エアリーディスク

光学において、エアリーディスク（またはエアリーディスク）とエアリーパターンは、光の回折によって制限される円形の開口部を持つ完全なレンズが作り出すことができる最も焦点の合った 光のスポットを記述したものです。エアリーディスクは物理学、光学、天文学において重要です。

均一に照らされた円形の開口部から生じる回折パターンには、明るい中心領域があり、これをエアリー ディスクと呼びます。このディスクは、周囲の一連の同心円状のリングとともにエアリー パターンと呼ばれます。どちらもジョージ ビデル エアリーにちなんで名付けられました。ディスクとリングの現象はエアリー以前から知られていました。ジョン ハーシェルは、1828 年にメトロポリタン百科事典に掲載された光に関する記事で、高倍率の望遠鏡で見た明るい星の外観について説明しています。

...その星は（大気が穏やかで、温度が均一ななどの好ましい状況では）完全に円形で輪郭のはっきりした惑星の円盤として見え、その周囲には交互に暗くなったり明るくなったりする2つ、3つ、あるいはそれ以上のリングが並んでいます。注意深く観察すると、リングの境界がわずかに色づいているのがわかります。リングは中央の円盤の周りをほぼ等間隔で並んでいます.... ^[1]

エアリーはこの現象を説明する最初の完全な理論的研究を著した（1835年の著書「円形開口部を持つ物体ガラスの回折について」）。^[2]

数学的には、回折パターンは円形の開口部を照らす光の波長と開口部のサイズによって特徴付けられます。回折パターンの外観は、パターンを観察するために使用される目やその他の検出器の感度によっても特徴付けられます。

この概念の最も重要な応用は、カメラ、顕微鏡、望遠鏡です。回折により、レンズまたはミラーが光線を焦点に集めることができる最小の点は、エアリーディスクのサイズです。たとえ完璧なレンズを作ることができたとしても、そのようなレンズによって作成される画像の解像度には依然として限界があります。解像度がレンズの欠陥によって制限されるのではなく、回折によってのみ制限される光学システムは、回折限界があると言われています。

開口部から遠く離れた場所で、入射光の方向から測定された最初の最小値が発生する角度は、おおよそ次の式で与えられます。

$${\displaystyle \sin \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}}}$$

または、小さな角度の場合は、単に

$${\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{d}},}$$

ここで、はラジアン、は光の波長（メートル）、は開口部の直径（メートル）です。最大値の半分における全幅は次のように表されます。${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle {d}}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {FWHM} }=1.029{\frac {\lambda }{d}}.}$

エアリーはこの関係を次のように書いた。

$${\displaystyle s={\frac {2.76}{a}},}$$

ここで、は秒角で表した最初の極小点の角度、はインチで表​​した開口部の半径、光の波長は 0.000022 インチ (560 nm、可視波長の平均) と仮定しました。^[3]これは円形開口部の角度分解能 に等しいです。望遠鏡で見た星など、点光源である 2 つの物体をかろうじて分解するためのレイリー基準は、最初の物体のエアリー ディスクの中心が、2 番目の物体のエアリー ディスクの最初の極小点に一致するというものです。つまり、回折限界システムの角度分解能は同じ式で与えられます。 ${\displaystyle {s}}$${\displaystyle {a}}$

しかし、最初の極小値が発生する角度 (エアリーディスクの半径と呼ばれることもある) は波長と開口部のサイズのみに依存しますが、回折パターンの見え方は光源の強度 (明るさ) によって異なります。回折パターンを観察するために使用される検出器 (目、フィルム、デジタル) には検出の強度しきい値があるため、完全な回折パターンが明らかでない場合があります。天文学では、星の非常に拡大された画像でも外側のリングが明らかでないことがよくあります。リングがまったく明らかでない場合もあります。その場合、星の画像は完全な回折パターンではなく、ディスク (中心の最大値のみ) として表示されます。さらに、暗い星は明るい星よりも小さなディスクとして表示されます。これは、中心の最大値が検出しきい値に達する部分がより少ないためです。^[4] 理論上は、与えられた波長を持ち、与えられた開口部を通して見られるすべての星やその他の「点光源」は、上記の式で特徴付けられる同じエアリーディスク半径（および回折パターンのサイズも同じ）を持ち、強度のみが異なるが、実際には、より暗い光源はより小さなディスクとして現れ、より明るい光源はより大きなディスクとして現れる。^[5] これはエアリーの原著で次のように説明されている。^[6]

