測地学 と 地球物理学 において 、 理論的重力 または 標準重力は、 数学モデル によって 地球の表面上または表面付近の重力 を近似したものです 。最も一般的な理論モデルは、回転する 地球の回転楕円体 （つまり、 回転楕円体 ）です。
重力の他の表現は、小惑星 などの他の天体の研究や分析に使用できます 。測地学の文脈で広く使用されている重力場の表現には、球面調和関数、マスコンモデル、多面体重力表現などがあります。 [1]
原則 地球に使用される重力モデルの種類は、与えられた問題に求められる忠実度の程度によって異なります。航空機シミュレーションなどの多くの問題では、重力を次のように定義される定数と見なすだけで十分です。 [2]
グ =
グ
45
=
{\displaystyle g=g_{45}=}
9.80665 m/s 2 (32.1740 フィート/s 2 ) 1984 年の世界測地系 ( WGS-84 )のデータに基づいており 、 ローカル参照フレームでは「下」を指していると理解されています。
グ
{\displaystyle g}
地球上の物体の重量を 緯度 の関数としてモデル化することが望ましい場合、次の式を使用することができる。 [2] : 41
グ =
グ
45
−
1 2
（
グ
p o l e s
−
グ
e q あなた 1つの t o r
） コス
（
2 φ ⋅
π 180
）
{\displaystyle g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {極} }-g_{\mathrm {赤道} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)}
どこ
グ
p o l e s
{\displaystyle g_{\mathrm {極} }}
= 9.832 m/s 2 (32.26 フィート/s 2 )
グ
45
{\displaystyle g_{45}}
= 9.806 m/s 2 (32.17 フィート/s 2 )
グ
e q あなた 1つの t o r
{\displaystyle g_{\mathrm {赤道} }}
= 9.780 m/s 2 (32.09 フィート/s 2 )
φ
{\displaystyle \varphi}
= 緯度、-90° から +90° の間 どちらも高度の変化による重力の変化を考慮していないが、コサイン関数のモデルは地球の自転によって生じる遠心力の軽減を考慮している。回転する球体では、重力場の力と遠心力の合計により、およそ
罪 （ 2 φ ）
2 グ
R
Ω
2
{\displaystyle {\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}}
（ラジアン単位）重力場の方向と鉛直線で測った方向との間の角度。鉛直線は北半球では南向き、南半球では北向きに見える。rad /sは地球の軸の日周角速度、 kmは基準球の半径、および 地殻上の点から地球の軸までの距離である。 [3]
Ω ≈ 7.29 ×
10
− 5
{\displaystyle \オメガ \approx 7.29\times 10^{-5}}
R ≈ 6370
{\displaystyle R\approx 6370}
R 罪 φ
{\displaystyle R\sin \varphi }
質量吸引効果のみの場合、赤道での重力加速度は、質量中心から遠いため、極での重力加速度よりも約 0.18% 低くなります。回転成分を含めると (上記のように)、赤道での重力は極での重力よりも約 0.53% 低くなり、極での重力は回転の影響を受けません。したがって、緯度による回転成分の変化 (0.35%) は、緯度による質量吸引の変化 (0.18%) の約 2 倍ですが、どちらも極での重力と比較して赤道での重力の強さを低下させます。
衛星の場合、軌道は地球の自転から切り離されているため、軌道周期は必ずしも 1 日ではありませんが、複数の軌道にわたって誤差が蓄積される可能性があるため、精度が重要になります。このような問題では、経度による変化がモデル化されない限り、地球の自転は重要ではありません。また、高度による重力の変化も重要になり、特に楕円軌道の場合は重要です。
1996 年地球 重力モデル ( EGM96 ) には、地球の重力場のモデルを改良する 130,676 個の係数が含まれています。 [2] : 40 最も重要な補正項は、次に大きい項よりも約 2 桁大きくなります。 [ 2] : 40 その係数は項と呼ばれ 、 地球の両極の平坦化、つまり扁平率 を表します。(アメリカン フットボールのように対称軸を中心に引き伸ばされた形状は、 長楕円 と呼ばれます。) 重力ポテンシャル関数は、単位質量を無限大から地球の近くに移動させたときのポテンシャル エネルギーの変化について記述できます。座標系に関してその関数の偏微分を取ると、重力加速度ベクトルの方向成分が場所の関数として解析されます。地球の自転による成分は、適切な場合、 太陽 日(≈365.24 日/年) ではなく、恒星に対する 恒星 日(≈366.24 日/年) に基づいて含めることができます。この成分は、地球の表面ではなく、自転軸に垂直です。
J
2
{\displaystyle J_{2}}
