最小二乗調整

最小二乗法による調整は、観測残差の最小二乗原理に基づいた、過剰決定方程式系の解法モデルです。測量、測地学、写真測量といった分野、すなわち地理情報学の分野で広く用いられています。

最小二乗法による調整には、パラメトリック、条件付き、および組み合わせの3つの形式があります。

• パラメトリック調整では、観測値YをパラメータXで明示的に関連付ける観測方程式h ( X ) = Yを見つけることができます(以下の A モデルにつながります)。
• 条件付き調整では、観測値Yのみを含む条件方程式g ( Y ) = 0が存在し(以下の B モデルにつながる)、パラメータX は全く含まれません。
• 最後に、複合調整では、パラメータXと観測値Yの両方が混合モデル方程式f ( X , Y ) = 0に暗黙的に含まれます。

明らかに、パラメトリック調整と条件付き調整は、それぞれf ( X , Y ) = h ( X ) - Yおよびf ( X , Y ) = g ( Y )の場合のより一般的な組み合わせケースに対応します。しかし、特殊なケースでは、以下に詳述するように、より単純な解決策が必要です。文献では、Y はLと表記されることがよくあります。

上記の等式は推定パラメータに対してのみ成り立つ。${\displaystyle {\hat {X}}}$そして観察結果${\displaystyle {\hat {Y}}}$、 したがって${\displaystyle f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0}$対照的に、測定された観測値は${\displaystyle {\tilde {Y}}}$および近似パラメータ$\displaystyle {\tilde {X}}}$ゼロでないミスクロージャーを生成する： $${\displaystyle {\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).}$$方程式をテイラー級数展開すると、ヤコビ行列または設計行列が得 られます。最初の行列は、 $${\displaystyle A=\partial {f}/\partial {X};}$$ そして2つ目は、 $${\displaystyle B=\partial {f}/\partial {Y}.}$$ 線形化されたモデルは次のようになります。 $${\displaystyle {\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,}$$ どこ${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}}$は事前値に対する推定パラメータ補正であり、${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {Y}}-{\tilde {Y}}}$は、適合後の観測残差です。

パラメトリック調整では、2 番目の設計行列は単位行列B = - Iであり、ミスクロージャーベクトルは事前適合残差として解釈できます。${\displaystyle {\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}}$したがって、システムは以下のように簡略化されます。 $${\displaystyle A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\tilde {y}},}$$これは通常の最小二乗法 の形式です。条件付き調整では、最初の設計行列はゼロ、A = 0です。より一般的なケースでは、 2 つのヤコビ行列を関連付け、制約付き最小二乗問題を制約なしの問題 (ただし、より大きな問題) に変換するために、ラグランジュ乗数が導入されます。いずれにせよ、それらの操作により、${\displaystyle {\hat {X}}}$そして${\displaystyle {\hat {Y}}}$ベクトル、およびそれぞれのパラメータと観測値の事後共分散行列。

• 測量、測量、および制御ネットワーク
• バンドル調整
• 三角測量、三辺測量、三角測量
• GPS / GNSS測位
• ヘルマート変換

• パラメトリック調整は回帰分析のほとんどと同様であり、ガウス・マルコフモデルと一致する。
• 複合調整、別名ガウス・ヘルマートモデル（ドイツの数学者/測地学者CFガウスとFRヘルマートにちなんで命名） ^{[ 1 ] [ 2 ]}は、誤差変数モデルと全最小二乗法に関連している。 ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• 事前パラメータ共分散行列の使用は、ティホノフ正則化に似ている。

ランク不足が発生した場合は、パラメータや観測値に制約を課す追加の方程式を含めることで修正できることが多く、制約付き最小二乗法につながります。