スケールスペース

スケールスペース理論は、物理学と生物視覚からの相補的な動機を持つコンピュータービジョン、画像処理、信号処理のコミュニティによって開発された、マルチスケール 信号 表現のフレームワークです。これは、画像を、微細スケール構造を抑制するために使用される平滑化カーネルのサイズによってパラメータ化された、平滑化された画像の1パラメータ族、スケールスペース表現として表現することにより、異なるスケールでの画像構造を処理するための形式理論です。 ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]}この族のパラメータはスケールパラメータと呼ばれ、空間サイズが約より小さい画像構造は、スケール のスケールスペースレベルで大部分が平滑化されていると解釈されています。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle {\sqrt {t}}}$${\displaystyle t}$

スケール空間の主なタイプは線形（ガウス）スケール空間であり、これは幅広い適用性があり、少数のスケール空間公理から導出できるという魅力的な特性を持っています。対応するスケール空間フレームワークには、ガウス微分演算子の理論が含まれており、視覚情報を処理するコンピュータシステムの大規模な視覚操作を表現するための基礎として使用できます。このフレームワークでは、視覚操作をスケール不変にすることもできます。これは、画像データで発生する可能性のあるサイズの変動に対処するために必要です。なぜなら、現実世界のオブジェクトはさまざまなサイズである可能性があり、さらにオブジェクトとカメラの間の距離は未知であり、状況に応じて変化する可能性があるからです。^{[9] [10]}

スケール空間の概念は、任意の数の変数の信号に適用されます。文献で最も一般的なケースは、ここで紹介されている2次元画像に適用されます。与えられた画像 に対して、その線形（ガウス）スケール空間表現は、 2次元ガウスカーネルとの畳み込みによって定義される派生信号の族です。${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle g(x,y;t)={\frac {1}{2\pi t}}e^{-(x^{2}+y^{2})/2t}\,}$

そのような

${\displaystyle L(\cdot ,\cdot ;t)\ =g(\cdot ,\cdot ;t)*f(\cdot ,\cdot ),}$

ここで、 の引数のセミコロンは、畳み込みが変数 に対してのみ実行されることを意味し、セミコロンの後のスケール パラメータは、どのスケール レベルが定義されているかを示すだけです。 のこの定義は、スケール の連続体に対して機能しますが、通常、スケール空間表現内のレベルの有限の離散セットのみが実際に考慮されます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t\geq 0}$

スケールパラメータはガウスフィルタの分散であり、フィルタの制限として はインパルス関数となり、つまり、スケールレベルでのスケール空間表現は画像そのものである。が増加するにつれて、はより大きなフィルタで平滑化した結果となり、画像に含まれる詳細がどんどん除去される。 フィルタの標準偏差は であるため、この値よりも大幅に小さい詳細は、スケールパラメータ で画像から大幅に除去されます。グラフィカルな説明については、次の図と^[11]を参照してください。 ${\displaystyle t=\sigma ^{2}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L(x,y;0)=f(x,y),}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {t}}}$${\displaystyle t}$

• 
  元の画像に対応する スケールでのスケール空間表現${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f}$
• 
  スケール空間でのスケール表現${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=1}$
• 
  スケール空間でのスケール表現${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=4}$
• 
  スケール空間でのスケール表現${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=16}$
• 
  スケール空間でのスケール表現${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=64}$
• 
  スケール空間でのスケール表現${\displaystyle L(x,y;t)}$${\displaystyle t=256}$

マルチスケール表現を生成するという課題に直面したとき、次のような疑問が湧くかもしれません。ローパス型で、幅を決定するパラメータtを持つ任意のフィルタg を使用してスケール空間を生成できるでしょうか。答えは「いいえ」です。これは、平滑化フィルタが、より細かいスケールでの対応する構造の簡略化に対応しない新しいスプリアス構造を粗いスケールで導入しないことが極めて重要であるためです。スケール空間の文献では、この基準を正確な数学的用語で定式化するために、さまざまな方法が表現されてきました。