火星の形状と重力場に合わせて調整された同様のモデルは、NASA SP-8010に掲載されています。 [4]
空間内の一点における
重心 重力加速度は次のように表されます。
グ
= −
グ ま
r
2
r ^
{\displaystyle \mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} }
どこ：
M は吸引する物体の質量、 は 吸引する物体の質量中心から加速される物体の質量中心までの 単位ベクトル、 r は 2 つの物体間の距離、 G は 万有引力定数 です 。
r ^
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }
この計算を地球表面上の物体や地球とともに回転する航空機に対して行う場合、地球が回転しているという事実を考慮し、遠心加速度をこれから差し引く必要があります。たとえば、上記の式では、 GM = 3.986 × 10 14 m 3 /s 2 、 R = 6.371 × 10 6 m のときに、加速度は 9.820 m/s 2 となります。 求心半径は r = R cos( φ ) で、求心時間単位はおよそ ( 日 / 2 π ) であり、 r = 5 × 10 6 メートル の場合、これは 9.79379 m/s 2 に減少し、これは観測値に近くなります。 [ 引用が必要 ]
理論的な重力を計算するためのさまざまな、より洗練された公式は国際重力公式 と呼ばれ 、その最初のものは 1930 年に 国際測地学協会 によって提案されました。その公式の一般的な形は次のとおりです。
グ （ ϕ ） =
グ
e
（
1 + あ
罪
2
（ ϕ ） − B
罪
2
（ 2 ϕ ）
）
、
{\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}
ここで g ( φ )は重力を決定しようとする位置の 地理的緯度 φ の関数としての重力であり、 赤道での重力（測定により決定）を表し、係数 A と B は真の重力に全体的によく合うように選択しなければならないパラメータである。 [5]
グ
e
{\displaystyle g_{e}}
GRS80 参照システムの値を使用すると 、上記の式の一般的な具体的なインスタンス化は次のようになります。
グ （ ϕ ） = 9.780327
（
1 + 0.0053024
罪
2
（ ϕ ） − 0.0000058
罪
2
（ 2 ϕ ）
）
メートル s
− 2
。
{\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^ {-2}。}
[5] 適切な 二倍角の公式 と ピタゴラスの定理 を組み合わせると、これは同等の形で書き直すことができる。
グ （ ϕ ）
= 9.780327
（
1 + 0.0052792
罪
2
（ ϕ ） + 0.0000232
罪
4
（ ϕ ）
）
メートル s
− 2
、
= 9.780327
（
1.0053024 − .0053256
コス
2
（ ϕ ） + .0000232
コス
4
（ ϕ ）
）
メートル s
− 2
、
= 9.780327
（
1.0026454 − 0.0026512 コス （ 2 ϕ ） + .0000058
コス
2
（ 2 ϕ ）
）
メートル s
− 2
。
{\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}
1960年代までは、 ヘイフォード楕円体 （1924年）と有名なドイツの測地学者 ヘルメルト （1906年）に基づく公式がよく使われていました。 [ 要出典 ]ヘイフォード楕円体の半長軸（赤道半径）と現代の WGS84 楕円体 の半長軸（赤道半径）の違いは、 251 m ; ヘルメルトの楕円体では 63メートル 。
ソミリアーナ方程式 緯度の関数としての重力に関する最近の理論式は、国際重力公式1980（IGF80）であり、これもGRS80楕円体に基づいていますが、現在はソミリアーナ方程式（ カルロ・ソミリアーナ （1860-1955） [6] に由来）を使用しています。
グ （ ϕ ） =
グ
e
[
1 + け
罪
2
（ ϕ ）
1 −
e
2
罪
2
（ ϕ ）
]
、
{\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}
ここで、 [7]
k
=
b
g
p
−
a
g
e
a
g
e
{\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}
（数式定数）
g
e
,
g
p
{\displaystyle g_{e},g_{p}}
それぞれ赤道と極で定義された重力です。
a
,
b
{\displaystyle a,b}
それぞれ赤道半軸と極半軸です。
e
2
=
a
2
−
b
2
a
2
{\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}
回転楕円体の 離心率 の二乗です。 提供、
g
(
ϕ
)
=
9.7803267715
[
1
+
0.001931851353
sin
2
(
ϕ
)
1
−
0.0066943800229
sin
2
(
ϕ
)
]
m
s
−
2
.
