連続スペース

位相幾何学および関連する数学の分野において、シーケンシャル空間は、位相がその収束/発散列によって完全に特徴付けられる位相空間である。これらは、非常に弱い可算公理を満たす空間として考えることができ、すべての第 1 可算空間(特に距離空間) はシーケンシャルである。

任意の位相空間において、収束するシーケンスが閉集合に含まれている場合、そのシーケンスの極限も必ず含まれます。この特性を持つ集合は、順次閉じていると呼ばれます。順次空間とは、まさに、順次閉じた集合が実際に閉じている位相空間のことです。(これらの定義は、順次開集合という用語で言い換えることもできます。以下を参照してください。) 言い換えると、任意の位相はネット(ムーア・スミス シーケンスとも呼ばれる) で記述できますが、それらのシーケンスは、シーケンスに圧縮するには「長すぎる」(大きすぎる順序数でインデックス付けされている) 場合があります。順次空間とは、可算な長さのネット (つまり、シーケンス) で十分に位相を記述できる位相空間のことです。 ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle C,}$${\displaystyle C}$

任意の位相は、連続位相に洗練（つまり、より細かく）することができ、これは連続共反射と呼ばれる。${\displaystyle X.}$

関連する概念であるフレシェ・ウリゾーン空間、Tシーケンシャル空間、および-シーケンシャル空間も、空間の位相がシーケンスとどのように相互作用するかという観点から定義されますが、微妙に異なる特性を持っています。 ${\displaystyle N}$

シーケンシャル空間と-シーケンシャル空間はSPフランクリンによって導入されました。^[1]${\displaystyle N}$

このような性質を満たす空間は暗黙的に数年にわたって研究されてきたが、最初の正式な定義は 1965 年に SP フランクリンによってなされた。フランクリンは「収束するシーケンスの知識によって完全に指定できる位相空間のクラス」を決定したいと考え、シーケンスで十分であることがすでにわかっていた第一可算空間の調査から始めた。その後、フランクリンは第一可算空間の必要な性質を抽象化することで、現代的な定義に到達した。

を集合とし、を のシーケンスとします。つまり、自然数でインデックス付けされたの要素の族です。この記事では、はシーケンスの各要素が の要素であり、 がマップである場合、 であることを意味します。任意のインデックスに対して、から始まるの末尾はシーケンスです。シーケンスは、の末尾がを満たす場合、最終的に になります。${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq S}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}}$$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S.}$

を上の位相とし、その中の列とする。列は、（文脈が許す限り）と書かれた点に収束する。すなわち、のすべての近傍に対して、 が最終的に になる場合、 は の極限点と呼ばれる。${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x_{\bullet}}$ ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle U\in \tau }$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$

位相空間間の関数が連続的であるとは、${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle f(x_{\bullet })\to f(x).}$

を位相空間とし、を部分集合とする。におけるの位相閉包（または位相内部）は、それぞれ（または）で表されます。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$

におけるの順次閉包は、のべき集合上の写像、すなわち順次閉包演算子 を定義する集合です。明確にするために必要であれば、この集合はまたは と書くこともできます。 は常に となりますが、その逆は失敗する可能 性があります。${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$$${\displaystyle \operatorname {scl} (S)=\left\{x\in X:{\text{s_{\bullet }\subseteq S{\text{が存在するが、s_{\bullet }\to x\right\}}となるシーケンスが存在する}$$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(S)}$${\displaystyle \operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).}$${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,}$

の順次内部は集合です(位相空間は必要に応じて下付き文字で示されます)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$$${\displaystyle \operatorname {sint} (S)=\{s\in S:{\text{x_{\bullet }\subseteq X{\text{ かつ }x_{\bullet }\to s の場合、{\text{ }}x_{\bullet }{\text{ は最終的に }}S に含まれる\}}$$

順次閉包と内部は、位相閉包と内部の多くの優れた性質を満たしている。すべての部分集合に対して${\displaystyle R,S\subseteq X,}$

• ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)}$そして; ${\displaystyle \operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset }$そして;${\displaystyle \operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset }$
• ${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$;
• ${\displaystyle \operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)}$; そして
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

つまり、順次閉包は前閉包演算子です。位相閉包とは異なり、順次閉包はべき等ではありません。最後の包含は厳密である可能性があります。したがって、順次閉包は ( Kuratowski )閉包演算子ではありません。

