尖度

ピアソンの尖度（または過剰尖度）の解釈はかつて議論の的となっていたが、現在では確立されている。2014年にウェストフォールが指摘したように^{[ 2 ]}、「… その明確な解釈は裾野の極端さに関係する」。具体的には、既存の外れ値の存在（標本尖度の場合）または外れ値を生成する傾向（確率分布の尖度の場合）を反映している。その根底にある論理は単純明快である。尖度は、標準化されたデータの平均値（または期待値）を4乗したものを表す。1未満の標準化値（平均値から1標準偏差以内のデータ（ピークが発生する場所）に対応）は、尖度にほとんど寄与しない。これは、1未満の数を4乗すると、その数がゼロに近づくためである。尖度に意味のある寄与をするのは、ピーク領域外のデータ値、つまり外れ値である。したがって、尖度は主に外れ値を測定するものであり、中心ピークに関する情報は提供しない。

尖度に関する多くの誤解は、ピークの度合いの概念に関連しています。そのような誤解の 1 つは、尖度が分布のピークの度合いと裾の重さの両方を測定するというものです。^{[ 5 ]}その他の誤った解釈には、肩がない（肩はピークと裾の間の領域、より具体的には平均から 1 標準偏差の領域を指す）または二峰性といった概念が含まれます。 ^{[ 6 ]} Balanda とMacGillivray は、尖度の標準的な定義は「分布の尖度、ピークの度合い、または裾の重さを適切に捉えていない」と主張しています。代わりに、彼らは、確率質量が分布の肩から中心と裾に向かって位置とスケールに依存しない動きをするものとして、尖度の曖昧な定義を提案しています。^{[ 5 ]}

1986年、ムーアズは尖度の解釈を示した。^{[ 7 ]}$${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }},}$$ここで、Xは確率変数、μは平均、σは標準偏差である。

尖度の定義によれば${\displaystyle \kappa }$、そしてよく知られたアイデンティティによって${\displaystyle \operatorname {E} \left[V^{2}\right]=\operatorname {var} [V]+\operatorname {E} [V]^{2},}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=\operatorname {E} \left[Z^{4}\right]\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {E} {\!\left[Z^{2}\right]}^{2}\\&=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+\operatorname {var} [Z]^{2}=\operatorname {var} \left[Z^{2}\right]+1.\end{aligned}}}$$

尖度は、Z ²の期待値からのばらつきの尺度と見なすことができます。あるいは、 Zの+1と−1からのばらつきの尺度と見なすこともできます。κは、対称な 2 点分布で最小値をとります。元の変数Xに関して言えば、尖度は、 Xの2 つの値μ ± σからのばらつきの尺度です。 

κの値が大きいのは、確率質量が平均値付近に集中していて、データ生成プロセスが平均値から大きく離れた値を時折生成する場合、または確率質量が分布の両端に集中する場合である。

分布のエントロピーは${\textstyle -\!\int p(x)\ln p(x)\,dx.}$

いかなる場合でも${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}}$と${\displaystyle \Sigma }$正定値、すべての確率分布の中で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$平均${\displaystyle \mu }$共分散${\displaystyle \Sigma }$正規分布${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\Sigma )}$エントロピーが最も大きい。

平均${\displaystyle \mu }$共分散${\displaystyle \Sigma }$最初の 2 つのモーメントを考えると、より高次のモーメントへの拡張を考えるのは自然なことです。実際、ラグランジュ乗数法によって、任意の指定された最初の n 個のモーメントに対して、ある形式の確率分布が存在する場合${\displaystyle p(x)\propto e^{\sum _{i}a_{i}x_{i}+\sum _{ij}b_{ij}x_{i}x_{j}+\cdots +\sum _{i_{1}\cdots i_{n}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{n}}}}$規定のモーメントを持つ場合（それが実現可能であれば）、それは与えられた制約の下での最大エントロピー分布である。^{[ 8 ] [ 9 ]}

連続展開により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}x^{2n}\,dx\\[6pt]&=\sum _{k}{\frac {1}{k!}}\left(-{\frac {g}{4}}\right)^{k}(2n+4k-1)!!\\[6pt]&=(2n-1)!!-{\tfrac {1}{4}}g(2n+3)!!+O(g^{2})\end{aligned}}}$$ つまり、確率変数に確率分布がある場合${\displaystyle p(x)=e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}gx^{4}}/Z}$、 どこ${\displaystyle Z}$は正規化定数であり、その尖度は${\displaystyle 3-6g+O(g^{2})}$[ ^{10 ]​}

