物体の立体角の大きさ（ステラジアン） は、頂点を中心とする単位球 の扇形のうち、物体が覆う部分の面積 に等しくなります。単位球の扇形の面積をステラジアンで表すことは、単位円 の弧の長さをラジアンで表すことに似ています。円弧の頂点における平面角の大きさ（ラジアン）が、その弧の長さと半径の比であるのと同様に、立体角の大きさ（ステラジアン）は、球面上で物体が覆う面積と球の半径の二乗の比です。立体角の大きさ（ステラジアン）の公式は次のとおりです。
Ω = A r 2 、 {\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}
どこA {\displaystyle A} r {\displaystyle r}
立体角は、天文学 、物理学 、特に天体物理学 において頻繁に用いられます。非常に遠くにある物体の立体角は、おおよそ面積と距離の二乗の比に比例します。ここでいう「面積」とは、物体を視線方向に投影したときの面積を意味します。
球体の中心から見たとき、半径の二乗に等しい面積を持つ球面は、正確に1ステラジアン の角度をなす。 球の内部の任意の点から測った球の立体角は 4π sr です。 立方体の中心でその面がなす立体角は、その 6 分の 1、つまり 2π / 3 sr です。八分円 ）で形成される立体角、または球面八分円によって形成される立体角は π /2 srであり 、球の立体角の 8 分の 1 である。
立体角は、平方度 (1 sr = ( 180/ π ) 2 平方度)、平方分角 、平方秒角 でも測定できます。[ a ] sr = 1 / 4 π 分数 spat (1 sp = 4 π sr )とも呼ばれます。
球面座標 では微分 に対する公式があり、
d Ω = 罪 θ d θ d φ 、 {\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}
ここで、θ は余緯度 （北極からの角度）、φ は経度である。
任意の向きを持つ曲面 S が点P で張る立体角は、曲面Sを中心 P の単位球に投影した立体角に等しく、これは面積分 として計算できる。
Ω = ∬ S r ^ ⋅ n ^ r 2 d S = ∬ S 罪 θ d θ d φ 、 {\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}
どこr ^ = r → / r {\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r} 、 r → {\displaystyle {\vec {r}}} P に対する表面dS 位置ベクトル であり、ここでn ^ {\displaystyle {\hat {n}}} はdS 法線ベクトル を表します。単位球面への投影が表面S と 同型 でない場合でも、多重折り畳みはスカラー積 の符号によって記述される表面の向きに従って正しく考慮されます。r ^ ⋅ n ^ {\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}
したがって、平面面積dS と 面が張る立体角を近似することができる。 n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} rは次のようになる。
d Ω = 4 π （ d S A ） （ r ^ ⋅ n ^ ） 、 {\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}
ここで、球の表面積は A = 4 π r 2
一般的な物体の立体角
半径r の球面内で 1 ステラジアンの立体角をなす円錐 (1) の中心を通る断面図と、球状の「キャップ (2)」を示す。キャップの外面積 A は、r 2 \displaystyle r^{2}} θ = A /2r = 1 です頂点が立体角の頂点にあり、頂角が 2θ である円錐 の立体 角は、単位球 上の球冠 の面積に等しい。
Ω = 2 π （ 1 − コス θ ） = 4 π 罪 2 θ 2 。 {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}
θ cos θ ≈ 1 − θ 2 / 2 となり、これはΩ = π θ 2 に簡略化されます。
上記は、球面座標における 単位面積要素を用いて以下の二重積分を 計算することによって得られる。
∫ 0 2 π ∫ 0 θ 罪 θ ′ d θ ′ d ϕ = ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 θ 罪 θ ′ d θ ′ = 2 π ∫ 0 θ 罪 θ ′ d θ ′ = 2 π [ − コス θ ′ ] 0 θ = 2 π （ 1 − コス θ ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}
この公式は微積分 を用いなくても導き出すことができる。
2200年以上前、アルキメデスは 球冠の表面積は常に、球冠の縁から球冠の対称軸が球冠と交わる点までの距離に等しい半径の円の面積に等しいことを証明した。[ 2 ]
アルキメデスの定理とは、与えられた図において、水平面 H の下にある球の表面積は、半径 t の円の面積に等しいという定理である。 上記のカラー図では、この半径は次のように表されます。
2 r 罪 θ 2 。 {\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.}
したがって、単位球の場合、球冠の立体角は次のように表される。
Ω = 4 π 罪 2 θ 2 = 2 π （ 1 − コス θ ） 。 {\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}
θ π / 2 の 立体 半球 に なります。
円錐の補角の立体角は
4 π − Ω = 2 π （ 1 + コス θ ） = 4 π コス 2 θ 2 。 {\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}