これまでに提示されたいくつかの異なる公理的導出からの結論は、細かいスケールからより粗いスケールに移行するときに新しい構造を作成してはならないという必須要件に基づいて、ガウススケール空間が線形スケール空間を生成する標準的な方法を構成するというものである。[ ^{1] [3] [4] [6] [9] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]}ガウスカーネルの一意性を導出するために使用されてきたスケール空間公理 と呼ばれる条件には、線形性、シフト不変性、半群構造、局所的極値の非強調、スケール不変性、および回転不変性が含まれる。 ^{[15] [20] [21]}の研究では、スケール不変性に基づく議論で主張されている一意性が批判され、代わりの自己相似スケール空間カーネルが提案されている。しかしながら、ガウスカーネルは因果関係^[3]または局所極値の非強調に基づくスケール空間公理によれば、ユニークな選択である。 ^{[16] [18]}

同様に、スケール空間族は拡散方程式の解として定義することができます（たとえば、熱方程式に関して）。

${\displaystyle \partial _{t}L={\frac {1}{2}}\nabla ^{2}L,}$

初期条件は です。スケール空間表現Lのこの定式化は、画像fの強度値を画像平面の「温度分布」として解釈することが可能であり、スケール空間表現をtの関数として生成するプロセスが、時間tにわたる画像平面の熱拡散に対応することを意味します (材料の熱伝導率が任意に選択された定数 ⁠ に等しいと仮定)。${\displaystyle L(x,y;0)=f(x,y)}$1/2⁠ ）。この関係は、微分方程式に精通していない読者には表面的なものに見えるかもしれませんが、局所的極値の非強調に関する主要なスケールスペース定式化は、スケールスペースによって生成された2 + 1次元ボリューム内の偏微分に対する符号条件の観点から表現され、したがって偏微分方程式の枠組み内にあります。さらに、離散ケースの詳細な分析は、拡散方程式が連続スケールスペースと離散スケールスペースの間の統一的なリンクを提供し、たとえば異方性拡散を使用して非線形スケールスペースにも一般化されることを示しています。したがって、スケールスペースを生成する主な方法は拡散方程式によるものであり、ガウスカーネルはこの特定の偏微分方程式の グリーン関数として生じると言えます。

与えられたデータセットのスケール空間表現を生成する動機は、現実世界の物体は異なるスケールで異なる構造で構成されているという基本的な観察から生じます。これは、点や線などの理想的な数学的実体とは対照的に、現実世界の物体は観察のスケールに応じて異なる方法で現れる可能性があることを意味します。たとえば、「木」の概念はメートルのスケールで適切ですが、葉や分子などの概念はより細かいスケールでより適切です。未知のシーンを分析するコンピュータービジョンシステムでは、画像データ内の興味深い構造を記述するのにどのスケールが適切であるかを事前に知る方法はありません。したがって、唯一の合理的なアプローチは、発生する可能性のある未知のスケールの変化を捉えることができるように、複数のスケールでの記述を考慮することです。極限まで追求すると、スケール空間表現はすべてのスケールでの表現を考慮します。^[9]

スケール空間概念のもう一つの動機は、現実世界のデータに対して物理的な測定を行うプロセスに由来する。測定プロセスから情報を抽出するには、データに非無限小サイズの演算子を適用する必要がある。コンピュータサイエンスや応用数学の多くの分野では、測定演算子のサイズは問題の理論的モデリングでは無視される。一方、スケール空間理論では、あらゆる測定や現実世界の測定に依存するその他の操作の不可欠な部分として、非無限小サイズの像演算子の必要性が明示的に組み込まれている。^[5]

スケールスペース理論と生物学的視覚には密接な関係があります。多くのスケールスペース操作は、哺乳類の網膜と視覚皮質の最初の段階で記録された受容野プロファイルと高い類似性を示しています。これらの点で、スケールスペースフレームワークは、初期視覚の理論的に十分に根拠のあるパラダイムと見なすことができ、さらにアルゴリズムと実験によって徹底的にテストされています。^{[4] [9]}

スケール空間内の任意のスケールで、スケール空間表現にローカル微分演算子を適用できます。

${\displaystyle L_{x^{m}y^{n}}(x,y;t)=\left(\partial _{x^{m}y^{n}}L\right)(x,y;t).}$

