基準構成から現在の構成へのボディの変換
変形 細い直線ロッドが閉じたループに変形します。ロッドの長さは変形中にほとんど変化しません。これは、ひずみが小さいことを示しています。この特定の曲げの場合、ロッド内の材料要素の剛体移動と回転に関連する変位は、ひずみに関連する変位よりもはるかに大きくなります。
SI基本単位 では メートル 寸法
ら
{\displaystyle {\mathsf {L}}}
物理学 と 連続体力学 において 、 変形と は物体の 形状 や大きさの変化のことである。変形は 長さ の 次元を持ち、 SI単位系 は メートル （m）である 。変形は、非 剛体 における粒子の残留 変位 として定量化され、物体の平均 並進運動 と 回転運動 （ 剛体変換）は除き、 初期 配置から 最終 配置まで変化する 。 [1] 配置 とは、物体のすべての粒子の 位置 を含む集合である 。
変形は、 外部からの荷重 、 [2] 固有の活動（ 筋肉の収縮 など）、 体積力（ 重力 や 電磁力 など ）、温度、水分含有量、化学反応などの変化
によって発生することがあります。
連続体 では 、 加えられた 力 または物体の状態の何らかの変化により、 応力 場から 変形場が生じます。応力と ひずみ（相対変形）の関係は、 構成方程式 （例えば、 線形弾性 材料の フックの法則） によって表されます 。
応力場が除去された後に存在しなくなる変形は、 弾性変形 と呼ばれます。この場合、連続体は完全に元の構成に戻ります。一方、不可逆な変形が残る場合があり、これは応力が除去された後でも存在します。不可逆な変形の 1 つのタイプは 塑性変形 で、これは応力が弾性限界 または 降伏応力 と呼ばれる特定のしきい値に達した後に物質本体で発生し 、 原子レベルでの 滑り または 転位メカニズムの結果です。もう 1 つのタイプの不可逆な変形は 粘性変形で、これは 粘弾性 変形の不可逆な部分です 。弾性変形の場合、ひずみと変形応力を結び付ける応答関数は、 材料の
コンプライアンス テンソルです。
変形とは、連続体の測定特性の変化であり、最初の配置で描かれた曲線が、最終配置の曲線に変位したときに長さが変化することを意味します。どの曲線も長さが変化しない場合は、 剛体の 変位が発生したとされます。
連続体の参照構成または初期の幾何学的状態を特定しておくと便利です。この参照構成は、連続体が実際に占める構成である必要はありません。多くの場合、 t = 0 での構成が参照構成 κ 0 ( B )と見なされます。現在の時刻 t での構成が 現在の構成 です 。
変形解析では、基準構成は 変形されていない構成 として識別され、現在の構成は 変形された構成 として識別されます。また、変形を解析する際には時間は考慮されないため、変形されていない構成と変形された構成間の構成の順序は重要ではありません。
基準座標系を基準とした基準配置の粒子の 位置ベクトル X の成分 X i は、物質座標または基準座標 と呼ばれます。一方、基準の空間座標系を基準とした変形配置の粒子の 位置ベクトル xの成分 x i は、空間座標 と呼ばれます。
連続体の変形を解析する方法は 2 つあります。1 つは物質座標または参照座標で記述するもので、 物質記述またはラグランジュ記述と呼ばれます。もう 1 つは空間座標で変形を記述するもので 、空間記述またはオイラー記述 と呼ばれます 。
連続体の変形中には、次の意味で連続性が存在します。
ある瞬間に閉曲線を形成する質点は、その後のどの時点においても常に閉曲線を形成します。 ある瞬間に閉じた面を形成する物質点は、その後のどの時点においても常に閉じた面を形成し、閉じた面内の物質は常にその内部に留まります。
アフィン 変形は、 アフィン変換 によって完全に記述できる変形です 。このような変換は、 線形変換（回転、せん断、伸張、圧縮など）と剛体の平行移動で構成されます。アフィン変形は、 同次変形 とも呼ばれます 。 [3]
したがって、アフィン変形は
、 x が 変形された構成
における 点の位置、 X が 参照構成における位置、 t が時間的なパラメータ、 F が線形変換器、 c が 変換である形式を持ちます。行列形式では、成分は正規直交基底を基準とします。
x
（
バツ
、 t ） =
ふ
（ t ） ⋅
バツ
+
c
（ t ）
{\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}
[
x
1
（
バツ
1
、
バツ
2
、
バツ
3
、 t ）
x
2
（
バツ
1
、
バツ
2
、
バツ
3
、 t ）
x
3
（
バツ
1
、
バツ
2
、
バツ
3
、 t ）
]
=
[
ふ
11
（ t ）
ふ
12
（ t ）
ふ
13
（ t ）
ふ
21
（ t ）
ふ
22
（ t ）
ふ
23
（ t ）
ふ
31
（ t ）
ふ
32
（ t ）
ふ
33
（ t ）
]
[
バツ
1
バツ
2
バツ
3
]
+
[
c
1
（ t ）
c
2
（ t ）
c
3
（ t ）
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}
上記の変形は、 F = F ( X , t ) または c = c ( X , t ) の場合、 非アフィン または 不同次に なります。
剛体運動 剛体運動は、せん断、伸張、圧縮を伴わない特殊なアフィン変形です。変換行列 F は、 回転は許可しますが反射は 許可しないために、 適切な直交行列 です 。