{\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}
[5] その後、 WGS84 楕円体に基づいて改良されたのがWGS（ 世界測地系 ）1984楕円体重力公式である： [7]
g
(
ϕ
)
=
9.7803253359
[
1
+
0.00193185265241
sin
2
(
ϕ
)
1
−
0.00669437999013
sin
2
(
ϕ
)
]
m
s
−
2
.
{\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}
（ここで = 9.8321849378 ms −2 ）
g
p
{\displaystyle g_{p}}
IGF80との差は 地球物理学的 目的で使用する場合には重要ではないが [5] 、他の用途では重要となる可能性がある。
詳細情報 海面楕円体の 通常の重力、すなわち標高 h = 0 の場合、Somigliana (1929) による次の式が適用されます。
γ
0
{\displaystyle \gamma _{0}}
γ
0
(
φ
)
=
a
⋅
γ
a
⋅
cos
2
φ
+
b
⋅
γ
b
⋅
sin
2
φ
a
2
⋅
cos
2
φ
+
b
2
⋅
sin
2
φ
{\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}
と
γ
a
{\displaystyle \gamma _{a}}
= 赤道上の通常の重力
γ
b
{\displaystyle \gamma _{b}}
= 極における通常の重力 a = 長半径 （赤道半径） b = 半短軸 （極半径）
φ
{\displaystyle \varphi }
= 緯度 数値の 問題により 、式は次のように簡略化されます。
γ
0
(
φ
)
=
γ
a
⋅
1
+
p
⋅
sin
2
φ
1
−
e
2
⋅
sin
2
φ
{\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}
と
p
=
b
⋅
γ
b
a
⋅
γ
a
−
1
{\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}
e
2
=
1
−
b
2
a
2
;
{\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad }
（ e は 離心率 ） 測地参照系 1980 (GRS 80)
の場合、 パラメータは次の値に設定されます。
a
=
6
378
137
m
b
=
6
356
752
.
314
1
m
{\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }
γ
a
=
9
.
780
326
771
5
m
s
2
γ
b
=
9
.
832
186
368
5
m
s
2
{\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }
⇒
p
=
1
.
931
851
353
⋅
10
−
3
e
2
=
6
.
694
380
022
90
⋅
10
−
3
{\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}
ソミリアーナの公式は、次の図式に従って、さまざまな 級数展開 によって近似されました。
γ
0
(
φ
)
=
γ
a
⋅
(
1
+
β
⋅
sin
2
φ
+
β
1
⋅
sin
2
2
φ
+
…
)
{\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}
ジーノ・カシニス による標準重力式は、 ヘイフォードの楕円体 とともに、 国際測地学・地球物理学連合 によって 1930 年に国際重力式として決定されました 。パラメータは次のとおりです。
γ
a
=
9
.
78049
m
s
2
β
=
5
.
2884
⋅
10
−
3
β
1
=
−
5
.
9
⋅
10
−
6
{\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}
時が経つにつれ、新たな知識とより正確な測定方法によって、値は再び改善されました。
Harold Jeffreys は 1948 年に次の値を改善しました。
γ
a
=
9
.
780373
m
s
2
β
=
5
.
2891
⋅
10
−
3
β
1
=
−
5
.
9
⋅
10
−
6
{\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}
1967 年測地基準系の標準重力式は、次の値で定義されます。
γ
a
=
9
.