リングが連続して急速に減光することで、非常に明るい星では 2 つまたは 3 つのリングが見え、暗い星ではリングが見えないことが十分に説明されます。さまざまな星の中心点 (または疑似円盤) の直径の違いも十分に説明されます。したがって、中心光の半分以下の強度の光が目に見えない暗い星の疑似円盤の半径は [ s = 1.17/ a ] で決まりますが、中心光の 1/10 の強度の光が感じられる明るい星の疑似円盤の半径は [ s = 1.97/ a ] で決まります。

エアリーの研究のこの特徴にもかかわらず、標準的な教科書でさえ、エアリーディスクの半径は単に第一極小角として与えられることが多い。^[7] 実際には、第一極小角はエアリーディスクのサイズの制限値であり、明確な半径ではない。

カメラで撮影された 2 つの物体の角度が、カメラ検出器上のエアリー ディスクが重なり始めるほど小さい場合、物体は画像内で明確に分離できなくなり、ぼやけ始めます。2 つの物体は、最初のエアリー パターンの最大値が 2 番目のエアリー パターンの最初の最小値の上に重なったときにちょうど分離したと言われます(レイリー基準)。

したがって、2つの物体が著しくぼやける前に離れることのできる最小の角度は、上記のように表される。 $${\displaystyle \sin \theta =1.22\,{\frac {\lambda }{d}}.}$$

したがって、システムの詳細を解像する能力は、 λ/ dの比率によって制限されます。特定の波長に対する開口部が大きいほど、画像内で識別できる詳細が細かくなります。

これは、フィルム上の2つの物体の像の間隔、 レンズからフィルムまでの距離として表すこともできます 。レンズからフィルムまでの距離をレンズの 焦点距離とほぼ等しいとすると、レンズのF値になり ます。曇りの日によく使用される設定は、次のようになります。$${\displaystyle {\frac {x}{f}}=1.22\,{\frac {\lambda }{d}},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle x=1.22\,{\frac {\lambda \,f}{d}},}$$${\displaystyle {\frac {f}{d}}}$8倍（サニー16ルールを参照）。最も波長の短い可視光である紫の場合、波長 λ は約420ナノメートルです（ S錐体細胞の感度については錐体細胞を参照）。これにより、の値は約4μmになります。デジタルカメラでは、画像センサーのピクセルをこの値の半分（オブジェクトごとに1ピクセル、その間の各スペースに1ピクセル）よりも小さくしても、キャプチャされた画像の解像度は大幅に向上しません。ただし、オーバーサンプリングによって最終画像が改善され、ノイズが低減される可能性があります。 ${\displaystyle x}$

人間の目の最も明るい F値は約2.1で、^[8]直径約1μmの回折限界の点像分布関数に相当します。しかし、このF値では球面収差によって視力が制限されるのに対し、瞳孔径3mm（f/5.7）は人間の目の解像度に近似します。 ^{[9]人間の中心}窩における錐体細胞の最大密度は1平方ミリメートルあたり約17万個であり、^[10]人間の目の錐体細胞の間隔は約2.5μmで、f/5での点像分布関数の直径とほぼ同じです。

レンズによって焦点を絞られた、円全体にわたって均一な強度を持つ円形レーザー ビーム (フラット トップ ビーム) は、焦点にエアリー ディスク パターンを形成します。エアリー ディスクのサイズによって、焦点におけるレーザー強度が決まります。

一部の武器の照準器（例：FN FNC）では、銃身の端にある先端部（焦点を合わせ、標的に重ね合わせる）にピープサイト（後方の近くの照準器、つまり焦点が合っていない）を合わせる必要があります。ピープサイトを覗くと、ピンの上に照準器を合わせるのに役立つエアリーディスクがあることに気付くでしょう。^[11]

均一に照らされた円形の開口部からの光（または均一なフラットトップビームからの光）は、フラウンホーファー回折（遠距離場回折） により、開口部から遠く離れた場所でもエアリー回折パターンを示します。

遠距離場にあり、エアリーパターンを示すための条件は、開口部を照らす入射光が平面波であること（開口部全体で位相変化がない）、開口部の領域にわたって強度が一定であること、回折光が観測される開口部からの距離（スクリーン距離）が開口部のサイズに比べて大きいこと、開口部の半径が光の波長よりもそれほど大きくないことです。最後の 2 つの条件は、次のように正式に記述できます。${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle R>a^{2}/\lambda .}$

