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微分幾何学の分野では、リッチ平坦性はリーマン多様体の曲率に関する条件です。リッチ平坦多様体は、アインシュタイン多様体の特殊な種類です。理論物理学では、リッチ平坦ローレンツ多様体は、宇宙定数がゼロの真空におけるアインシュタイン場の方程式の解であるため、根本的に興味深いものです。
ローレンツ幾何学では、カール・シュヴァルツシルト、ロイ・カー、イヴォンヌ・ショケ＝ブリュアの研究から、多くのリッチフラット計量が知られています。リーマン幾何学では、シン・トゥン・ヤウによるカラビ予想の解決により、ケーラー多様体上の多くのリッチフラット計量が得られました。
擬リーマン多様体は、リッチ曲率がゼロの場合にリッチ平坦であると言われます。[ 1 ] 2 次元を除いて、計量がリッチ平坦であるのは、そのアインシュタインテンソルがゼロである場合のみであることが直接的に確認できます。[ 2 ]リッチ平坦多様体は、スカラー曲率がゼロに等しい特殊なケースとして生じる3 つの特殊なタイプのアインシュタイン多様体の 1 つです。
ワイル曲率テンソルの定義から、任意のリッチ平坦計量のワイル曲率がリーマン曲率テンソルに等しいことは容易にわかる。トレースを取ることで、その逆もまた成り立つことが容易にわかる。これはまた、リッチ平坦性はリッチ分解の2つの非ワイル部分がゼロになることによって特徴づけられる、と表現することもできる。
ワイル曲率は2次元または3次元ではゼロになるため、これらの次元におけるすべてのリッチ平坦計量は平坦である。逆に、定義から、任意の平坦計量はリッチ平坦であることは自明である。平坦計量の研究は通常、それ自体が独立した研究テーマとして扱われる。そのため、リッチ平坦計量の研究は、4次元以上の場合にのみ独立した研究テーマとなる。
前述のように、平坦な計量はすべてリッチ平坦である。しかし、全曲率がゼロでないリッチ平坦多様体を特定することは容易ではない。
1916年、カール・シュヴァルツシルトは、非ゼロ曲率のリッチ平坦ローレンツ多様体であるシュヴァルツシルト計量を発見した。 [ 3 ]ロイ・カーは後に、シュヴァルツシルト計量を特殊な場合として含む2パラメータ族であるカー計量を発見した。 [ 4 ]これらの計量は完全に明示的であり、ブラックホールの数学と物理学において根本的な関心事である。より一般的には、一般相対性理論において、リッチ平坦ローレンツ多様体は、宇宙定数がゼロとなるアインシュタイン場の方程式の真空解を表す。[ 5 ]
多くの擬リーマン多様体は同質空間として構成されます。しかし、これらの構成は、リッチ平坦な同質リーマン多様体は平坦でなければならないという意味で、リッチ平坦リーマン計量に直接役立つものではありません。[ 6 ]ただし、リー代数の明示的な構成と計算からわかるように、リッチ平坦ではあるものの平坦ではない同質（さらには対称）ローレンツ多様体も存在します。[ 7 ]
1970年代にShing-Tung Yauがカラビ予想を解決するまで、閉多様体上のすべてのリッチ平坦リーマン計量が平坦であるかどうかは知られていなかった。[ 8 ]彼の研究は偏微分方程式の手法を用いて、閉複素多様体上のケーラー計量の特殊な場合におけるリッチ平坦計量の包括的な存在理論を確立した。彼の解析的手法により、計量は最も単純な場合でさえ明示的ではない。このようなリーマン多様体はしばしばカラビ・ヤウ多様体と呼ばれるが、さまざまな著者がこの名前をわずかに異なる方法で使用している。[ 9 ]
調和座標に関して、リーマン計量のリッチ平坦性の条件は、楕円型偏微分方程式の系として解釈できる。滑らかな多様体上の任意のリッチ平坦リーマン計量は、調和座標が適合する解析構造を定義し、計量の局所表現が実解析的であるという意味で解析的であることは、標準的な楕円型正則性の結果の直接的な帰結である。これは、アインシュタインリーマン計量のより広い設定でも成り立つ。[ 10 ]
同様に、調和座標に関して、ローレンツ計量のリッチ平坦性は双曲型偏微分方程式の系として解釈できる。この観点に基づき、イヴォンヌ・ショケ＝ブリュアはリッチ平坦性条件の適切性を発展させた。彼女は1960年代にロバート・ゲロシュと共同で決定的な結果に達し、ある種の最大限に拡張されたリッチ平坦なローレンツ計量が、特定のリーマンデータによってどのように規定され、構築されるかを確立した。これらは最大大域双曲展開として知られている。一般相対性理論では、これは通常、アインシュタインの重力場方程式の初期値定式化として解釈される。 [ 11 ]
