマン^{[27]が提唱したもう一つの方法は、}ヒステリシス、つまり砂の集まりが元々どのようなものであったかという知識を使うことである。砂の同量の塊は、それがどのようにしてそこに集まったかによって、山と呼べるかどうかが決まる。大きな塊（間違いなく山と呼べる）がゆっくりと減少していくと、実際の砂の量が粒の数を減らしても、その「山の状態」はある程度維持される。例えば、500粒は山積みで1,000グレインは山です。これらの状態は重なり合います。したがって、山から山に減らす場合、それは山から山へと減少していきます。750。その時点で、それを山と呼ぶのをやめて、山と呼ぶようになる。しかし、1粒を置き換えても、すぐに山に戻るわけではない。上に上がっていくと、山のままになる。900グレイン。選ばれた数字は任意です。ポイントは、同じ量でも、変化前の状態によって山にも山にもなり得るということです。ヒステリシスの一般的な使用法は、エアコンのサーモスタットです。エアコンは 77 °F に設定され、その後、空気を 77 °F よりわずかに低い温度まで冷却しますが、空気が 77.001 °F まで温まってもすぐには作動しません。ほぼ 78 °F になるまで待機し、何度も瞬時に状態が変化するのを防ぎます。^[28]

ヒープという言葉の意味は、コンセンサスに訴えることで確立できる。ウィリアムソンは、このパラドックスに対する認識論的解決法の中で、あいまいな言葉の意味は集団の使用法によって決定されなければならないと仮定している。^{[29]コンセンサス法では、典型的には、穀物の集まりは、}集団内でそれがヒープであると信じる人の割合と同じくらい「ヒープ」であると主張する。言い換えれば、どんな集まりもヒープとみなされる確率は、集団の意見の分布の 期待値である。

グループは次のように決定する場合があります。

• 一粒の砂だけでは砂の山にはなりません。
• 砂粒が大量に集まったものが砂山です。

両極端の間では、グループのメンバーは、特定のコレクションを「ヒープ」とラベル付けできるかどうかについて互いに意見が一致しない場合があります。その場合、コレクションは「ヒープ」であるか「ヒープではない」と明確に主張することはできません。これは、集団が自然言語をどのように使用するかに基づいて定義の問題を解決するため、規範言語学ではなく記述言語学への訴えであると考えられます。実際、「ヒープ」の正確な規範的定義が利用可能であれば、グループの合意は常に全員一致となり、パラドックスは発生しません。

経済学の効用理論の分野では、人の選好パターンを調査するとソリテスのパラドックスが生じる。ロバート・ダンカン・ルースの例では、コーヒーに砂糖が3グラム（つまり1キューブ）入っている方が15グラム（5キューブ）入っているよりも好きという人、例えばペギーを見つけるのは簡単だが、彼女は通常3.00グラムと3.03グラムの間でも、3.03グラムと3.06グラムの間でも、そして最終的には14.97グラムと15.00グラムの間でも、どちらでも構わないと考えている。^[30]

このような状況でソリテスのパラドックスを回避するために、経済学者は 2 つの対策を講じました。

• 肯定形ではなく比較形のプロパティが使用されています。上記の例では、意図的に「ペギーは砂糖3グラムのコーヒーが好きです」や「ペギーは砂糖15グラムのコーヒーが好きではありません」というような文は作成されていません。代わりに、「ペギーは砂糖15グラムのコーヒーよりも砂糖3グラムのコーヒーが好きです」と述べています。^[34]
• 経済学者は、選好（「ペギーは…よりも…が好き」）と無関心（「ペギーは…と同じくらい…が好き」）を区別し、後者の関係を推移的とは考えない。^[36]上記の例では、「砂糖xグラム入りのコーヒー」を「c _x」と省略し、「ペギーはc _xとc _yに無関心である」を「c _x ≈ c _y」と省略すると、 c _3.00 ≈ c _3.03、c _3.03 ≈ c _3.06、…、c _14.97 ≈ c _15.00という事実は、 c _3.00 ≈ c _15.00を意味しない。

ソリテスのパラドックスに陥ることなく、選好と無関心を説明するために、いくつかの種類の関係が導入された。ルースは半順序を定義し、その数学的特性を調査した。^[30] アマルティア・センは、準推移関係について同様の作業を行った。^[37] 「ペギーはc _{x が}c _yより好き」を「c _x > c _y」と省略し、 「c _x > c _yまたはc _x ≈ c _y」を「c _x ≥ c _y 」と省略すると、関係 ">" が半順序で、 ≥ が準推移的であることが合理的である。逆に、与えられた半順序 > から、c _x > c _yでもc _y > c _xでもない場合にc _x ≈ c _yと定義することで、無関心関係 ≈ を再構築できる。 同様に、与えられた準推移関係 ≥ から、 c _x ≥ c _yかつc y ≥ c x の場合に c _x ≈ c _yを定義_することによって_無差別関係 ≈ を再構築できます。これらの再構築された ≈ 関係は通常、推移 的ではありません。

右の表は、上記の色の例を準推移関係 ≥ としてモデル化する方法を示しています。色の違いは、読みやすくするために誇張しています。行Xと列Yの表のセルが空でない場合、色X は色Yよりも赤いか、または同じくらい赤いと言われます。その場合、セルに「≈」が含まれている場合、XとY は区別がつかないほど等しく見え、セルに「>」が含まれている場合、X は明らかにYよりも赤く見えます。関係 ≥ は、対称関係 ≈ と推移関係 > の互いに素な和集合です。 > の推移性を使用すると、f10 > d30とd30 > b50の両方がわかっているため、 f10 > b50であると推論できます。ただし、 ≥ は推移的ではないため、「 d30 ≥ e20かつe20 ≥ f10なので、 d30 ≥ f10 」のような「逆説的な」推論は不可能になります。同じ理由で、たとえば「d30 ≈ e20かつe20 ≈ f10なので、 d30 ≈ f10 」はもはや有効な推論ではありません。同様に、このアプローチでパラドックスの元のヒープバリエーションを解決するには、「 XグレインはYグレインよりもヒープである」という関係を推移的ではなく準推移的と見なすことができます。

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• ザルタ、エドワード N. (編)。「ソリテスのパラドックス」。スタンフォード哲学百科事典。ドミニク・ハイド著。
• サンドラ・ラフェイブ: オープンコンセプトとクローズドコンセプト、そして連続体の誤謬