実際には、均一な照明の条件は、照明源を開口部から遠くに配置することで満たすことができます。遠距離場の条件が満たされない場合 (たとえば、開口部が大きい場合)、開口部のすぐ後にレンズを使用することで (またはレンズ自体が開口部を形成することで)、遠距離場エアリー回折パターンを開口部に非常に近いスクリーン上に得ることもできます。エアリー パターンは、無限遠ではなくレンズの焦点に形成されます。

したがって、レンズによって焦点を合わせられた均一な円形レーザー ビーム (フラットトップ ビーム) の焦点もエアリー パターンになります。

カメラや画像システムでは、遠くにある物体が対物レンズによってフィルムまたは検出器面上に画像化され、検出器で遠距離場回折パターンが観察されます。結果として得られる画像は、絞り開口部からの回折またはレンズの有限サイズによるエアリー回折パターンと理想画像の畳み込みです。これにより、上記のレンズ システムの有限解像度が実現されます。

エアリーパターンの強度は円形開口部のフラウンホーファー回折パターンに従い、円形開口部の フーリエ変換の二乗係数で表されます。

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(k\,a\sin \theta )}{k\,a\sin \theta }}\right]^{2}=I_{0}\left[{\frac {2J_{1}(x)}{x}}\right]^{2}}$$

ここで、はエアリーディスク中心のパターンの最大強度、は第 1 種の 1 次ベッセル関数、は波数、 は開口部の半径、 は観測角度、つまり円形開口部の軸と開口部中心と観測点を結ぶ線との間の角度です。ここで、qは観測点から光軸までの半径距離、R は開口部からの距離です。上記の式で与えられるエアリーディスクは、フラウンホーファー回折が適用される大きなRに対してのみ有効であることに注意してください。近接場における影の計算は、むしろフレネル回折を使用して処理する必要があります。 ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle k={2\pi }/{\lambda }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle x=ka\sin \theta ={\frac {2\pi a}{\lambda }}{\frac {q}{R}},}$

ただし、レンズを絞りに配置すると、正確なエアリー パターンが有限の距離で現れます。エアリー パターンは、上記の式で示されるレンズの焦点距離 (絞りに平行光が入射すると仮定) によって決まる距離で完全に焦点が合います。

のゼロは である。このことから、回折パターンの最初の暗環は または で発生することがわかる。 ${\displaystyle J_{1}(x)}$${\displaystyle x=ka\sin \theta \approx 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706\dots .}$${\displaystyle ka\sin {\theta }=3.8317\dots ,}$

$${\displaystyle \sin \theta \approx {\frac {3.83}{ka}}={\frac {3.83\lambda }{2\pi a}}=1.22{\frac {\lambda }{2a}}=1.22{\frac {\lambda }{d}}.}$$

レンズを使用して有限距離でエアリーパターンを焦点に合わせる場合、焦点面上の最初の暗環の半径は、開口数A （ f値と密接に関連 ） によってのみ次のように与えられます。${\displaystyle q_{1}}$ $${\displaystyle q_{1}=R\sin \theta _{1}\approx 1.22{R}{\frac {\lambda }{d}}=1.22{\frac {\lambda }{2A}}}$$

ここで、開口数A は、開口の半径d /2 を、エアリーパターンの中心から開口の端までの距離 R' で割った値に等しい。半径d /2 の開口とレンズを、距離fの焦点面に画像を投影するカメラ (上図参照) と見なすと、開口数Aは、一般的に引用される f 値N = f/d (焦点距離とレンズの直径の比) と次の式で 関係する。

$${\displaystyle A={\frac {r}{R'}}={\frac {r}{\sqrt {f^{2}+r^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {4N^{2}+1}}};}$$

N ≫1の場合、それは単純に次のように近似されます。これは、回折により、カメラの最高の画像解像度がレンズの開口数 (つまり f 値) によって制限されることを示しています。 ${\textstyle A\approx 1/2N.}$

中心エアリーディスクの最大値の半分（ここで）は1/e ²点（ここで）で発生し、第1リングの最大値はで発生します。${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle x=1.61633995\dots ;}$${\displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{e}}$${\displaystyle x=2.58383899\dots ,}$${\displaystyle x=5.13562230\dots .}$