過剰尖度がゼロの分布は、メソキュルティックまたはメソキュルティックと呼ばれます。メソキュルティック分布の最も顕著な例は、パラメータの値に関係なく、正規分布族です。パラメータの値によっては、他にもいくつかのよく知られた分布がメソキュルティックになることがあります。たとえば、二項分布は、次の条件を満たす場合にメソキュルティックになります。${\textstyle p=1/2\pm {\sqrt {1/12}}}$。

正の過剰尖度を持つ分布は、尖度分布、または尖度が高い分布と呼ばれます。尖度分布は裾が厚くなります。（lepto- は「細い」という意味で、元々はピークを指していました。^{[ 11 ]}）尖度分布の例としては、スチューデントの t 分布、レイリー分布、ラプラス分布、指数分布、ポアソン分布、ロジスティック分布などがあります。このような分布は、スーパーガウス分布と呼ばれることもあります。^{[ 12 ]}

過剰尖度が負の分布は、プラティカーティックまたはプラティカーティックと呼ばれます。プラティカーティック分布は、裾が細くなっています（platy- は「広い」という意味で、元々はピークを指していました）。^{[ 13 ]} プラティカーティック分布の例には、連続および離散一様分布、およびレイズドコサイン分布があります。最もプラティカーティックな分布は、p = 1/2のベルヌーイ分布です（たとえば、コインを 1 回投げたときに表が出る回数、つまりコイン投げ）。この場合の過剰尖度は -2 です。

尖度の影響は、低次のモーメントとキュムラントが一定のまま尖度を調整できるパラメトリック分布族を用いて説明される。ピアソンVII型分布族を考える。これは、対称密度に制限されたピアソンIV型分布族の特殊なケースである。確率密度関数（PDF）は次のように与えられる 。$${\displaystyle f(x;a,m)={\frac {\Gamma (m)}{a\,{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (m-1/2)}}\left[1+\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right]^{-m},}$$ ここで、aはスケールパラメータ、mは形状パラメータである。

この族のすべての密度は対称です。k次モーメントはm > ( k + 1)/2の場合に存在します。尖度が存在するためには、m > 5/2 が必要です。すると、平均と歪度が存在し、両方とも完全にゼロになります。a 2 = 2 m − 3 と設定すると、分散は¹になります。すると、唯一の自由パラメータはmであり、これは 4 次モーメント (およびキュムラント) を制御し、したがって尖度を制御します。次のように再パラメータ化できます。${\textstyle m=5/2+3/\gamma _{2}}$、 どこ${\displaystyle \gamma _{2}}$は、上記で定義した過剰尖度です。これにより、平均ゼロ、分散1、歪度ゼロ、任意の非負の過剰尖度を持つ1パラメータの尖度分布族が得られます。再パラメータ化された密度は $${\displaystyle g(x;\gamma _{2})=f{\left(x;\;a={\sqrt {2+6\gamma _{2}^{-1}}},\;m={\tfrac {5}{2}}+3\gamma _{2}^{-1}\right)}.}$$

極限では${\displaystyle \gamma _{2}\to \infty }$密度が得られる $${\displaystyle g(x)=3\left(2+x^{2}\right)^{-5/2},}$$ これは右側の画像に赤い曲線で示されている。

反対方向には${\displaystyle \gamma _{2}\to 0}$極限分布として標準正規密度が得られ、これは黒色の曲線で示されている。

右側の画像では、青い曲線は密度を表しています。${\displaystyle x\mapsto g(x;2)}$過剰尖度が 2 の場合。上の画像は、このファミリーの尖度の高い密度が、中尖度の正規密度よりも高いピークを持つことを示していますが、この結論はこの特定の分布ファミリーにのみ有効です。尖度の高い密度の比較的厚い裾は、ピアソン VII 型密度の自然対数をプロットした 2 番目の画像に示されています。黒い曲線は標準正規密度の対数であり、放物線です。正規密度は、平均から遠い領域に確率質量をほとんど割り当てていないことがわかります (裾が薄い)。これは、過剰尖度が 2 の尖度の高いピアソン VII 型密度の青い曲線と比較できます。青い曲線と黒い曲線の間には、γ ₂  =  1、1/2、1/4、1/8、および 1/16 の他のピアソン VII 型密度があります。赤い曲線は再びピアソンVII型ファミリーの上限を示しており、${\displaystyle \gamma _{2}=\infty }$（厳密に言えば、これは4次モーメントが存在しないことを意味します）。赤い曲線は、原点から外側に向かうにつれて最も緩やかに減少します（裾が厚い）。