780318
m
s
2
β
=
5
.
3024
⋅
10
−
3
β
1
=
−
5
.
9
⋅
10
−
6
{\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}
GRS 80 のパラメータから、クラシック シリーズ拡張が生まれます。
γ
a
=
9
.
780327
m
s
2
β
=
5
.
3024
⋅
10
−
3
β
1
=
−
5
.
8
⋅
10
−
6
{\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}
精度は約±10 −6 m/s 2 です。
GRS 80 では、次のシリーズ拡張も導入されています。
γ
0
(
φ
)
=
γ
a
⋅
(
1
+
c
1
⋅
sin
2
φ
+
c
2
⋅
sin
4
φ
+
c
3
⋅
sin
6
φ
+
c
4
⋅
sin
8
φ
+
…
)
{\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}
パラメータは次のようになります。
c1 = 5.279 0414·10 −3 である 。 c2 = 2.327 18·10 −5 である 。 ｃ 3 = 1.262·10 −7 ｃ 4 = 7·10 −10 精度は正確には±10 −9 m/s 2 程度です。精度が必要ない場合は、それより後ろの項を省略できますが、この最終的な式を使用することをお勧めします。
高さ依存性 カシニスは高度依存性を次のように決定しました。
g
(
φ
,
h
)
=
g
0
(
φ
)
−
(
3
.
08
⋅
10
−
6
1
s
2
−
4
.
19
⋅
10
−
7
c
m
3
g
⋅
s
2
⋅
ρ
)
⋅
h
{\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}
平均岩石 密度 ρ は考慮されなくなりました。
GRS 1967 以降、楕円体高度 h への依存性は次のよう になります。
g
(
φ
,
h
)
=
g
0
(
φ
)
−
(
1
−
1
.
39
⋅
10
−
3
⋅
sin
2
(
φ
)
)
⋅
3
.
0877
⋅
10
−
6
1
s
2
⋅
h
+
7
.
2
⋅
10
−
13
1
m
⋅
s
2
⋅
h
2
=
g
0
(
φ
)
−
(
3
.
0877
⋅
10
−
6
−
4
.
3
⋅
10
−
9
⋅
sin
2
(
φ
)
)
1
s
2
⋅
h
+
7
.
2
⋅
10
−
13
1
m
⋅
s
2
⋅
h
2
{\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}
別の表現は次のとおりです。
g
(
φ
,
h
)
=
g
0
(
φ
)
⋅
(
1
−
(
k
1
−
k
2
⋅
sin
2
φ
)
⋅
h
+
k
3
⋅
h
2
)
{\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}
GRS80から導出されたパラメータ:
k
1
=
2
⋅
(
1
+
f
+
m
)
/
a
=
3
.
157
04
⋅
10
−
7
m
−
1
{\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }
k
2
=
4
⋅
f
/
a
=
2
.
102
69
⋅
10
−
9
m
−
1
{\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }
k
3
=
3
/
(
a
2
)
=
7
.
374
52
⋅
10
−
14
m
−
2
{\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }
ここ で ： [8]
m
{\displaystyle m}
ω
=
7.2921150
⋅
10
−
5
r
a
d
⋅
s
−
1
{\displaystyle \omega =7.2921150\cdot 10^{-5}\ rad\cdot s^{-1}}
m
=
ω
2
⋅
a
2
⋅
b
G
M
{\displaystyle m={\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{GM}}}
この調整は、航空 における一般的な高度ではほぼ適切です が、 宇宙空間（約 100 キロメートル以上）までの高度では 範囲外に なります 。
すべてのドイツの規格事務所 では、 自由落下加速度 gは平均緯度 φ と平均 海抜高度 h に関して WELMEC 式で計算されます 。
g
(
φ
,
h
)
=
(
1
+
0
.
0053024
⋅
sin
2
(
φ
)
−
0
.
0000058
⋅
sin
2
(
2
φ
)
)
⋅
9
.
780318
m
s
2
−
0
.