回折パターンの中心における強度は、開口部に入射する全パワーと次の式で関係する^[12]。${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle P_{0}}$

$${\displaystyle I_{0}={\frac {\mathrm {E} _{A}^{2}A^{2}}{2R^{2}}}={\frac {P_{0}A}{\lambda ^{2}R^{2}}}}$$

ここで、は開口部における単位面積あたりの光源強度、A は開口部の面積 ( )、R は開口部からの距離です。レンズの焦点面では、第 1 リングの最大値の強度は、エアリー ディスクの中心の強度の約 1.75% です。 ${\displaystyle \mathrm {E} }$${\displaystyle A=\pi a^{2}}$${\displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2}).}$

上記の式を積分すると、与えられた大きさの円内の回折パターンに含まれる全パワーが得られます。 ${\displaystyle I(\theta )}$

$${\displaystyle P(\theta )=P_{0}[1-J_{0}^{2}(ka\sin \theta )-J_{1}^{2}(ka\sin \theta )]}$$

ここで、およびはベッセル関数である。したがって、第1、第2、および第3のダークリング（ここで）に含まれる全電力の割合は、それぞれ83.8%、91.0%、および93.8%である。^[13]${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{1}(ka\sin \theta )=0}$

エアリーディスクと回折パターンの古典的な処理では、入射光は、互いに干渉する同じ波長のコヒーレント（同位相）光子からなる平面波であると想定されています。有名な二重スリット実験では、コヒーレント光子が時間的に非常に広がって互いに干渉できない場合でも、回折パターンが発生する可能性があることが示されました。これにより、各光子は光源から検出器までのすべての可能な経路を効果的にたどるという量子力学的図式が生まれました。リチャード・ファインマンは、各経路には複素振幅があり、これは経路に垂直で、波長が進むごとに 1 回転する単位ベクトルとして考えることができると説明しました。検出確率は、検出器での複素振幅の合計の係数の 2 乗です。回折パターンが発生するのは、経路の合計が検出器の位置によって異なるためです。これらの原理によれば、エアリーディスクと回折パターンは、ファインマン光子経路積分を使用して放物面鏡の焦点面のさまざまなポイントでの検出確率を決定することで数値的に計算できます。^[14]

エアリーパターンは中心から離れるにつれてゆっくりとゼロに落ち、外側のリングにはパターンの積分強度のかなりの部分が含まれます。その結果、二乗 平均平方根(RMS) スポットサイズは定義されません (つまり無限大)。スポットサイズの別の測定方法は、エアリーパターンの比較的小さな外側のリングを無視し、中心のローブをガウス分布で近似することです。

$${\displaystyle I(q)\approx I'_{0}\exp \left({\frac {-2q^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\right)\ ,}$$

ここで、はパターンの中心における放射照度、はパターンの中心からの放射距離、はガウスRMS幅（1次元）である。エアリーパターンとガウスプロファイルのピーク振幅を等しくすると、パターンに最適な近似を与える値を見つけると、 ^{[15]が得られる。}${\displaystyle I'_{0}}$${\displaystyle q}$${\textstyle \omega _{0}}$${\displaystyle I'_{0}=I_{0},}$${\textstyle \omega _{0}}$

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.84\lambda N\ ,}$

ここでNはF値です。一方、ガウス分布がエアリーパターンと同じ体積になるようにしたい場合は、次の式になります。

${\textstyle \omega _{0}\approx 0.90\lambda N\ .}$

光学収差理論では、エアリーディスク半径が幾何学的光線追跡から決定されたRMSスポットサイズよりも大きい場合、結像系は回折限界にあると説明するのが一般的です（光学レンズ設計を参照）。ガウスプロファイル近似は、別の比較方法を提供します。上記の近似を使用すると、エアリーディスクのガウス近似のガウスウエストはエアリーディスク半径の約3分の2であることがわかります。つまり、${\textstyle \omega _{0}}$${\displaystyle 0.84\lambda N}$${\displaystyle 1.22\lambda N.}$