微分演算子とガウス平滑化演算子の間の交換法則により、このようなスケール空間微分は、元の画像をガウス微分演算子で畳み込むことによって同等に計算できます。このため、これらはガウス微分とも呼ばれます。

${\displaystyle L_{x^{m}y^{n}}(\cdot ,\cdot ;t)=\partial _{x^{m}y^{n}}g(\cdot ,\cdot ;\,t)*f(\cdot ,\cdot ).}$

スケール空間表現から導出される局所演算としてのガウス微分演算子の一意性は、スケール空間平滑化のためのガウスカーネルの一意性を導出するために使用されるのと同様の公理的導出によって得られる。^{[4] [22]}

これらのガウス微分演算子は、線形または非線形演算子によって、より多様なタイプの特徴検出器に組み合わせることができ、多くの場合、微分幾何学によって適切にモデル化できます。具体的には、回転や局所アフィン変換などの局所幾何学変換に対する不変性 (またはより適切には共分散) は、適切な変換クラスの下で微分不変量を考慮するか、ガウス微分演算子を、たとえば画像ドメイン内の優先方向から決定される局所的に決定される座標フレームに正規化するか、優先される局所アフィン変換を局所画像パッチに適用することによって取得できます (詳細については、 アフィン形状適応に関する記事を参照してください)。

ガウス微分演算子と微分不変量がこのように複数のスケールで基本的な特徴検出器として使用される場合、視覚処理のコミットされていない最初の段階は、多くの場合、視覚フロントエンドと呼ばれます。この全体的なフレームワークは、特徴検出、特徴分類、画像セグメンテーション、画像マッチング、動き推定、形状キューの計算、オブジェクト認識など、コンピュータービジョンのさまざまな問題に適用されています。特定の順序までのガウス微分演算子のセットは、多くの場合、Nジェットと呼ばれ、スケールスペースフレームワーク内の基本的な種類の特徴を構成します。

視覚操作をガウス微分演算子を用いて複数のスケールで計算された微分不変量で表現するという考え方に従って、勾配の大きさ が

${\displaystyle L_{v}={\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}}$

勾配方向の局所的最大値を想定する必要がある

${\displaystyle \nabla L=(L_{x},L_{y})^{T}.}$

微分幾何学を解くと、この微分エッジ検出器は2階微分不変量のゼロ交差から等価的に表現できること が示される^[4]。

${\displaystyle {\tilde {L}}_{v}^{2}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0}$

3階微分不変量に対して次の符号条件を満たす:

${\displaystyle {\tilde {L}}_{v}^{3}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}<0.}$

同様に、任意の固定スケールにおけるマルチスケールブロブ検出器^{[23] [9]は、}ラプラシアン演算子（ガウスのラプラシアンとも呼ばれる） の局所的最大値と局所的最小値から得ることができる。

${\displaystyle \nabla ^{2}L=L_{xx}+L_{yy}\,}$

またはヘッセ行列の行列式

${\displaystyle \operatorname {det} HL(x,y;t)=(L_{xx}L_{yy}-L_{xy}^{2}).}$

同様に、コーナー検出器とリッジおよび谷検出器は、ガウス導関数から定義されるマルチスケール微分不変量の局所的最大値、最小値、またはゼロ交差として表現できます。ただし、コーナーおよびリッジ検出演算子の代数式はやや複雑であるため、詳細については コーナー検出およびリッジ検出に関する記事を参照してください。

スケール空間演算は、特に画像マッチングやマルチスケール画像セグメンテーションなどのタスクにおいて、粗い方法から細かい方法を表現するためにも頻繁に使用されています。

これまで提示した理論は、複数のスケールで画像構造を表現するための根拠のあるフレームワークを説明しています。しかし、多くの場合、さらなる分析のために局所的に適切なスケールを選択する必要もあります。スケール選択の必要性は、2つの主な理由から生じます。(i) 現実世界の物体はサイズが異なる可能性があり、このサイズは視覚システムにとって不明である可能性があり、(ii) 物体とカメラの間の距離は変化する可能性があり、この距離情報も事前に不明である可能性があります。スケール空間表現の非常に有用な特性は、スケール正規化微分のスケール上の局所的最大値(または最小値)に基づいて自動ローカルスケール選択^{[9] [10] [ 23] [24] [25] [26] [27] [28]を実行することにより、画像}表現をスケールに対して不変にできることです。

