マルチスケールモデリング

マルチスケールモデリング またはマルチスケール数学は、時間および/または空間の複数のスケールで重要な特徴を持つ問題を解決する分野です。重要な問題には、流体^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}、固体^{[ 2 ] [ 4} ] 、ポリマー^{[ 5 ] [ 6 ]}、タンパク質^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} 、核酸^{[ 11 ]}、およびさまざまな物理的および化学的現象（吸着、化学反応、拡散など^）のマルチスケールモデリングが含まれます。^{[ 9 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}統計モデリング技術は、スケール間の情報を橋渡しし、不確実性を定量化するために、マルチスケールモデリングフレームワークにますます統合されています。これらのアプローチにより、研究者は確率的方法を使用して原子レベル、メソスケール、および連続体のデータを組み合わせることができ、複雑なシステムの予測精度が向上します。^{[ 15 ]}

こうした問題の一例として、非圧縮性流体の流れに関するナビエ・ストークス方程式が挙げられる。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\rho _{0}(\partial _{t}\mathbf {u} +(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} )=\nabla \cdot \tau ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\end{array}}}$

さまざまな用途において、応力テンソル$\displaystyle \tau }$勾配の線形関数として与えられる${\displaystyle \nabla u}$.そのような選択は$\displaystyle \tau }$この手法は、幅広い流体の動態を記述するのに十分であることが証明されている。しかし、ポリマーなどのより複雑な流体への適用には疑問が残る。そのような場合、完全なミクロスケールシミュレーションの計算コストを必要とせずに応力テンソルを抽出できるように、マルチスケールモデリングを用いてシステムを正確にモデル化する必要があるかもしれない。

Horstemeyer 2009、^{[ 16 ]} 2012 ^{[ 17 ]}は、マルチスケール材料モデリングに関連する固体材料のさまざまな分野（数学、物理学、材料科学）の歴史的レビューを発表しました。

前述のDOEのマルチスケールモデリングの取り組みは、階層的な性質を持っていた。最初の同時マルチスケールモデルは、マイケル・オルティス（カリフォルニア工科大学）がサンディア国立研究所のマイク・バスケスによって開発された分子動力学コードDynamoを、学生たちと共に初めて有限要素コードに組み込んだときに実現した。^{[ 18 ]}マーティン・カルプラス、マイケル・レビット、アリエ・ワルシェルは、古典力学と量子力学の両方の理論を用いて大規模で複雑な化学システムと反応をモデル化するマルチスケールモデル手法の開発により、2013年にノーベル化学賞を受賞した。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

物理学および化学において、マルチスケールモデリングは、異なるレベルの情報またはモデルを使用して、あるレベルでの材料特性またはシステム挙動を計算することを目的としています。各レベルでは、システムの記述に特定のアプローチが使用されます。通常、以下のレベルが区別されます。量子力学モデルレベル（電子に関する情報が含まれる）、分子動力学モデルレベル（個々の原子に関する情報が含まれる）、粗視化モデルレベル（原子および/または原子群に関する情報が含まれる）、メソスケールまたはナノレベル（大きな原子群および/または分子の位置に関する情報が含まれる）、連続体モデルレベル、デバイスモデルレベル。各レベルは、特定の長さと時間のウィンドウにわたる現象を扱います。マルチスケールモデリングは、プロセス・構造・特性の関係に関する知識に基づいて材料特性またはシステム挙動を予測できるため、統合計算材料工学において特に重要です。

オペレーションズ・リサーチにおいて、マルチスケール・モデリングは、組織的、時間的、空間的スケールにわたるマルチスケール現象から生じる意思決定者の課題に対処するものです。この理論は意思決定理論とマルチスケール数学を融合させたもので、マルチスケール意思決定と呼ばれています。マルチスケール意思決定は、物理システムと複雑な人工システムとの間の類似性に基づいています。

気象学において、マルチスケールモデリングとは、私たちが経験する天候を生み出す、異なる空間的・時間的スケールの気象システム間の相互作用をモデル化することです。最も困難な課題は、モデルがモデルグリッドサイズの限界を超えて見ることができないため、気象システムがどのように相互作用するかをモデル化することです。言い換えれば、グリッドサイズ（非常に小さい～500  m）で地球全体のあらゆる雲構造を観測できるモデルは、計算コストが非常に高い。一方、計算上実現可能な全球気候モデル（GCM）は、グリッドサイズが約 高度100kmでは、より小さな雲系を見ることはできません。そのため、モデルが計算上実行可能であり、同時に多くの情報を失わないように、合理的な推測を行うという、パラメーター化と呼ばれるプロセスを用いて、バランスの取れた点を見つける必要があります。

数多くの具体的な応用例に加え、マルチスケールモデリング問題の正確かつ効率的な解決手法に関する研究分野も存在する。数学的およびアルゴリズム的開発の主な分野は以下のとおりである。

• 分析モデリング
• 中心多様体とスロー多様体理論
• 連続体モデリング
• 離散モデリング
• ネットワークベースのモデリング
• 統計モデリング

• 計算力学
• 方程式を用いないモデリング
• 統合計算材料工学
• 多段階モデル
• マルチフィジックス
• 多重解像度解析
• 空間マッピング

• Hosseini, SA; Shah, N (2009). "チップサイズ最適化のための水熱バイオマス前処理のマルチスケールモデリング". Bioresource Technology . 100 (9): 2621–8 . Bibcode : 2009BiTec.100.2621H . doi : 10.1016/j.biortech.2008.11.030 . PMID 19136256 . 
• Tao, Wei-Kuo; Chern, Jiun-Dar; Atlas, Robert; Randall, David; Khairoutdinov, Marat; Li, Jui-Lin; Waliser, Duane E.; Hou, Arthur; et  al. (2009). "マルチスケールモデリングシステム：開発、応用、および重要な問題". Bulletin of the American Meteorological Society . 90 (4): 515–534 . Bibcode : 2009BAMS...90..515T . doi : 10.1175 /2008BAMS2542.1 . hdl : 2060/20080039624 .

• ミシシッピ州立大学 ICME サイバーインフラストラクチャ
• 流れのマルチスケールモデリング
• ドイツ、フライブルクにあるフラウンホーファー高速動力学研究所（エルンスト・マッハ研究所、EMI）のマルティン・シュタインハウザー博士の研究グループにおける、材料のマルチスケールモデリング（MMM-Tools）プロジェクト。シュタインハウザー博士は2013年よりスイスのバーゼル大学に所属している。
• マルチスケールモデリンググループ：レーゲンスブルク大学物理・理論化学研究所、ドイツ、レーゲンスブルク
• マルチスケール材料モデリング：第4回国際会議、米国フロリダ州タラハシー
• タンパク質構造予測およびタンパク質フォールディングシミュレーションのためのマルチスケールモデリングツール、ポーランド、ワルシャワ
• 材料工学におけるマルチスケールモデリング：定量的マイクロメカニカルモデルの構築
• 高性能コンピュータアーキテクチャにおけるマルチスケール材料モデリング、MMM@HPCプロジェクト
• 材料モデリング：連続体、原子論的、マルチスケール技術（EB Tadmor、RE Miller著、ケンブリッジ大学出版局、2011年）
• 計算マルチフィジックス入門II：理論的背景パートI ハーバード大学ビデオシリーズ
• SIAMマルチスケールモデリングおよびシミュレーションジャーナル
• マルチスケール計算工学に関する国際ジャーナル
• エネルギー省主催 マルチスケール数学と高性能コンピューティングに関するサマースクール
• 生物学および環境科学のためのマルチスケール概念モデル図