スケール空間公理

画像処理とコンピューター ビジョンでは、スケール スペース フレームワークを使用して、画像を段階的に滑らかになる一連の画像として表現できます。このフレームワークは非常に一般的で、さまざまなスケール スペース表現が存在します。特定の種類のスケール スペース表現を選択するための一般的なアプローチは、一連のスケール スペース公理を確立することです。スケール スペース公理は、目的のスケール スペース表現の基本特性を記述し、多くの場合、実際のアプリケーションで表現が有用になるように選択されます。いったん確立されると、公理によって、可能なスケール スペース表現が、通常は少数の自由パラメーターのみを持つ、より小さなクラスに絞り込まれます。

以下で説明する一連の標準的なスケール空間公理は、画像処理とコンピューター ビジョンで使用される最も一般的なタイプのスケール空間である線形ガウス スケール空間につながります。

ガウスカーネルによる平滑化によって得られた信号の線形スケール空間表現は、それをマルチスケール表現の特殊な形式にする いくつかの特性「スケール空間公理」を満たします。${\displaystyle L(x,y,t)=(T_{t}f)(x,y)=g(x,y,t)*f(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle g(x,y,t)}$

直線性

${\displaystyle T_{t}(af+bh)=aT_{t}f+bT_{t}h}$

ここで、およびは信号であり、およびは定数である。${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

シフト不変性

${\displaystyle T_{t}S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f=S_{(\Delta x,\Delta _{y})}T_{t}f}$

ここで、はシフト（変換）演算子を表す。${\displaystyle S_{(\Delta x,\Delta _{y})}}$${\displaystyle (S_{(\デルタ x,\デルタ _{y})}f)(x,y)=f(x-\デルタ x,y-\デルタ y)}$

半グループ構造

${\displaystyle g(x,y,t_{1})*g(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{1}+t_{2})}$

関連するカスケード平滑化特性を有する

${\displaystyle L(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{2}-t_{1})*L(x,y,t_{1})}$

無限小生成器の存在 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)=(AL)(x,y,t)}$

1次元における局所的極値（ゼロ交差）の非生成、

任意の次元における局所極値の非強調

${\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)\leq 0}$空間的最大値と空間的最小値において、${\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)\geq 0}$

回転対称性

${\displaystyle g(x,y,t)=h(x^{2}+y^{2},t)}$ある関数については、${\displaystyle h}$

スケール不変性

${\displaystyle {\hat {g}}(\omega _{x},\omega _{y},t)={\hat {h}}({\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}},{\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}})}$

いくつかの関数およびに対して、はのフーリエ変換を表す。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle {\hat {h}}}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle g}$

陽性

${\displaystyle g(x,y,t)\geq 0}$、

正規化

${\displaystyle \int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{\infty }g(x,y,t)\,dx\,dy=1}$。

実際、これらのスケール空間公理のサブセットのいくつかの異なる組み合わせを考えると、ガウスカーネルが唯一の選択肢であることが示されます。 ^{[1] [2] [3] [4] [ 5 ] [6] [7 ] [8] [9] [10] [11]} ほとんどの公理（線形性、シフト不変性、半群）は、スケーリングがシフト不変線形演算子の半群であることに対応し、これはいくつかの族の積分変換によって満たされますが、1次元信号に対する「局所的極値の非生成」^[4]または高次元信号に対する「局所的極値の非強調」^{[4] [7] [10]}は、スケール空間を平滑化（正式には放物型偏微分方程式）に関連付ける重要な公理であり、したがってガウスを選択します。

ガウスカーネルは、直交座標でも分離可能です。つまり、 です。ただし、分離可能性は、実装の問題に関連する座標依存の特性であるため、スケール空間公理としてはカウントされません。さらに、分離可能性の要件と回転対称性自体の組み合わせにより、スムージングカーネルはガウスになる必要があります。 ${\displaystyle g(x,y,t)=g(x,t)\,g(y,t)}$

ガウススケール空間理論は、より一般的なアフィンスケール空間や時空間スケール空間に一般化されている。^{[10] [11]}元のスケール空間理論が扱うように設計されたスケールの変動性に加えて、この一般化されたスケール空間理論は、ローカルアフィン変換で近似される視覚の変化によって引き起こされる画像の変形や、ローカルガリレイ変換で近似される世界内の物体と観察者との間の相対的な動きなど、他の種類の変動性も含んでいる。この理論では、回転対称性は必要なスケール空間公理として課されず、代わりにアフィンおよび/またはガリレイ共分散の要件に置き換えられている。一般化されたスケール空間理論は、生物視覚における細胞記録によって測定された受容野プロファイルと質的によく一致する受容野プロファイルについての予測につながる。^{[12] [13] [14]}

コンピューター ビジョン、画像処理、信号処理の文献には、スケール空間記述と同じ要件を利用しないか、同じ要件を必要としない、ウェーブレットやその他のさまざまなカーネルを使用する他の多くのマルチスケール アプローチがあります。関連するマルチスケール アプローチに関する記事を参照してください。スケール空間プロパティを離散領域に持ち込む離散スケール空間の概念に関する研究もあります。例と参考文献については、スケール空間の実装に関する記事を参照してください。

• スケールスペース実装