${\displaystyle L_{\xi ^{m}\eta ^{n}}(x,y;t)=t^{(m+n)\gamma /2}L_{x^{m}y^{n}}(x,y;t)}$

ここで、は画像特徴の次元に関連するパラメータである。スケール正規化されたガウス微分演算子のこの代数式は、次式による 正規化された微分の導入から生まれたものである。${\displaystyle \gamma \in [0,1]}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \partial _{\xi }=t^{\gamma /2}\partial _{x}\quad }$そして${\displaystyle \quad \partial _{\eta }=t^{\gamma /2}\partial _{y}.}$

この原理に従って動作するスケール選択モジュールは、次のスケール共分散特性を満たすことが理論的に示されている。特定の種類の画像特徴について、特定のスケールの特定の画像で局所的最大値が想定される場合、スケール係数で画像を再スケーリングすると、再スケーリングされた画像内のスケール全体の局所的最大値がスケールレベルに変換される。^[23]${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s^{2}t_{0}}$

このガンマ正規化導関数のアプローチに従うと、ブロブ検出、コーナー検出、リッジ検出、エッジ検出、時空間関心点検出などのタスクに対して、さまざまな種類のスケール適応型およびスケール不変型の特徴検出器^{[9] [10] [23] [24] [25]} [ ^{29] [30] [27]}を表現できることが示されます(これらのスケール不変型の特徴検出器がどのように定式化されるかについての詳細な説明については、これらのトピックに関する特定の記事を参照してください)。さらに、自動スケール選択から取得されたスケールレベルは、アフィン不変型関心点^{[32] [33]}を取得するための後続のアフィン形状適応^{[31]の関心領域を決定したり、ローカルにスケール適応された}N ジェットなどの関連する画像記述子を計算するためのスケールレベルを決定したりするために使用できます。

最近の研究では、正規化ラプラシアン演算子（スケール不変特徴変換 [34] も参照）またはヘッセ行列式（ ^SURFも参照）のスケール空間極値から得られるスケール適応型関心点でのローカル画像記述子（Nジェットまたは勾配方向のローカルヒストグラム）を計算することによって、スケール不変オブジェクト認識などのより複雑な操作もこの方法で実行できることが示されています。^[35]ガウス微分演算子またはその近似値の観点から、受容野応答^{[19] [37] [38] [39]}に基づくオブジェクト認識アプローチのより一般的な概要については、スケール不変特徴変換に関するScholarpediaの記事^[36]も参照してください。

画像ピラミッドは、スケール空間が空間とスケールの両方でサンプリングされる離散表現です。スケール不変性を保つために、スケール係数は指数的に、たとえば 2 の整数乗または√ 2としてサンプリングする必要があります。適切に構築されると、空間とスケールのサンプルレートの比率は一定に保たれ、インパルス応答はピラミッドのすべてのレベルで同一になります。^{[40] [41] [42] [43]} スケール不変画像ピラミッドを計算するための高速な O(N) アルゴリズムがあり、画像または信号を繰り返し平滑化してからサブサンプリングします。ピラミッドサンプル間のスケール空間の値は、スケール内およびスケール間の補間を使用して簡単に推定でき、解像度未満の精度でスケールと位置を推定できます。^[43]

スケール空間表現では、連続的なスケールパラメータの存在により、スケールをまたいでゼロ交差を追跡することが可能となり、いわゆる深層構造につながる。微分不変量のゼロ交差として定義される特徴については、暗黙の関数定理がスケールをまたぐ軌跡を直接定義し、^{[4] [44]}分岐が発生するスケールでは、局所的な動作を特異点理論によってモデル化することができる。^{[4] [44] [45] [46] [47]}