ここでは、異なるパラメトリックファミリーに属する、よく知られた単峰性で対称的な分布をいくつか比較します。それぞれの分布は、平均と歪度がゼロです。パラメータは、いずれの場合も分散が1になるように選択されています。右側の画像は、以下の7つの密度の曲線を、線形スケールと対数スケールで示したものです。

• D：ラプラス分布（二重指数分布とも呼ばれる）、赤い曲線（対数スケールプロット上の2本の直線）、尖度超過＝3
• S:双曲線正割分布、オレンジ色の曲線、尖度超過 = 2
• L：ロジスティック分布、緑色の曲線、尖度超過＝1.2
• N:正規分布、黒線（対数スケールプロットでは逆放物線）、尖度超過 = 0
• C:レイズドコサイン分布、シアン曲線、過剰尖度 = −0.593762...
• W:ウィグナー半円分布、青色の曲線、過剰尖度 = −1
• U:一様分布、マゼンタ曲線（両方の画像で分かりやすくするために長方形として表示）、過剰尖度 = -1.2。

これらの場合、平坦な密度は有界なサポートを持つのに対し、正またはゼロの過剰尖度を持つ密度は実数全体でサポートされることに注意してください。

高い尖度分布や低い尖度分布が、これらの例で示されるような特性を持つと推論することはできません。十分大きな形状パラメータbを持つ指数べき分布のように、無限のサポートを持つ平坦な密度分布も存在し、有限のサポートを持つ尖度の高い密度分布も存在します。後者の例としては、−3 から −0.3 の間、−0.3 から 0.3 の間、および 0.3 から 3 の間で一様分布であり、(−3, −0.3) 区間と (0.3, 3) 区間では同じ密度ですが、(−0.3, 0.3) 区間では密度が 20 倍になる分布が挙げられます。

また、グラフから、尖度が高い分布はより尖っていて、尖度が低い分布はより平坦であると推測することはできません。尖度が無限に高い平坦な分布も存在します。例えば、パラメータが 0.5 と 1 のベータ分布と、それを 0.0 に関して反射させたものを等量混合したものなどです。また、頂上が平坦に見える尖度の高い分布も存在します。例えば、−1 から 1 の間の一様分布と、混合確率が 0.999 と 0.001 の T(4.​​0000001) スチューデントの t 分布を混合したものなどです。

これらの分布の標準化版のグラフは右側に示されています。

n ( n > 2 ) の実数の標本尖度の上限は^{[ 15 ]である。}$${\displaystyle g_{2}\leq {\frac {1}{2}}{\frac {n-3}{n-2}}g_{1}^{2}+{\frac {n}{2}}-3,}$$ どこ${\displaystyle g_{1}=m_{3}/m_{2}^{3/2}}$は対応する標本歪度です。

正規分布からのサイズnのサンプルのサンプル尖度の分散は^{[ 16 ]}です。$${\displaystyle \operatorname {var} (g_{2})={\frac {24n(n-1)^{2}}{(n-3)(n-2)(n+3)(n+5)}}}$$

言い換えれば、基礎となる確率変数が${\displaystyle X}$正規分布に従う場合、${\displaystyle {\sqrt {n}}g_{2}\,\xrightarrow {d} \,{\mathcal {N}}(0,24)}$[ ^{17 ]：ページ番号が必要}

デジタル画像にバンドパスフィルタを適用すると、尖度値はフィルタの範囲に関係なく均一になる傾向があります。この挙動は尖度収束と呼ばれ、法医学分析で画像のスプライシングを検出するために使用できます。^{[ 21 ]}

尖度は地球物理学において、さまざまな種類の地震信号を区別するために使用できます。特に、人間の足音によって発生する地震信号を他の信号から区別するのに効果的です。^{[ 22 ]}これは、地震検出に依存するセキュリティおよび監視システムに役立ちます。

気象学では、尖度は気象データの分布を分析するために使用されます。これは、過去のデータにおける外れ値の確率を評価することで極端な気象現象を予測するのに役立ち、^{[ 23 ]}これは長期的な気候研究と短期的な天気予報にとって価値があります。