集合が順次閉じているとは、 のときである。同様に、 およびとなるすべての に対して、が成り立つことが分かる。^{[注 1]}${\displaystyle S}$${\displaystyle S=\operatorname {scl} (S)}$${\displaystyle s_{\bullet }\subseteq S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x,}$${\displaystyle x\in S.}$

集合の補集合が順次閉じている場合、その集合は順次開いていると定義されます。同等の条件には次のものがあります。 ${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle S=\operatorname {sint} (S)}$または
• すべての および に対して、は最終的に になります(つまり、末尾 となる整数が存在します)。${\displaystyle x_{\bullet }\subseteq X}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}s,}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{\geq i}\subseteq S}$

集合が点の連続近傍であるとは、集合の連続内部に点が含まれる場合である。連続近傍は連続的に開いている必要はない（以下の § T 連続空間と N 連続空間を参照）。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$

の部分集合が順次開いているが開いていない 可能性があります。同様に、閉じていない順次閉じた部分集合が存在する可能性もあります。${\displaystyle X}$

上で述べたように、順次閉包は一般に冪等ではないため、位相の閉包演算子ではありません。冪等な順次閉包は、超限反復によって得ることができます。後続順序数 に対しては(通常どおり) を定義し、極限順序数に対してはを定義します。このプロセスにより、順序数でインデックス付けされた集合の増加シーケンスが得られます。 結局のところ、そのシーケンスは常にインデックス(最初の非可算順序数) によって安定します。 逆に、の順次順序は、上記のシーケンスの任意の選択に対して安定する最小の順序数です。^[2]${\displaystyle \alpha +1,}$$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))}$$ ${\displaystyle \alpha ,}$$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}}$$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S,}$

の超限逐次閉包は、上記の数列の終端集合である。演算子は冪等であるため、閉包演算子である。特に、これは位相、逐次共反射を定義する。逐次共反射では、すべての逐次閉集合は閉じている（そしてすべての逐次開集合は開いている）。^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).}$${\displaystyle (\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}}$

位相空間が連続的であるとは、次の同値な条件のいずれかを満たす場合です。 ${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle \tau }$それ自体が連続的な共反射である。^[4]
• のすべての順次開部分集合は開集合である。${\displaystyle X}$
• のすべての連続的に閉じた部分集合は閉じています。${\displaystyle X}$
• で閉じていない任意の部分集合に対して、^[注2]が存在し、 ^[5]に収束する 内のシーケンスが存在する。${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$
• （普遍的性質）任意の位相空間に対して写像が連続であるためには、それが順次連続である必要がある（そのときは）。^[6]${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)}$
• ${\displaystyle X}$は第1可算空間の商です。
• ${\displaystyle X}$距離空間の商です。

およびを普遍的性質における恒等写像とすることで、連続空間のクラスは、位相構造が収束列によって決定される空間だけから構成されるということになります。2 つの位相が収束列で一致する場合、それらは必然的に同じ連続共反射を持ちます。さらに、からの関数が連続連続となるのは、それが連続共反射上で連続である場合 (つまり、 と前合成されている場合) に限ります。 ${\displaystyle Y=X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$

Tシーケンシャル空間はシーケンシャル順序が1である位相空間であり、次のいずれかの条件を満たす: ^[1]

• のすべての部分集合の順次閉包（または内部）は順次閉じている（または開いている）。${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {scl} }$またはべき等性があります。${\displaystyle \operatorname {sint} }$
• ${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$または${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• の任意の順次近傍は、を含む順次開集合に縮小できます。正式には、順次開近傍は、順次近傍の近傍基数です。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$
• の任意の連続近傍と任意の連続近傍に対して、任意の集合に対して連続近傍が存在する。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m\in M,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m.}$

Tシーケンシャル空間であることとシーケンシャル空間であることは比較できない。シーケンシャル空間であってもTシーケンシャルでない空間は存在し、その逆もまた同様である。しかし、位相空間がシーケンシャルかつTシーケンシャルである場合、その位相空間は-シーケンシャル(または近傍シーケンシャル)と呼ばれる。同等の条件は、すべてのシーケンシャル近傍に開近傍 (古典的近傍) が含まれることである。^[1]${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle N}$