これはまた、緯度θ 天球 の立体角でもあります。赤道では天球全体が見えますが、両極では半分しか見えません。
円錐の軸から角度γ [ 3 ]によって計算できます。
Ω = 2 [ アルコス （ 罪 γ 罪 θ ） − コス θ アルコス （ タン γ タン θ ） ] 。 {\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right]。}
例えば、γ = − θ π になり、2 番目の項はπ cos θ
正四面体 OABCを、三角形面ABCによって囲まれた原点Oを持つ四面体 の頂点とする。1 → 、 b → 、 c → {\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}} 頂点角 θ a を 角 BOC と定義し、θ b 、θ c をそれぞれ定義します。ϕ 1 b \displaystyle \phi _{ab}} 二面角 を とし、ϕ 1 c \displaystyle \phi _{ac}} ϕ b c \displaystyle \phi _{bc}} Ωは次のように与えられる。
Ω = （ ϕ 1 b + ϕ b c + ϕ 1 c ） − π 。 {\displaystyle \Omega =\left(\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}\right)\ -\pi .}
これは球面過剰 の理論から導かれるものであり、 「平面三角形の内角の和はπ に等しい」 という定理に類似した定理が、正四面体の4つの内立体角の和について以下のように成り立つという事実につながる。
∑ 私 = 1 4 Ω 私 = 2 ∑ 私 = 1 6 ϕ 私 − 4 π 、 {\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}
どこϕ 私 \displaystyle \phi _{i}} [ 4 ]
原点 O における正四面体の立体角を計算するための有用な公式は、頂点角θ a 、θ b 、θ c のみの関数であり、L'Huilier の定理 [ 5 ] [ 6 ]
タン （ 1 4 Ω ） = タン （ θ s 2 ） タン （ θ s − θ 1 2 ） タン （ θ s − θ b 2 ） タン （ θ s − θ c 2 ） 、 {\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}
どこ θ s = θ 1 + θ b + θ c 2 。 {\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}
もう一つ興味深い公式は、頂点を3次元空間のベクトルとして表現するものです。1 → 、 b → 、 c → {\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}} a 、b 、c とする。三角形の表面 ABC が張る立体角Ω は次のようになる。 [ 7 ] [ 8 ]
タン （ 1 2 Ω ） = | 1 → b → c → | 1 b c + （ 1 → ⋅ b → ） c + （ 1 → ⋅ c → ） b + （ b → ⋅ c → ） 1 、 {\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}
どこ | 1 → b → c → | = 1 → ⋅ （ b → × c → ） {\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}
は、3 つのベクトルと のスカラー三重積 を表します。1 → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} はスカラー積 を表します。
ここでは、負の立体角や誤った立体角にならないように注意する必要があります。潜在的なエラーの原因の1つは、a 、b 、cの 巻き数 が間違っている場合、スカラー三重積が負になる可能性があることです。方程式の他の部分は巻き数に依存しないため、絶対値を計算すれば十分な解決策となります。もう1つの落とし穴は、スカラー三重積が正で除数が負の場合です。この場合、負の値が返されるため、π を加算する必要があります。
ピラミッド 頂 角がa とb （ピラミッドの反対側の側面に対する 二面角 ）である四面直角ピラミッドの立体角は Ω = 4 arcsin （ 罪 （ 1 2 ） 罪 （ b 2 ） ） 。 {\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}
ピラミッドの底面の辺の長さ（α β ）と、底面の長方形の中心からピラミッドの頂点（球の中心）までの距離（ d
Ω = 4 アークタン α β 2 d 4 d 2 + α 2 + β 2 。 {\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}
底面が半径r の正n 角形であり、高さがh である直角n 角錐の立体角は
Ω = 2 π − 2 n アークタン （ タン （ π n ） 1 + r 2 h 2 ） 。 {\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}
辺を表す単位ベクトルのシーケンス{ s 1 , s 2 }, ... s n によって定義される、 n [ 3 ]
Ω = 2 π − 引数 ∏ j = 1 n （ （ s j − 1 s j ） （ s j s j + 1 ） − （ s j − 1 s j + 1 ） + 私 [ s j − 1 s j s j + 1 ] ） 。 {\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}
ここで、括弧 (* *) はスカラー積 、角括弧 [* * *] はスカラー三重積 、iは 虚数単位 です。添え字は循環します: s 0 = s n s 1 = s n + 12 π {\displaystyle 2\pi } 引数 {\displaystyle \arg }