リーマン幾何学とローレンツ幾何学におけるリッチ平坦性の研究は、全く異なるものである。これは、リーマン幾何学に典型的な測地線的に完全な計量と、ショケ＝ブリュアとゲロシュの研究から生じる最大大域双曲展開との根本的な違いによって既に示されている。さらに、リッチ平坦なリーマン計量の解析性とそれに伴う一意的な連続性は、有限の伝播速度と完全に局所化可能な現象を持つリッチ平坦なローレンツ計量とは根本的に異なる性質を持つ。これは、ラプラス方程式と波動方程式の違いの非線形幾何学的類似物と見なすことができる。
ヤウのリッチフラット・ケーラー計量の存在定理は、与えられた閉複素多様体上にそのような計量が存在するための正確な位相的条件を確立した。すなわち、正則接束の第一チャーン類がゼロでなければならない。この条件の必要性は、以前からチャーン・ワイル理論によって知られていた。
ケーラー幾何学を超えると、状況はそれほどよく理解されていない。任意のアインシュタイン・リーマン計量をサポートする4次元の閉じた向き付けられた多様体は、その位相データに関してヒッチン・ソープの不等式を満たさなければならない。非負のリッチ曲率を持つリーマン多様体に関するよく知られた定理の特殊な場合として、完全なリッチ平坦リーマン計量を持つ多様体は、次の条件を満たさなければならない。[ 12 ]
ミカエル・グロモフとブレイン・ローソンは、閉多様体の拡大可能性の概念を導入した。拡大可能な多様体のクラスは、ホモトピー同値性、積の取り方、および任意の閉多様体との連結和に関して閉じている。このクラスのすべてのリッチ平坦リーマン多様体は平坦であり、これはチーガーとグロモールの分割定理の系である。[ 13 ]
単連結ケーラー多様体では、ケーラー計量がリッチ平坦であるのは、ホロノミー群が特殊ユニタリ群に含まれる場合のみである。一般のケーラー多様体では、if の方向は依然として成り立つが、リッチ平坦ケーラー計量の制限されたホロノミー群のみが必ず特殊ユニタリ群に含まれる。 [ 14 ]
ハイパーケーラー多様体は、ホロノミー群がシンプレクティック群に含まれるリーマン多様体である。リーマン多様体に関するこの条件は、（大まかに言えば）すべて平行な複素構造の 2 球面の存在によっても特徴づけられる。これは特に、すべてのハイパーケーラー計量がケーラー計量であることを示している。さらに、アンブローズ・シンガーの定理により、そのような計量はすべてリッチ平坦である。カラビ・ヤウの定理はこの文脈に特化しており、正則的にシンプレクティック構造を持つコンパクトケーラー多様体上のハイパーケーラー計量に対する一般的な存在と一意性の定理を与えている。非コンパクト空間上のハイパーケーラー計量の例は、以前にエウジェニオ・カラビによって得られていた。同時期に発見されたエグチ・ハンソン空間は、彼の構成の特殊な場合である。 [ 15 ]
四元数ケーラー多様体は、ホロノミー群がリー群Sp(n)·Sp(1)に含まれるリーマン多様体である。マルセル・ベルガーは、そのような計量は必ずアインシュタイン計量でなければならないことを示した。さらに、任意のリッチ平坦四元数ケーラー多様体は局所的にハイパーケーラーでなければならず、これは制限されたホロノミー群がシンプレクティック群に含まれることを意味する。[ 16 ]
G 2多様体またはSpin(7)多様体は、ホロノミー群がリー群Spin(7)またはG 2に含まれるリーマン多様体です。アンブローズ・シンガーの定理は、そのような多様体はすべてリッチ平坦であることを示しています。[ 17 ]この種の閉じた多様体の存在は、 1990 年代にドミニク・ジョイスによって確立されました。[ 18 ]
マルセル・ベルガーは、上記の可能性に従って、単連結閉多様体上の既約リッチ平坦リーマン計量の既知の例はすべて特別なホロノミー群を持つとコメントした。これが未知の一般定理を示唆しているのか、単に既知の手法の限界を示唆しているのかは不明である。このため、ベルガーはリッチ平坦多様体を「極めて謎めいたもの」と考えた。[ 19 ]
注記。
情報源。