全ての第一可算空間（したがって全ての距離化可能空間）は -順次的である。順次的だが-順次的ではない（したがってT -順次的ではない）位相ベクトル空間が存在する。^[1]${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

位相空間は、次の同値な条件のいずれかを満たす場合、フレシェ・ウリゾーンと呼ばれます。${\displaystyle (X,\tau )}$

• ${\displaystyle X}$は遺伝的に連続的である。つまり、すべての位相的部分空間は連続的である。
• すべてのサブセットについて${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {scl} _{X}S=\operatorname {cl} _{X}S.}$
• で閉じていない任意の部分集合に対して、で収束する列が存在する。${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$

フレシェ・ウリゾーン空間は「フレシェ」と呼ばれることもありますが、関数解析におけるフレシェ空間やT ₁条件と混同しないでください。

すべてのCW 複体は、距離空間の商として考えることができるため、連続的です。

ザリスキ位相を持つ可換ネーター環の素スペクトルは連続的である。^[7]

実数直線を取り、整数の集合を点に 特定します。距離空間の商として、結果は連続していますが、最初は可算ではありません。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

すべての第一可算空間はフレシェ・ウリゾーン空間であり、すべてのフレシェ・ウリゾーン空間は連続的です。したがって、すべての距離化可能または擬距離化可能な空間、特にすべての第二可算空間、距離空間、または離散空間は 連続的です。

をフレシェ-ウリゾーン空間から への写像の集合とすると、に誘導される最終的な位相は順次的になります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

ハウスドルフ位相ベクトル空間が連続的であるためには、同じ収束列を持つより細かい位相が存在しない必要がある。^{[8] [9]}

シュワルツ空間と 滑らかな関数の空間は、超関数の記事で説明したように、どちらも広く使われている連続空間です。^{[10] [11]}${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle C^{\infty }(U)}$

より一般的には、すべての無限次元モンテル DF空間は連続的であるが、フレシェ-ウリゾーン空間は連続的ではない。

アレンズの空間は連続的ですが、フレシェ＝ユリソーンの空間ではありません。^{[12] [13]}

連続的ではない最も単純な空間は、非可算集合上の可算位相である。そのような空間におけるすべての収束する列は最終的に定数となるため、すべての集合は連続的に開いている。しかし、可算位相は離散的ではない。（この位相を「連続的に離散的」と呼ぶこともできる。）^[14]

を、その標準位相を持つ-滑らかなテスト関数の空間を表すものとし、を超関数の空間、つまり の強双対空間を表すものとする。どちらもシーケンシャルではない（アスコリ空間でさえない）。^{[10] [11]}一方、 と は両方ともモンテル空間である。^[15]そして、任意のモンテル空間の双対空間において、連続線型関数の列が強双対位相に収束するのは、それが弱*位相に収束する場合（つまり、点ごとに収束する場合）に限る。 ^{[10] [16]}${\displaystyle C_{c}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

すべてのシーケンシャル空間は可算なタイトネスを持ち、コンパクトに生成されます。

が2 つのハウスドルフ連続空間間の連続した開全射である場合、一意の逆像を持つ点の集合は閉じています。(連続性により、が単射であるすべての点の集合におけるその逆像も閉じています。) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f}$

がハウスドルフ順序空間への射影写像（連続である必要はない）であり、が位相の基底である場合、が開写像となるのは、 のあらゆる基本近傍と の列に対して、の部分列が存在し、それが最終的に となる場合のみである。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle y_{\bullet }}$${\displaystyle f(B).}$

すべての連続空間の完全なサブカテゴリ Seqは、位相空間のカテゴリ Topにおける次の操作に対して閉じています。

カテゴリSeq はTopにおける次の演算に対して閉じていません。

系列空間は位相的な和と商に関して閉じているので、位相空間のカテゴリの共反射サブカテゴリを形成します。実際、系列空間は距離化可能空間の共反射包です（つまり、和と商に関して閉じており、距離化可能空間を含む位相空間の最小のクラスです）。

サブカテゴリSeqは、自身の積（ Topの積ではない）に関するデカルトの閉カテゴリです。指数オブジェクトには、（収束シーケンス）オープントポロジーが備わっています。

