有界集合上の一様収束の位相を備えた連続双対空間
関数解析や 数学 の関連分野 において 、 位相ベクトル空間 (TVS) の 強双対空間は、 強い ( 双対 ) 位相 、または の有界部分集合上の一様収束の位相 を備えた の 連続双対空間 であり 、この位相は またはで表されます。 最も 粗い極位相は 弱位相 と呼ばれます 。強双対空間は現代の関数解析で非常に重要な役割を果たしているため、特に明記しない限り、連続双対空間は通常、強双対位相を持つものと想定されます。連続双対空間が 強双対位相を持つことを強調するために、 またはと 書くこともできます。
バツ
{\displaystyle X}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
バツ
{\displaystyle X}
バツ 、
{\displaystyle X,}
b
（
バツ
′
、 バツ
）
{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}
β
（
バツ
′
、 バツ
）
。
{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}
バツ
′
、
{\displaystyle X^{\prime },}
バツ
b
′
{\displaystyle X_{b}^{\prime}}
バツ
β
′
{\displaystyle X_{\beta}^{\prime}}
強力なデュアルトポロジー 全体を通じて、すべてのベクトル空間は実数 体 または 複素数 体上にあると仮定される。
ふ
{\displaystyle \mathbb {F} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Ｃ
。
{\displaystyle \mathbb {C} .}
二重システムからの定義 を実数体 または 複素数体 上の ベクトル空間の 双対 と する。
任意の および任意のに対して 定義する。
（ バツ 、 はい 、 ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ ）
{\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
ふ
{\displaystyle \mathbb {F} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Ｃ
。
{\displaystyle \mathbb {C} .}
B ⊆ バツ
{\displaystyle B\subseteq X}
ええ ∈ はい 、
{\displaystyle y\in Y,}
|
ええ
|
B
=
すする
x ∈ B
|
⟨ x 、 ええ ⟩
|
。
{\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}
にも にも 位相 がないので、 すべて に対して であれば
、部分集合は 部分集合によって有界 であると言えます。したがって、 の場合に 限り、
部分集合は 有界で あると言えます。これは 、 によって誘導される弱い位相が与えられ 、ハウスドルフ の局所凸 位相である場合の、
通常の 有界部分集合 の概念に相当します。
バツ
{\displaystyle X}
はい
{\displaystyle Y}
B ⊆ バツ
{\displaystyle B\subseteq X}
Ｃ ⊆ はい
{\displaystyle C\subseteq Y}
|
ええ
|
B
< ∞
{\displaystyle |y|_{B}<\infty }
ええ ∈ Ｃ 。
{\displaystyle y\in C.}
B ⊆ バツ
{\displaystyle B\subseteq X}
すする
x ∈ B
|
⟨ x 、 ええ ⟩
|
< ∞
全ての
ええ ∈ はい 。
{\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}
バツ
{\displaystyle X}
はい 、
{\displaystyle Y,}
を の元で囲まれた すべての部分集合の 族 とし ます 。つまり、 は、任意の に対して となる すべての部分集合の集合です
。すると、 上の 強位相は とも表記され 、単に とも 表記されます。 ペアリング が理解されていれば、 の半ノルムによって生成される
上の 局所 凸位相として定義されます。
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B ⊆ バツ
{\displaystyle B\subseteq X}
はい
{\displaystyle Y}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B ⊆ バツ
{\displaystyle B\subseteq X}
ええ ∈ はい 、
{\displaystyle y\in Y,}
|
ええ
|
B
=
すする
x ∈ B
|
⟨ x 、 ええ ⟩
|
< ∞ 。
{\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}
β
(
Y
,
X
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
Y
,
{\displaystyle Y,}
b
(
Y
,
X
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}
β
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \beta (Y,X)}
b
(
Y
,
X
)
{\displaystyle b(Y,X)}
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }
Y
{\displaystyle Y}
|
y
|
B
=
sup
x
∈
B
|
⟨
x
,
y
⟩
|
,
y
∈
Y
,
B
∈
B
.
{\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}
強双対位相の定義は、TVS の場合と同様に進められる。 が、 連続双対空間が 上の点を分離する TVS である場合 、 は、 の 標準双対系の一部であること
に 注意されたい 。 が局所凸空間 である
特別な場合 、 (連続) 双対空間 (つまり、すべての連続線型関数 の空間 ) 上の強位相は、強位相として定義され、 の 有界集合 上の一様収束の位相、すなわち、 のすべての 有界集合 の族上で
が実行される 形式の半ノルムによって生成される
上の位相と一致する 。 この位相を持つ
空間は、 空間の 強双対空間 と呼ばれ、 によって表される。
X
{\displaystyle X}
X
,
{\displaystyle X,}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
X
′
,
⟨
⋅
,
⋅
⟩
)
{\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}
⟨
x
,
x
′
⟩
:=
x
′
(
x
)
.