剛体の運動は
次
のように記述できる
。行列形式では、
x
(
X
,
t
)
=
Q
(
t
)
⋅
X
+
c
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}
Q
⋅
Q
T
=
Q
T
⋅
Q
=
1
{\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}
[
x
1
(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
t
)
x
2
(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
t
)
x
3
(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
t
)
]
=
[
Q
11
(
t
)
Q
12
(
t
)
Q
13
(
t
)
Q
21
(
t
)
Q
22
(
t
)
Q
23
(
t
)
Q
31
(
t
)
Q
32
(
t
)
Q
33
(
t
)
]
[
X
1
X
2
X
3
]
+
[
c
1
(
t
)
c
2
(
t
)
c
3
(
t
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}
背景: 避難 図1. 連続体の運動。 連続体の構成が変化すると、 変位 が生じます。物体の変位には、剛体変位と変形の 2 つの要素があります。剛体変位は、物体の形状やサイズを変えずに、同時に平行移動と回転を行うことで生じます。変形とは、物体の形状やサイズが、初期または変形前の構成 κ 0 ( B ) から現在のまたは変形後の構成 κ t ( B ) に変化することを意味します(図 1)。
連続体の変位後に粒子間の相対変位がある場合、変形が発生しています。一方、連続体の変位後に現在の構成の粒子間の相対変位がゼロである場合、変形はなく、剛体変位が発生したと言われます。
変形されていない構成と変形された構成の粒子 P の位置を結ぶベクトルは 、ラグランジュ記述では 変位ベクトル u ( X 、 t ) = u i e i と呼ばれ、オイラー記述ではU ( x 、 t ) = U J E J と呼ばれます。
変位 場は 、物体内のすべての粒子のすべての変位ベクトルのベクトル場であり、変形した構成と変形していない構成を関連付けます。変位場を使用して連続体の変形または運動を解析すると便利です。一般に、変位場は、物質座標系では
次のように表されます。または、空間座標系では
次のように表されます。
ここで、 α Ji は 、単位ベクトルE J と e i を 持つ物質座標系と空間座標系の間の方向余弦です 。したがって
、 u i と U J
の関係は 次のように表されます。
u
(
X
,
t
)
=
b
(
X
,
t
)
+
x
(
X
,
t
)
−
X
or
u
i
=
α
i
J
b
J
+
x
i
−
α
i
J
X
J
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}
U
(
x
,
t
)
=
b
(
x
,
t
)
+
x
−
X
(
x
,
t
)
or
U
J
=
b
J
+
α
J
i
x
i
−
X
J
{\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}
E
J
⋅
e
i
=
α
J
i
=
α
i
J
{\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}
u
i
=
α
i
J
U
J
or
U
J
=
α
J
i
u
i
{\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}
それを知った
上で
e
i
=
α
i
J
E
J
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}
u
(
X
,
t
)
=
u
i
e
i
=
u
i
(
α
i
J
E
J
)
=
U
J
E
J
=
U
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}
変形されていない構成と変形された構成の座標系を重ね合わせるのがよく行われ、その結果 b = 0 となり、方向余弦は クロネッカーデルタ になります。
E
J
⋅
e
i
=
δ
J
i
=
δ
i
J
{\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}
したがって、
空間座標では次のように
表される。
u
(
X
,
t
)
=
x
(
X
,
t
)
−
X
or
u
i
=
x
i
−
δ
i
J
X
J
=
x
i
−
X
i
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}
U
(
x
,
t
)
=
x
−
X
(
x
,
t
)
or
U
J
=
δ
J
i
x
i
−
X
J
=
x
J
−
X
J
{\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}
変位勾配テンソル 変位ベクトルを材料座標に関して偏微分すると、 材料変位勾配テンソル ∇ X u が得られます。したがって、次の式が得られます。
または、
ここで F は変形勾配テンソル です 。
u
(
X