PI BoothとA. Tillotsonは、SeqがTopの最小の直交閉サブカテゴリであり、すべての距離空間、CW複体、微分可能多様体の基礎となる位相空間を含み、余極限、商、およびノー​​マン・スティーンロッドが「便利」と表現した他の「特定の合理的な恒等式」の下で閉じていることを示した。^[17]

すべてのシーケンシャル空間はコンパクトに生成され、Seqの有限積はコンパクトに生成されている空間の有限積と一致する。これは、コンパクトに生成されている空間のカテゴリの積が距離空間の商を保存するためである。

• 可算性の公理 – 特定の 特性を持つ可算集合の存在を主張する、特定の数学的オブジェクト (通常はカテゴリ内) の特性。このような公理がなければ、そのような集合はおそらく存在しない可能性があります。Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 閉グラフ特性 – 積空間で閉じたマップのグラフ
• 第一可算空間 – 各点が可算な近傍基底を持つ位相空間
• フレシェ・ウリゾーン空間 – 位相空間の性質
• 配列カバーマップ

• Arkhangel'skii、AV および Pontryagin、LS、General Topology I、Springer-Verlag、ニューヨーク (1990) ISBN 3-540-18178-4。 
• Arkhangel'skii, AV (1966). 「マッピングと空間」(PDF) .ロシア数学概論. 21 (4): 115–162. Bibcode :1966RuMaS..21..115A. doi :10.1070/RM1966v021n04ABEH004169. ISSN  0036-0279. S2CID  250900871 . 2021年2月10日閲覧。
• Akiz, Hürmet Fulya; Koçak, Lokman (2019). 「逐次ハウスドルフ空間と完全逐次ハウスドルフ空間」.アンカラ大学コミュニケーション科学部シリーズA1数学と統計. 68 (2): 1724–1732. doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN  1303-5991 . 2021年2月10日閲覧。
•  ブーン、ジェームズ (1973)。「メソコンパクト空間と連続メソコンパクト空間に関するノート」。パシフィック・ジャーナル・オブ・マスマティクス。44 (1): 69–74。doi : 10.2140/pjm.1973.44.69。ISSN 0030-8730。
• Booth, Peter; Tillotson, J. (1980). 「モノイド閉、デカルト閉、位相空間の便利なカテゴリ」. Pacific Journal of Mathematics . 88 (1): 35–53. doi : 10.2140/pjm.1980.88.35 . ISSN  0030-8730 . 2021年2月10日閲覧。
• Engelking, R., General Topology、Heldermann、ベルリン (1989)。改訂・完成版。
• Foged, L. (1985). 「計量空間の閉像の特徴付け」.アメリカ数学会紀要. 95 (3): 487–490. doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN  0002-9939.
• フランクリン、S. (1965)。 「シーケンスで十分なスペース」(PDF)。数学の基礎。57 (1): 107-115。土井：10.4064/fm-57-1-107-115。ISSN  0016-2736。
• フランクリン、S. (1967)。 「シーケンスで十分な空間 II」(PDF)。数学の基礎。61 (1): 51-56。土井：10.4064/fm-61-1-51-56。ISSN  0016-2736 。2021 年2 月 10 日に取得。
• ゴアハム、アンソニー、「位相空間における逐次収束」(2016)
• Gruenhage, Gary; Michael, Ernest; Tanaka, Yoshio (1984). 「点可算被覆によって決定される空間」. Pacific Journal of Mathematics . 113 (2): 303–332. doi : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN  0030-8730.
• Michael, EA (1972). 「五重商の探求」.一般位相幾何学とその応用. 2 (2): 91–138. doi :10.1016/0016-660X(72)90040-2. ISSN  0016-660X.
• ショウ、リン。チュアン、リウ。ムーミン、ダイ（1997）。 「局所的に分離可能な計量空間上の画像」。Acta Mathematica Sinica。13 (1): 1-8。土井：10.1007/BF02560519。ISSN  1439-8516。S2CID  122383748。
• Steenrod, NE (1967). 「位相空間の便利なカテゴリー」ミシガン数学ジャーナル. 14 (2): 133–152. doi : 10.1307/mmj/1028999711 . 2021年2月10日閲覧。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• ウィランスキー、アルバート(2013)。位相ベクトル空間における最新の手法。ニューヨーク州ミネオラ: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.