線形スケール空間理論の拡張は、より特定の目的に特化した非線形スケール空間概念の定式化に関係している。^{[48] [49]}これらの非線形スケール空間は、多くの場合、スケール空間概念の同等の拡散定式化から始まり、その後非線形に拡張される。さまざまな特定の要件に動機付けられて、多数の進化方程式がこのように定式化されてきた（詳細については、上記の参考文献を参照）。ただし、これらの非線形スケール空間のすべてが、線形ガウススケール空間概念と同様の「優れた」理論的要件を満たすわけではない。そのため、予期しないアーティファクトが発生する場合があり、「スケール空間」という用語を、1 パラメータの画像ファミリの任意のタイプに使用しないように注意する必要がある。

等方性ガウススケール空間の一次拡張は、アフィン（ガウス）スケール空間によって提供されます。^[4]この拡張の動機の 1 つは、透視カメラモデルで表示される現実世界のオブジェクトの画像記述子 subject を計算するという一般的なニーズに由来しています。このような非線形変形を局所的に処理するには、局所的なアフィン変形に対する部分的な不変性（より正確には共分散）は、形状が局所的な画像構造によって決定されるアフィンガウスカーネルを考慮することによって実現できます。^{[31]理論とアルゴリズムについては、}アフィン形状適応に関する記事を参照してください。実際、このアフィンスケール空間は、線形（等方性）拡散方程式の非等方性拡張からも表現できますが、それでも線形偏微分方程式のクラスに属します。

ガウススケールスペースモデルには、アフィンスケールスペースや時空間スケールスペースへのより一般的な拡張が存在する。^{[4] [31] [18] [19] [50]}元のスケールスペース理論が扱うように設計されたスケール上の変動に加えて、この一般化されたスケールスペース理論^{[19]は、画像形成プロセスにおける幾何学的変換によって引き起こされる他のタイプの変動も含み、これには、局所的なアフィン変換で近似される視線方向の変動や、局所的な}ガリレオ変換で近似される世界内の物体と観察者との間の相対的な動きが含まれる。この一般化されたスケールスペース理論は、生物学的視覚における細胞記録によって測定される受容野プロファイルと質的によく一致する受容野プロファイルについての予測につながる。^{[51] [52] [50] [53]}

スケール空間理論とウェーブレット理論の間には強い関連がありますが、これら 2 つのマルチスケール表現の概念は、多少異なる前提から開発されています。ピラミッドやその他のさまざまなカーネルなど、真のスケール空間記述と同じ要件を活用したり要求したりしない他のマルチスケールアプローチに関する研究もあります。

スケール空間表現と生物学的視覚および聴覚の間には興味深い関係がある。生物学的視覚の神経生理学的研究により、哺乳類の網膜と視覚皮質には受容野プロファイルがあり、線形ガウス微分演算子によってうまくモデル化できることが示された。場合によっては、非等方性アフィンスケール空間モデル、時空間スケール空間モデル、および/またはそのような線形演算子の非線形組み合わせによって補完されることもある。^{[18] [51] [52] [50] [53] [54] [55] [56] [57]}

生物学的聴覚に関しては、下丘と一次聴覚皮質に受容野プロファイルがあり、これはスペクトル時間受容野によってうまくモデル化でき、これは対数周波数のガウス微分と、時間スケール空間カーネルであるウィンドウ関数による時間のウィンドウ付きフーリエ変換によってうまくモデル化できます。^{[58] [59]}

古典的なコンピュータビジョンの分野では、スケールスペース理論が初期視覚の理論的枠組みとして確立されており、ガウス微分は受容野の第 1 層の標準モデルを構成しています。ディープラーニングの導入により、ガウス微分またはガウスカーネルをディープネットワークの受容野の一般的な基礎として使用する研究も行われています。^{[60] [61] [62] [63] [64]}スケーリング変換におけるガウス微分とガウスカーネルの変換特性を使用すると、ディープネットワークのスケール共分散/等分散およびスケール不変性を取得して、理論的に根拠のある方法でさまざまなスケールの画像構造を処理することができます。^{[62] [63]}複数のスケールチャネルと組み合わせた学習フィルターによってスケール共分散/等分散およびスケール不変性を取得するアプローチも開発されています。^{[65] [66] [67] [68] [69] [70]}具体的には、スケール共分散/等分散とスケール不変性の概念を使用することで、トレーニングデータが及ばないスケールでも深層ネットワークを堅牢に動作させることが可能になり、スケールの一般化が可能になります。^{[62] [63] [67] [69]}