^{同様の式は、環状の開口部またはビーム、つまり中央の円形ブロックによって遮られた均一な円形の開口部（ビーム）からの回折パターンである遮蔽エアリー回折パターン[16] [17]}についても導くことができます。この状況は、ニュートン式望遠鏡やシュミットカセグレン式望遠鏡など、二次鏡を組み込んだ多くの一般的な反射望遠鏡の設計に関係しています。

$${\displaystyle I(R)={\frac {I_{0}}{(1-\epsilon ^{2})^{2}}}\left({\frac {2J_{1}(x)}{x}}-{\frac {2\epsilon J_{1}(\epsilon x)}{x}}\right)^{2}}$$

ここで、は環状開口掩蔽比、つまり掩蔽ディスクの直径と開口（ビーム）の直径の比です。xは上記のように定義されます。ここで、は焦点面における光軸からの半径距離、は波長、はシステムのF 値です。分数円内エネルギー（焦点面において光軸を中心とする半径の円内に含まれる全エネルギーの割合）は次のように表されます。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \left(0\leq \epsilon <1\right),}$${\displaystyle x=ka\sin(\theta )\approx {\frac {\pi R}{\lambda N}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle N}$${\displaystyle R}$

$${\displaystyle E(R)={\frac {1}{(1-\epsilon ^{2})}}\left(1-J_{0}^{2}(x)-J_{1}^{2}(x)+\epsilon ^{2}\left[1-J_{0}^{2}(\epsilon x)-J_{1}^{2}(\epsilon x)\right]-4\epsilon \int _{0}^{x}{\frac {J_{1}(t)J_{1}(\epsilon t)}{t}}\,dt\right)}$$

式 については、上記のわかりやすいバージョンに簡略化します。${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0}$

望遠鏡に中央障害物があると、中央の円盤がわずかに小さくなり、中央の円盤を犠牲にして最初の明るいリングがより明るくなります。これは、より大きな二次ミラーを必要とする短焦点望遠鏡ではさらに問題になります。^[18]

均一な強度プロファイルを持つ円形レーザー ビームをレンズで集束すると、レンズの焦点面にエアリー パターンが形成されます。焦点の中心での強度は、ビームの総出力、ビームの面積 (はビームの直径)、波長、レンズの焦点距離です。 ${\displaystyle I_{0,Airy}=(P_{0}A)/(\lambda ^{2}f^{2})}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle A=\pi D^{2}/4}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle f}$

ハードアパーチャを通過したガウスビームはクリップされます。エネルギーが失われ、エッジ回折が発生し、実質的に発散が増加します。これらの効果により、遠方場の強度を最大化するガウスビーム径が存在します。これは、ガウスビームの直径がアパーチャ直径の89％のときに発生し、遠方場の軸上強度は均一な強度プロファイルによって生成される強度の81％になります。^[19]${\displaystyle 1/e^{2}}$

半径の円断面のフーリエ積分は ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}=\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{2\pi }d\phi e^{ikr\cos \phi }=2\int _{0}^{a}rdr\int _{0}^{\pi }d\phi \cos(kr\cos \phi )=2\pi \int _{0}^{a}rdrJ_{0}(kr)=2\pi {\frac {a}{k}}J_{1}(kr).}$

これは半軸と楕円断面のフーリエ積分の特殊なケースである：^{[20] [21]}${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \int _{x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}\leq 1}e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}dxdy=2\pi {\frac {ab}{c}}J_{1}(c)}$

どこ

${\displaystyle c\equiv {\sqrt {(k_{x}a)^{2}+(k_{y}b)^{2}}}.}$

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• 斑点模様

• Michael W. Davidson . 「顕微鏡の概念と公式: 解像度」Nikon MicroscopyU（ウェブサイト）。
  • Kenneth R. Spring、Brian O. Flynn、Michael W. Davidson。「画像形成: 開口数と画像解像度」 。2006年6 月 15 日閲覧。(インタラクティブ Java チュートリアル)分子式(Web サイト)。
  • Kenneth R. Spring、Brian O. Flynn、Michael W. Davidson。「画像形成: エアリーパターン形成」 。2006年6 月 15 日閲覧。(インタラクティブ Java チュートリアル)分子式。
• ポール・パドリー。「円形開口部からの回折」。、Connexions (ウェブサイト)、2005 年 11 月 8 日。 – 上記の式を導き出すための数学的な詳細。
• 「エアリーディスク：それが何であるか、そしてなぜそれを避けられないのかの説明」、Oldham Optical UK。
• Weisstein、Eric W.「ベッセル関数のゼロ」。MathWorld。
• 「拡張ナイボア・ゼルニケ (ENZ) 解析と収差検索」。