000003085
1
s
2
⋅
h
{\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}
この式は 1967 年の国際重力式に基づいています。
ある場所における自由落下加速度のスケールは、いくつかの機械的大きさを正確に測定して決定する必要があります。重量を測定するための質量 を持つ計量器は 、自由落下加速度に依存しているため、使用時には、異なる使用場所に合わせて異なる定数で準備する必要があります。通常の重力を使用して分割されたいわゆる重力ゾーンの概念を通じて、計量器は使用前に製造元によって校正できます。 [9]
例 シュヴァインフルト の 自由落下加速 :
データ：
緯度: 50° 3′ 24″ = 50.0567° 海抜高度: 229.7 m 岩石プレートの密度: 約2.6 g/cm 3 測定された自由落下加速度: g = 9.8100 ± 0.0001 m/s 2 通常の重力の式で計算された自由落下加速度:
カシニス: g = 9.81038 m/s 2 ジェフリーズ: g = 9.81027 m/s 2 ウェルメック： g = 9.81004 m/s 2
参照
参考文献
^ Izzo, Dario; Gómez, Pablo (2022-12-28). 「神経密度場による不規則小体の測地学」. Communications Engineering . 1 (1): 48. arXiv : 2105.13031 . Bibcode :2022CmEng...1...48I. doi : 10.1038/s44172-022-00050-3 . ISSN 2731-3395. PMC 10956048 . ^ abcd Brian L. Stevens、Frank L. Lewis (2003)。 航空機制御とシミュレーション、第2版 。ニュージャージー州ホーボーケン： John Wiley & Sons、 Inc。ISBN
978-0-471-37145-8 。
^ de Icaza-Herrera, M.; Castano, VM (2011). 「散逸力を伴うパラメトリックフーコー振り子の一般化ラグランジアン」 Acta Mech . 218 ( 1– 2): 45– 64. doi :10.1007/s00707-010-0392-8. ^ Richard B. Noll、Michael B. McElroy (1974)、「火星の大気のモデル [1974]」、 Space Vehicle Design Criteria (Environment) 、メリーランド州グリーンベルト：NASA Goddard Space Flight Center、 Bibcode :1974svdc.rept......、SP-8010。
^ abcd William J. Hinze、 Ralph RB von Frese 、Afif H. Saad (2013)。 重力と磁気探査：原理、実践、およびアプリケーション 。 ケンブリッジ大学出版局 。p. 130。ISBN 978-1-107-32819-8 。 ^ Biografie Somiglianas Archived 2010-12-07 at the Wayback Machine (ital.) ^ ab 国防総省世界測地系 1984 — その定義および地方測地系との関係、NIMA TR8350.2、第 3 版、表 3.4、式 4-1 ^ Xiong Li; Hans-Jürgen Götzez. 「チュートリアル: 楕円体、ジオイド、重力、測地学、地球物理学」 (PDF) 。 2024年 3月29日 閲覧 。 {{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)988KB ^ ローマン・シュワルツ、アンドレアス・リンダウ。 「Das europäische Gravitationszonekonzept nach WELMEC」 (PDF) (ドイツ語) 。 2011 年 2 月 26 日 に取得 。 700KB
さらに読む Karl Ledersteger : 天文学と 物理測地学 。 Handbuch der Vermessungskunde Band 5、10. オーフラージュ。メッツラー、シュトゥットガルト 1969 B.Hofmann-Wellenhof、 Helmut Moritz : Physical Geodesy 、 ISBN 3-211-23584-1 、Springer-Verlag Wien 2006。 ヴォルフガング・トルゲ： 測地図 。 2. オーフラージュ。 Walter de Gruyter、ベルリン、2003 年 。ISBN 3-11-017545-2 ヴォルフガング・トルゲ： 測地図 。 Walter de Gruyter、ベルリン、1975 年 ISBN 3-11-004394-7
外部リンク 
![{\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2 }(\phi )}}}\right],\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb45091197ab186a66ac7a8a33ae64223b67935e)
![{\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}} }\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecef0233f2ea39e89d8663b51c2244de5d1bb7c)
![{\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}} }\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1975ad75ed59475753d12f271fbed48d1e63db79)