緯度経度矩形 地球儀 上の緯度経度長方形の立体角は （ 罪 ϕ N − 罪 ϕ S ） （ θ E − θ W ） s r 、 {\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,} 、φ N φ S （ 赤道からラジアンで測定され、 角度 は北に向かって増加する）、θ E θ W 。 [ 9 ]数学 的には、これは角度ϕ N − ϕ S θ E − θ W π ラジアン、緯度がπ ラジアンの場合、立体角は球面の立体角になります。
緯度経度矩形は、直方体の立体角と混同してはならない。直方体の四辺はすべて球面と大円弧 で交わる。一方、緯度経度矩形では、経線のみが大円弧となり、緯線はそうではない。
天体 角直径 の定義を用いることで、天体の立体角の公式をその天体の半径を用いて定義することができる。R {\textstyle R} d {\displaystyle d}
Ω = 2 π （ 1 − d 2 − R 2 d ） : d ≥ R 。 {\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}
太陽 と月 （地球に対する相対値）の適切な平均値を入力すると、太陽の平均立体角は次のようになります。× 10 −5 ステラジアンで、月 の平均立体角は× 10 −5 太陽 と月は 平均 して5406 ppm 5107 ppm日食の両方を引き起こす可能性があります。
任意の次元における立体角 d 次元ユークリッド空間 における単位球の完全な ( d − 1 ) 次元球面が張る立体角は、任意の次元d Ω d = 2 π d 2 Γ （ d 2 ） 、 {\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},} Γは ガンマ関数 である。dが整数の場合、 [ 10 ] Ω d = { 1 （ d 2 − 1 ） ! 2 π d 2 d 平 （ 1 2 （ d − 1 ） ） ! （ d − 1 ） ! 2 d π 1 2 （ d − 1 ） d 奇数 。 {\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}
これにより、面積4π r 2 πステラジアン、長さ 2π r πラジアンという期待通りの結果が得られます。また、原点を中心とする 1D 「球」が区間 [ − r , r ]
任意の次元におけるベクトル公式の対応物は、青本[ 11 ] [ 12 ]とリバンド [ 13 ] テイラー級数 として表現される。 Ω = Ω d | 検出 （ V ） | （ 4 π ） d / 2 ∑ 1 → ∈ N 0 （ d 2 ） [ （ − 2 ） ∑ 私 < j 1 私 j ∏ 私 < j 1 私 j ! ∏ 私 Γ （ 1 + ∑ m ≠ 私 1 私 m 2 ） ] α → 1 → 。 {\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.} d 個の単位ベクトル が与えられた場合v → 私 {\displaystyle {\vec {v}}_{i}} i 番目の列が次のようになる行列をVとします。 v → 私 {\displaystyle {\vec {v}}_{i}} α 私 j = v → 私 ⋅ v → j = α j 私 、 α 私 私 = 1 {\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1} α 私 j 、 1 ≤ 私 < j ≤ d {\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d} α → = （ α 12 、 … 、 α 1 d 、 α 23 、 … 、 α d − 1 、 d ） ∈ R （ d 2 ） {\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}} 1 → = （ 1 12 、 … 、 1 1 d 、 1 23 、 … 、 1 d − 1 、 d ） ∈ N 0 （ d 2 ） 、 {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},} α → 1 → = ∏ α 私 j 1 私 j {\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}} N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} α j 私 {\displaystyle \alpha _{ji}} j > 私 {\displaystyle j>i} α 私 j {\displaystyle \alpha _{ij}} 1 j 私 {\displaystyle a_{ji}} ∑ m ≠ l 1 l m {\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}} 1 → {\displaystyle {\vec {a}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553bfb7326b3102cfc2e03f81cf7b34da431296b)
![{\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6801ed323a0f13ac7a1460c6549fa0b15002269d)
![{\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0474c9860232795ae0d57fb0ee32f2979b7c8b)
![{\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc134d3a32a327f1989c92b95bb5fc82e4c9f1e)