{\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
f
:
X
→
F
{\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }
β
(
X
′
,
X
)
,
{\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}
X
,
{\displaystyle X,}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
|
f
|
B
=
sup
x
∈
B
|
f
(
x
)
|
,
where
f
∈
X
′
,
{\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}
B
{\displaystyle B}
X
.
{\displaystyle X.}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
X
β
′
.
{\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}
TVS での定義 が体上の 位相ベクトル空間 (TVS)である と仮定する。 を の 有界集合 の基本系とする
。つまり 、 は の有界部分集合の 族 であり 、 のすべての有界部分集合 が何らかの の部分集合である 。 のすべての有界部分集合の集合は、 の 有界集合の基本系を形成する。
における原点の閉近傍の基底は、 の 極座標 によって与えられる 。
は 上の範囲
である。 これは、 上の 半ノルム の集合によって与えられる局所凸位相である 。
は 上の範囲
である。
X
{\displaystyle X}
F
.
{\displaystyle \mathbb {F} .}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
X
{\displaystyle X}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
X
{\displaystyle X}
X
.
{\displaystyle X.}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
B
∘
:=
{
x
′
∈
X
′
:
sup
x
∈
B
|
x
′
(
x
)
|
≤
1
}
{\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
|
x
′
|
B
:=
sup
x
∈
B
|
x
′
(
x
)
|
{\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}
B
{\displaystyle B}
B
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}.}
がノルム可能で ある 場合 、 はバナッハ空間であり 、 実際に バナッハ空間 になります。 が ノルムを持つノルム空間である場合 、 はで与えられる 標準ノルム ( 演算子ノルム )を持ちます 。このノルムが に誘導する位相は、 強い双対位相と同一です。
X
{\displaystyle X}
X
b
′
{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
X
b
′
{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
‖
x
′
‖
:=
sup
‖
x
‖
≤
1
|
x
′
(
x
)
|
{\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
バイデュアル によってしばしば表記される TVSの 双対 または 第2双対は 、 の強双対の強双対である 。
ここで は 強双対位相が備わっていることを 表す
。特に断りのない限り、ベクトル空間は 通常、 によって誘導される強双対位相が備わっていると仮定され、 その場合 の 強 双対 と呼ばれる。つまり、
で、ベクトル空間は 強双対位相が備わっている。
X
,
{\displaystyle X,}
X
′
′
,
{\displaystyle X^{\prime \prime },}
X
{\displaystyle X}
X
′
′
:=
(
X
b
′
)
′
{\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}
X
b
′
{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
b
(
X
′
,
X
)
.
{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}
X
′
′
{\displaystyle X^{\prime \prime }}
X
b
′
,
{\displaystyle X_{b}^{\prime },}
X
{\displaystyle X}
X
′
′
:=
(
X
b
′
)
b
′
{\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}
X
′
′
{\displaystyle X^{\prime \prime }}
b
(
X
′
′
,
X
b
′
)
.
{\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}
プロパティ を局所凸 TVSと します 。
X
{\displaystyle X}
の凸 バランス 弱コンパクト部分集合は で有界となる。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
b
′
.
{\displaystyle X_{b}^{\prime }.}
のすべての弱有界部分集合は 強有界である。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
が樽型空間 である 場合 、 の位相は強双対位相 および Mackey位相 と同一である。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
b
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}
X
.
{\displaystyle X.}
が距離化可能な局所凸空間である場合 、 の強双対が ボルノロジー空間 となる 必要十分条件は、それが アンダーバレル空間である場合と、それが バレル空間 である場合とである 。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
がハウスドルフ局所凸TVSである 場合、 が 距離化可能 であるのは、の有界部分集合の 可算集合が存在し 、 のすべての有界部分集合 が の何らかの元に含まれる場合のみである
X
{\displaystyle X}
(
X
,
b
(
X
,
X
′
)
)
{\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
B
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}.}
が局所的に凸である場合、この位相は、 集合が の部分集合である のみを考慮すると、 上の他のすべての -位相 よりも細かい。
X
{\displaystyle X}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
X
.
{\displaystyle X.}
がボルノロジー空間 （例えば、 距離化可能 空間または LF空間 ） である 場合、 は 完全 です 。
X
{\displaystyle X}
X
b
(
X
′
,
X
)
′
{\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}
が樽型空間 である 場合、その位相は 上の 強い位相と一致し 、上の マッキー位相 は のペアリングによって生成される
X
{\displaystyle X}
β
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
X
′
)
.
{\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}
例 がノルムベクトル空間 である 場合 、その （連続）双対空間 の強位相は バナッハ双対空間と一致する。つまり、 演算子ノルム によって誘導される位相を持つ 空間と一致する 。逆に、 上の -位相は 、上の ノルム によって誘導される位相と同一である。
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
(
X
,
X
′
)
.
{\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}
X
{\displaystyle X}
X
.
{\displaystyle X.}
参照
参考文献
文献 ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. ルディン、ウォルター (1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウォン (1979)。 シュワルツ空間、核空間、テンソル積 。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158.
