Semi-reflexive space

Suppose that X is a topological vector space (TVS) over the field ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (which is either the real or complex numbers) whose continuous dual space, ${\displaystyle X^{\prime }}$, separates points on X (i.e. for any ${\displaystyle x\in X}$ there exists some $\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ such that ${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$). Let ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ and $\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ both denote the strong dual of X, which is the vector space ${\displaystyle X^{\prime }}$ of continuous linear functionals on X endowed with the topology of uniform convergence on bounded subsets of X; this topology is also called the strong dual topology and it is the "default" topology placed on a continuous dual space (unless another topology is specified). If X is a normed space, then the strong dual of X is the continuous dual space ${\displaystyle X^{\prime }}$ with its usual norm topology. The bidual of X, denoted by $\displaystyle X^{\prime \prime }}$, is the strong dual of ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$; that is, it is the space ${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$.^[1]

For any ${\displaystyle x\in X,}$ let ${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$ be defined by ${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$, where ${\displaystyle J_{x}}$ is called the evaluation map at x; since ${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$ is necessarily continuous, it follows that $\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$. Since ${\displaystyle X^{\prime }}$ separates points on X, the map ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ defined by ${\displaystyle J(x):=J_{x}}$ is injective where this map is called the evaluation map or the canonical map. This map was introduced by Hans Hahn in 1927.^[2]

We call Xsemireflexive if ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$ is bijective (or equivalently, surjective) and we call Xreflexive if in addition ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$これはTVSの同型写像である。^{[ 1 ]} Xがノルム空間である 場合、 JはTVS埋め込みであると同時に、その像への等長写像でもある。さらに、ゴールドスタインの定理（1938年に証明）により、 Jの像は双対空間の稠密な部分集合である。${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$[ ^{2 ]} ノルム空間は^、半反射的である場合に限り反射的である。バナッハ空間は、その閉単位球が$\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-コンパクト。^{[ 2 ]}

Xを数体上の位相ベクトル空間とする。${\displaystyle \mathbb {F} }$（実数）${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} }$) その強力な双対空間を考慮する${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$これは、すべての連続線形汎関数から構成される。${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$強力なトポロジーを備えています${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$すなわち、X内の有界部分集合上の一様収束の位相である。${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$これは位相ベクトル空間（より正確には局所凸空間）であるため、その強双対空間を考えることができる。${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$これは、Xの強双対空間と呼ばれています。これは、すべての連続線形汎関数から構成されます。${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$強力なトポロジーを備えています${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$各ベクトル${\displaystyle x\in X}$地図を生成する${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$以下の式により：

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

これは連続線形関数です${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$つまり、$\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$すると、評価マップまたは正準注入と呼ばれるマップが得られます。

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

これは線形写像です。Xが局所凸である場合、ハーン・バナッハの定理から、 Jは単射かつ開集合であることがわかります（つまり、ゼロの各近傍に対して）。${\displaystyle U}$XにはゼロVの近傍がある${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$そのため${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$しかし、それは全射でなかったり、不連続であったりする可能性がある。

局所凸空間${\displaystyle X}$評価マップが半反射的である場合、 半反射的と呼ばれます。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$は全射（したがって全単射）である。評価マップが反射的である場合、 反射的と呼ばれる。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$は全射かつ連続であり、その場合、 JはTVSの同型写像となる。