半反射的空間

Xを体上の位相ベクトル空間 (TVS)とします。${\displaystyle \mathbb {F} }$（実数または複素数のいずれか）連続双対空間、${\displaystyle X^{\prime }}$X上の点を分離します(つまり、任意の点について)${\displaystyle x\in X}$いくつか存在する$\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$そのため${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$）。 させて${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$そして$\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$どちらも、ベクトル空間であるXの強双対を表します。${\displaystyle X^{\prime }}$X上の連続線形汎関数で、Xの有界部分集合上で一様収束の位相を持つもの。この位相は強双対位相とも呼ばれ、（別の位相が指定されない限り）連続双対空間に配置される「デフォルト」の位相である。X がノルム空間である場合、Xの強双対は連続双対空間である。${\displaystyle X^{\prime }}$通常のノルム位相を持つ。Xの双対は、$\displaystyle X^{\prime \prime }}$は、の強い双対である${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$つまり、それは空間です${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$[ ^{1 ]​}

いかなる場合でも${\displaystyle x\in X,}$させて${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$定義される${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)}$、 どこ${\displaystyle J_{x}}$これは、 xにおける評価マップと呼ばれます。${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$は必然的に連続である、したがって$\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$。 以来${\displaystyle X^{\prime }}$X上の点を分離するマップ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$定義される${\displaystyle J(x):=J_{x}}$この写像は評価写像または正準写像と呼ばれ、単射である。この写像は1927年にハンス・ハーンによって導入された。 ^{[ 2 ]}

X を半反射的と呼ぶのは、${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$は全単射（または同等に全射）であり、さらに以下の条件を満たす場合、 X は反射的であると言います。${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$これはTVSの同型写像である。^{[ 1 ]} Xがノルム空間である 場合、 JはTVS埋め込みであると同時に、その像への等長写像でもある。さらに、ゴールドスタインの定理（1938年に証明）により、 Jの像は双対空間の稠密な部分集合である。${\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)}$[ ^{2 ]} ノルム空間は^、半反射的である場合に限り反射的である。バナッハ空間は、その閉単位球が$\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-コンパクト。^{[ 2 ]}

Xを数体上の位相ベクトル空間とする。${\displaystyle \mathbb {F} }$（実数）${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} }$) その強力な双対空間を考慮する${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$これは、すべての連続線形汎関数から構成される。${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$強力なトポロジーを備えています${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$すなわち、X内の有界部分集合上の一様収束の位相である。${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$これは位相ベクトル空間（より正確には局所凸空間）であるため、その強双対空間を考えることができる。${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$これは、Xの強双対空間と呼ばれています。これは、すべての連続線形汎関数から構成されます。${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }}$強力なトポロジーを備えています${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)}$各ベクトル${\displaystyle x\in X}$地図を生成する${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$以下の式により：

$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}$$

これは連続線形関数です${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$つまり、$\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$すると、評価マップまたは正準注入と呼ばれるマップが得られます。

$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$

これは線形写像です。Xが局所凸である場合、ハーン・バナッハの定理から、 Jは単射かつ開集合であることがわかります（つまり、ゼロの各近傍に対して）。${\displaystyle U}$XにはゼロVの近傍がある${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$そのため${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$しかし、それは全射でなかったり、不連続であったりする可能性がある。

局所凸空間${\displaystyle X}$評価マップが半反射的である場合、 半反射的と呼ばれます。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$は全射（したがって全単射）である。評価マップが反射的である場合、 反射的と呼ばれる。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$は全射かつ連続であり、その場合、 JはTVSの同型写像となる。