再帰的作用素代数

関数解析において、反射的作用素環 Aは、それを特徴付けるのに十分な不変部分空間を持つ作用素環です。正式には、Aが反射的であるとは、 A内のすべての作用素によって不変となる各部分空間を不変にする有界作用素の代数に等しい場合です。

これを再帰空間と混同しないでください。

ネスト代数は、反射作用素代数の一例です。有限次元では、ネスト代数は、非ゼロの要素が上三角パターンにある、指定されたサイズのすべての行列の代数にすぎません。

実際、対角要素を含むn行n列の行列内の任意のエントリ パターンを固定すると、このパターン内に非ゼロのエントリがあるすべてのn行n列の行列の集合は反射代数を形成します。

反射的でない代数の例としては、2×2行列の集合が挙げられる。

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}.}$

この代数はネスト代数よりも小さい

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}\ :\ a,b,c\in \mathbb {C} \right\}}$

しかし、同じ不変部分空間を持つため、反射的ではありません。

T がn 行n列の固定行列である場合、 Tのすべての多項式の集合と恒等演算子は単位演算子代数を形成します。デデンズとフィルモアの定理によれば、この代数は、 Tのジョルダン正規形の最大の 2 つのブロックのサイズが最大で 1 だけ異なる場合にのみ反射的となります。たとえば、代数

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b&0\\0&a&0\\0&0&a\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in \mathbb {C} \right\}}$

これは、

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

そしてそのアイデンティティは反射的です。

をヒルベルト空間H上のすべての有界作用素の集合B ( H )に含まれる弱*閉作用素代数とし、 TをB ( H )の任意の作用素として、 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})=\sup \left\{\left\|P^{\perp }TP\right\|\ :\ P{\mbox{ is a projection and }}P^{\perp }{\mathcal {A}}P=(0)\right\}.}$

Pの値域がの不変部分空間である場合に、 P はこの上限に含まれる射影であることに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

代数が反射的であるためには、 B ( H ) の任意のTに対して次のことが成り立つ必要があります。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})=0{\mbox{ implies that }}T{\mbox{ is in }}{\mathcal {A}}.}$

B(H)の任意のTに対して次の不等式が満たされる ことに注意してください。

${\displaystyle \beta (T,{\mathcal {A}})\leq {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}}).}$

ここで、Tと代数との距離、つまり代数 A が代数上を走る演算子TAの最小ノルムが示される。定数Kが存在し、B ( H ) の任意の演算子Tに対して、${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mbox{dist}}(T,{\mathcal {A}})\leq K\beta (T,{\mathcal {A}}).}$

そのようなK の最小値はの距離定数と呼ばれます。超反射的作用素代数は自動的に反射的になります。 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

与えられたパターンによって指定された非ゼロのエントリを持つ行列の反射代数の場合、距離定数を見つける問題は、行列充填問題として言い換えることができます。パターンの補集合のエントリを任意のエントリで充填する場合、パターン内のどのエントリを選択すると、最小の演算子ノルムが得られますか?

• すべての有限次元反射代数は超反射的です。ただし、超反射的ではない無限次元反射作用素代数の例もあります。
• 1 次元代数の距離定数は 1 です。
• ネスト代数は距離定数 1 で超反射的です。
• 多くのフォン・ノイマン代数は超反射的ですが、すべてがそうであるかどうかはわかっていません。
• タイプI フォン ノイマン代数は、距離定数が最大 2 である超反射的です。

• 不変部分空間
• 部分空間格子
• 反射部分空間格子
• ネスト代数

• ウィリアム・アーヴェソン『作用素代数に関する10の講義』、ISBN  0-8218-0705-6
• H. Radjavi と P. Rosenthal、不変部分空間、ISBN 0-486-42822-2