マルチスケールアプローチ

ガウス平滑化によって得られた信号のスケール空間表現は、いくつかの特殊な特性、スケール空間公理を満たしており、これにより、信号のスケール空間表現は特殊な形式のマルチスケール表現となります。ただし、コンピューター ビジョン、画像処理、信号処理の分野、特にウェーブレットの概念には、他の種類の「マルチスケール アプローチ」もあります。この記事の目的は、これらのアプローチのいくつかについて説明することです。

1次元信号の場合、畳み込み演算によって新しい局所極値やゼロ交差が作成されないことを保証する連続カーネルと離散カーネルに関する非常によく発達した理論が存在します。^[1]連続信号の場合、すべてのスケール空間カーネルは次の基本平滑化カーネルのセットに分解できます。

• ガウスカーネル ：ここで、${\displaystyle g(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}\exp({-x^{2}/2t})}$${\displaystyle t>0}$
• 切り捨て指数カーネル（ s平面に1つの実極を持つフィルタ）:

${\displaystyle h(x)=\exp({-ax})}$0の場合、それ以外の場合は${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle h(x)=\exp({bx})}$かつ 0 の場合、それ以外の場合は、${\displaystyle x\leq 0}$${\displaystyle b>0}$

• 翻訳、
• 再スケーリング。

離散信号の場合、簡単な変換と再スケーリングを除けば、任意の離散スケール空間カーネルを次の基本操作に分解できます。

• 離散ガウスカーネル

${\displaystyle T(n,t)=I_{n}(\alpha t)}$ここで、は整数次修正ベッセル関数であり、${\displaystyle \alpha ,t>0}$${\displaystyle I_{n}}$

• 形式の線形平滑化に対応する一般化二項カーネル

${\displaystyle f_{out}(x)=pf_{in}(x)+qf_{in}(x-1)}$どこ${\displaystyle p,q>0}$

${\displaystyle f_{out}(x)=pf_{in}(x)+qf_{in}(x+1)}$どこ、${\displaystyle p,q>0}$

• 一次再帰フィルタは、次の形式の線形平滑化に対応する。

${\displaystyle f_{out}(x)=f_{in}(x)+\alpha f_{out}(x-1)}$どこ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle f_{out}(x)=f_{in}(x)+\beta f_{out}(x+1)}$どこ、${\displaystyle \beta >0}$

• 片側ポアソンカーネル

${\displaystyle p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{n}}{n!}}}$どこ​${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle p(n,t)=e^{-t}{\frac {t^{-n}}{(-n)!}}}$ここで。${\displaystyle n\leq 0}$${\displaystyle t\geq 0}$

この分類から、連続した半群構造が必要であることは明らかです。連続スケールパラメータを持つスケール空間カーネルには、連続信号のスケール空間を形成するガウスカーネル、離散信号のスケール空間を形成する離散ガウスカーネル、離散時間にわたって時間スケール空間を形成する時間因果ポアソンカーネルの 3 つのクラスしかありません。一方、連続した半群構造を犠牲にする場合は、より多くのオプションがあります。

離散信号の場合、一般化二項カーネルの使用は、ピラミッドの平滑化操作を定義するための正式な基礎を提供します。時間データの場合、片側切断指数カーネルと一次再帰フィルタは、効率的な数値実装を可能にし、未来にアクセスすることなく時間の経過に伴う因果関係を尊重する時間因果スケールスペースを定義する方法を提供します ^{[2] [3]}。一次再帰フィルタは、弱い意味でスケールスペースプロパティの一部を保持するガウスカーネルの再帰近似を定義するためのフレームワークも提供します。^{[4] [5]}

• スケールスペース
• スケールスペース実装
• スケール空間セグメンテーション