,
t
)
=
x
(
X
,
t
)
−
X
∇
X
u
=
∇
X
x
−
I
∇
X
u
=
F
−
I
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}}
u
i
=
x
i
−
δ
i
J
X
J
=
x
i
−
X
i
∂
u
i
∂
X
K
=
∂
x
i
∂
X
K
−
δ
i
K
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}}
同様に、変位ベクトルを空間座標に関して偏微分すると、 空間変位勾配テンソル ∇ x U が得られる。したがって
、
U
(
x
,
t
)
=
x
−
X
(
x
,
t
)
∇
x
U
=
I
−
∇
x
X
∇
x
U
=
I
−
F
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}}
U
J
=
δ
J
i
x
i
−
X
J
=
x
J
−
X
J
∂
U
J
∂
x
k
=
δ
J
k
−
∂
X
J
∂
x
k
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}}
例 均質変形（またはアフィン変形）は、材料の挙動を解明するのに役立ちます。興味深い均質変形には次のようなものがあります。
梁や繊維などの長い物体の線形変形または縦方向変形は、 伸び または 短縮 と呼ばれ、派生量は 相対伸び と 伸長率 です。
平面変形も、特に実験の文脈では興味深いものです。
体積変形は等方性 圧縮 による均一なスケーリングであり 、相対的な体積変形は 体積ひずみ と呼ばれます。
平面変形は 平面ひずみ とも呼ばれ、変形が基準構成の平面の 1 つに制限される変形です。変形が基底ベクトル e 1 、 e 2 で記述される平面に制限される場合、 変形勾配は
行列形式で次の
形式になります
。極 分解定理
から 、座標の変更までの変形勾配は、伸張と回転に分解できます。変形はすべて平面内で行われるため、 [3] と書くことができます。
ここで、 θ は回転角、 λ 1 、 λ 2 は主な伸張 です 。
F
=
F
11
e
1
⊗
e
1
+
F
12
e
1
⊗
e
2
+
F
21
e
2
⊗
e
1
+
F
22
e
2
⊗
e
2
+
e
3
⊗
e
3
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}}
F
=
[
F
11
F
12
0
F
21
F
22
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
F
=
R
⋅
U
=
[
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
0
0
0
1
]
[
λ
1
0
0
0
λ
2
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
変形が等容積（体積保存）の場合、 det( F ) = 1 となり、あるいは
、
F
11
F
22
−
F
12
F
21
=
1
{\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}
λ
1
λ
2
=
1
{\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}
単純せん断 単純せん断 変形 は、変形中に長さと方向が変化しない、与えられた基準方向を持つ線要素の集合が存在する等容積平面変形として定義されます。 [3]
e 1 が、変形中に線要素が変形しない固定基準方向である 場合、 λ 1 = 1 かつ F · e 1 = e 1 となる。したがって、
変形は等容積であるため、
定義する。
すると、単純せん断における変形勾配は
次のように表すことができる。
変形勾配は次の
よう
にも書ける
。
F
11
e
1
+
F
21
e
2
=
e
1
⟹
F
11
=
1
;
F
21
=
0
{\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0}
F
11
F
22
−
F
12
F
21
=
1
⟹
F
22
=
1
{\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1}
γ
:=
F
12
{\displaystyle \gamma :=F_{12}}
F
=
[
1
γ
0
0
1
0
0
0
1
]
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}
F
⋅
e
2
=
F
12
e
1
+
F
22
e
2
=
γ
e
1
+
e
2
⟹
F
⋅
(
e
2
⊗
e
2
)
=
γ
e
1
⊗
e
2
+
e
2
⊗
e
2
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}}
e
i
⊗
e
i
=
1
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}
F
=
1
+
γ
e
1
⊗
e
2
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}
参照
参考文献
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