球面収差

光学において、球面収差（SA ）は、球面を持つ要素を持つ光学系に見られる収差の一種である。この現象は、レンズや曲面ミラーによく見られる。これらの部品は、製造を容易にするために球形に作られていることが多いためである。球面の中心から外れて当たる光線は、中心近くに当たる光線よりも多くまたは少なく屈折または反射される。この偏差により、光学系によって生成される画像の品質が低下する。球面収差の影響は、11世紀にイブン・アル・ハイサムによって初めて特定され、彼の著作『キターブ・アル・マナーイル』で論じられた。^[1]

球面レンズは、光軸からの横方向の距離が球面の半径をレンズ材料の屈折率で割った値に等しい場合にのみ、 無収差点（つまり、球面収差がない点）を持ちます。

球面収差により、望遠鏡やその他の機器の焦点が理想的ではなくなります。球面形状は非球面形状よりも製造がはるかに簡単なので、これは重要な効果です。多くの場合、球面収差を補正するには、単一の非球面レンズを使用するよりも、複数の球面要素を使用する方が安価です。

「正」の球面収差は、レンズの外縁付近の光線が、理想的なレンズで予測されるよりも大きく曲がることを意味します。「負」の球面収差は、そのような光線が予測されるよりも小さく曲がることを意味します。

この効果は直径の 4 乗に比例し、焦点距離の 3 乗に反比例するため、焦点距離が短いレンズ、つまり「高速」レンズではさらに顕著になります。

レンズ システムでは、凸レンズと凹レンズの組み合わせを使用するか、非球面レンズまたは無収差レンズを使用することで、収差を最小限に抑えることができます。

収差補正機能を備えたレンズシステムは、通常、数値光線追跡法によって設計されます。単純な設計では、球面収差を最小限に抑えるパラメータを解析的に計算できる場合があります。たとえば、球面を持つ単一のレンズと、与えられた物体距離o、像距離i、屈折率nで構成される設計では、レンズの前面と背面の 曲率半径とを調整することで、球面収差を最小限に抑えることができます。${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$

${\displaystyle {\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}-R_{2}}}={\frac {2\left(n^{2}-1\right)}{n+2}}\left({\frac {i+o}{io}}\right)}$ここで、半径の符号はデカルトの符号規則に従います。

焦点距離が1.5m以下の球面鏡を使用する小型望遠鏡の場合、10倍、遠くの点光源（星など）からの光はすべて同じ点に焦点を合わせるわけではありません。特に、鏡の内側に当たる光は、外側に当たる光よりも鏡から遠くに焦点を合わせます。その結果、収差がない場合ほど鮮明に像を合わせることができません。球面収差のため、焦点比が1.5倍未満の望遠鏡では、10倍通常、非球面鏡または補正レンズを使用して作られます。

球面収差は、非球面レンズを作ることで解消できます。デカルトは、レンズの表面が適切に選択された直交楕円（中心対称軸の周りを回転）であれば、軸上の点からの光や軸の方向の無限遠からの光を完全に結像できることを示しました。このような設計により、遠くの光源からの光を収差なく集光できます。^[2]

2018年、メキシコ国立自治大学とメキシコのモンテレー工科高等教育大学の大学院生であるラファエル・G・ゴンザレス・アクーニャとヘクター・A・チャパロ・ロモは、球面収差を排除するレンズ面の閉じた公式を発見しました。 ^{[3] [4] [5]}彼らの方程式は、レンズの片面の形状を指定するために適用でき、もう一方の面は任意の形状になります。

球面収差による焦点スポットの直径を推定する方法の多くは、光線光学に基づいています。しかし、光線光学では、光が電磁波であることは考慮されていません。そのため、光の波動性から生じる干渉効果により、結果が間違っている可能性があります。

光線光学に基づく比較的単純な形式論は、薄いレンズにのみ当てはまるコディントン表記である。^[6]以下、nはレンズの屈折率、oは物体距離、iは像距離、hは最外光線がレンズに入る光軸からの距離、は最初のレンズ半径、は 2 番目のレンズ半径、f はレンズの焦点距離である。距離hは有効開口の半分として理解することができる。 ${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$

形状sと位置pのコディントン因子を使用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {R_{2}+R_{1}}{R_{2}-R_{1}}}\\[8pt]p&={\frac {io}{i+o}},\end{aligned}}}$

縦球面収差は次のように表される^[6]

${\displaystyle \mathrm {LSA} ={\frac {1}{8n(n-1)}}\cdot {\frac {h^{2}i^{2}}{f^{3}}}\left({\frac {n+2}{n-1}}s^{2}+2(2n+2)sp+(3n+2)(n-1)^{2}p^{2}+{\frac {n^{3}}{n-1}}\right)}$

焦点距離fが縦方向球面収差LSAよりも非常に大きい場合、焦点スポットの直径に対応する横方向球面収差TSAは次のように表される。

${\displaystyle \mathrm {TSA} ={\frac {h}{i}}\mathrm {LSA} }$

• アクロマートレンズ
• ハッブル宇宙望遠鏡
• マクストフ望遠鏡
• パラボラ反射鏡
• リッチー・クレティエン望遠鏡
• シュミット補正プレート
• ソフトフォーカス

• 球面収差 Archived 2012-07-23 at the Wayback Machine at vanwalree.com、PA van Walree、2007年1月28日閲覧。
• http://www.telescope-optics.net/spherical1.htm
• アクーニャ・ロモ方程式に関する英語以外の記事: スペイン語、ドイツ語、イタリア語、ロシア語