記録済みの時間信号やビデオを処理する場合、データは記録済みであらゆる方向から利用できるため、ガウスカーネルは時間領域全体の微細構造を平滑化および抑制するためにも使用できます。ただし、時間信号やビデオをリアルタイムの状況で処理する場合、ガウスカーネルは将来のデータにアクセスするため、時間平滑化には使用できません。リアルタイムの状況で時間平滑化を行う場合は、代わりに時間因果限界カーネルと呼ばれる時間カーネルを使用できます。^[71]このカーネルは、時間因果状況でも、ガウスカーネルが非因果の場合に従うのと同様の特性（スケールの増加と時間スケール共分散に対する新しい構造の非生成）を備えています。時間因果限界カーネルは、時間スケール共分散を得るために特別に選択された時間定数を持つ、カスケードで結合された無限の数の切断指数カーネルとの畳み込みに対応します。離散データの場合、このカーネルは、カスケードで結合された少数の一次再帰フィルタによって数値的によく近似できることがよくあります。詳細については ^{[71]を参照してください。}

時間スケールを時間因果的に扱うための以前のアプローチとしては、対数変換された時間軸上でガウス平滑化を行うことが挙げられるが、時間因果限界カーネルのようなメモリ効率の良い時間再帰実装は知られていない。^[72]

スケール空間スムージングを実際に実装する場合、連続または離散ガウススムージング、フーリエ領域での実装、ガウスを近似する二項フィルターに基づくピラミッド、または再帰フィルターの使用など、さまざまなアプローチを取ることができます。これに関する詳細は、スケール空間実装に関する別の記事で説明されています。

• ガウス分布の差
• ガウス関数
• ミップマッピング

• Lindeberg, Tony (2008)。「スケールスペース」。Wiley コンピュータサイエンスおよびエンジニアリング百科事典。pp. 2495–2504。doi : 10.1002 /9780470050118.ecse609。ISBN 978-0-471-38393-2。
• Lindeberg , Tony (1994 年 1月)。「スケール空間理論: 異なるスケールで構造を分析するための基本ツール」。応用統計ジャーナル。21 (1–2): 225–270。Bibcode :1994JApSt..21..225L。doi : 10.1080/757582976。
• Lindeberg, Tony: スケールスペース: 複数のスケールで画像構造を処理するためのフレームワーク、Proc. CERN School of Computing、96(8): 27-38、1996。
• Romeny、Bart ter Haar: スケールスペース理論入門: マルチスケール幾何学的画像解析、チュートリアル VBC '96、ドイツ、ハンブルク、第 4 回バイオメディカル コンピューティングにおける視覚化に関する国際会議。
• フロラック、LMJ;テル・ハール・ロメニー、BM;ケンダーリンク、JJ;マサチューセッツ州ヴィエルジェヴァー（1994 年 12 月）。 「線形スケール空間」。数学的イメージングとビジョンのジャーナル。4 (4): 325–351。Bibcode :1994JMIV....4..325F。土井：10.1007/BF01262401。</ref>
• Lindeberg, Tony (1999)。「自動スケール選択の原理」。Jähne, Bernd、Haussecker, Horst、Geissler, Peter (編)。コンピュータビジョンとアプリケーションのハンドブック: 信号処理とパターン認識。Academic Press。pp. 239–274。ISBN 978-0-12-379772-8。
• Lindeberg, Tony: 「スケール空間理論」 『数学百科事典』 ( Michiel Hazewinkel編) Kluwer、1997 年。
• Web アーカイブ バックアップ: マサチューセッツ大学でのスケール空間に関する講義 (pdf)

• Molecular Expressions ウェブサイトの Powers of ten インタラクティブ Java チュートリアル
• 大澤 泉. 「視覚ニューロンの空間-時間受容野」. 大阪大学. 2006年2月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• pyscsp : GitHub と PyPi の Python 用スケール スペース ツールボックス
• pytempscsp : GitHub と PyPi の Python 用 Temporal Scale-Space ツールボックス
• スケールスペースアプローチを使用した 1D データのピーク検出 BSD ライセンスの MATLAB コード