スピンcグループ

スピン幾何学では、スピン^c群(または複素スピン群) は、スピン群を最初のユニタリ群とねじることによって得られるリー群です。C は複素数を表し、次のように表されます。${\displaystyle \mathbb {C} }$スピン^c群の重要な応用例の一つは、サイバーグ・ウィッテン理論の中心となるスピン^c構造である。

スピングループ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$特殊直交群の二重被覆である${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$したがって${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$それに作用して${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (n)}$。 さらに、${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$また、第一ユニタリ群にも作用する。${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$対蹠的識別を通して${\displaystyle y\sim -y}$スピン^c群は次のようになります。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

$\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$

と${\displaystyle (x,y)\sim (-x,-y)}$また、次のように表記されます。${\displaystyle \operatorname {スピン} ^{\mathbb {C} }(n)}$例外的な同型性を利用する${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)}$また、${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)=\operatorname {Spin} ^{2}(n)}$と：

$\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(1)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$同型性によって誘発される${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {U} (2)}$[ ^{5 ]}例外的な同型性^によって誘発される${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$さらに${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$また、${\displaystyle \operatorname {スピン} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {スピン} ^{\mathrm {h} }(2)}$。
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)}$例外的な同型性によって誘発される${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(6)\rightarrow \operatorname {U} (4)}$例外的な同型性によって誘発される二重カバー${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$

すべての高次アーベルホモトピー群について、以下が成り立つ。

${\displaystyle \pi _{k}\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\cong \pi _{k}\operatorname {Spin} (n)\times \pi _{k}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{k}\operatorname {SO} (n)}$

のために${\displaystyle k\geq 2}$。

• スピン^hグループ

• ローソン、ハーバート・ブレイン・ジュニア；ミケルソン、マリー＝ルイーズ（ 1989）。スピン幾何学。プリンストン数学シリーズ。第38巻。プリンストン： プリンストン大学出版局。doi ：10.1515/9781400883912。ISBN 978-1-4008-8391-2。
• クリスチャン・ベア(1999)。「楕円記号」。数学的表現。201 (1)。
• 「安定な複合体とスピン^c構造」(PDF )
• リヴィウ・I・ニコラエスク。「セイバーグ＝ウィッテン理論に関するノート（PDF）」